數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性-全文預(yù)覽
【正文】 在區(qū)間上僅有有限個第一類間斷點，則稱在上分段連續(xù)。如上例４：（右連續(xù)），（左連續(xù)）?？偟膩碇v，函數(shù)在點連續(xù)的要求是：①在點有定義；②存在；③. 任何一條不滿足，在點就不連續(xù)。４．函數(shù)在點有極限與函數(shù)在點連續(xù)之間的關(guān)系１） 從對鄰域的要求看：在討論極限時，假定在內(nèi)不定義（在點可以沒有定義）。２） 等價定義１：函數(shù)在點連續(xù)。３．函數(shù)在點連續(xù)的等價定義１） 記號：——自變量在點的增量或改變量。注 ，即“在點連續(xù)”意味著“極限運(yùn)算與對應(yīng)法則可交換。而在其它點處（如處），情況則完全相反。當(dāng)然，我們不能滿足于這種直觀的認(rèn)識，因為單從圖形上看是不行的，圖形只能幫助我們更形象地理解概念，而不能揭示概念的本質(zhì)屬性。教學(xué)程序：l 引言“連續(xù)”與“間斷”（不連續(xù)）照字面上來講，是不難理解的。１ 連續(xù)性概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概念。 例6 設(shè)函數(shù) 和 在區(qū)間I上一致連續(xù). 證明函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù). 例7 設(shè)函數(shù) 在有限開區(qū)間 內(nèi)連續(xù). 則 在有限開區(qū)間 內(nèi)一致連續(xù), 和 存在( 有限 ). 例2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)， 試證明： 使 例2 例3 作倒代換 例4 解 I = 例5 解 I = Th2 任何初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的. 註: 初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點: 初等函數(shù)的間斷點是其連續(xù)區(qū)間的開端點. 閉端點是其單側(cè)連續(xù)點. 例1 求函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間和間斷點. 解 的連續(xù)區(qū)間為: 、 、 和 . 間斷點為: 和 . 在點 右連續(xù) . 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性. ( 證 ) 教學(xué)重點：初等函數(shù)的連續(xù)性的闡明。 167。 證法二 ( 用例10的結(jié)果 ). 例10 若函數(shù)在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù),則在內(nèi)有界.3. 用定義驗證一致連續(xù)的方法: 對 , 確證 存在. 為此,從不失真地放大式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 之外, 其余部分中不含有 和 , 然后使所得式子 , 從中解出 考查函數(shù) 在區(qū)間 上的連續(xù)性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 該 卻與 無關(guān), 可記為 . 2. （四）函數(shù)的整體連續(xù)性 —— 一致連續(xù)： 連續(xù)函數(shù)的值域, 連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的值域. Th 5 ( 最值性 ) （二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì): ） 2.教學(xué)重點：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；教學(xué)難點：一致連續(xù)的概念。 167。 舉出定義在[0,1]上且僅在點 三點間斷的函數(shù)的例. 討論函數(shù)在點的連續(xù)或單側(cè)連續(xù)性. （二）間斷點及其分類: 圖解介紹間斷點的分類.）例1 用“ ”定義驗證函數(shù) 在點 連續(xù).例2 試證明: 若 教學(xué)難點：函數(shù)連續(xù)性概念。 教學(xué)時數(shù)：14學(xué)時 167。 教學(xué)重點、難點：本章重點是函數(shù)連續(xù)性的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；難點是一致連續(xù)性的概念與有關(guān)證明 。教學(xué)重點：函數(shù)連續(xù)性概念。函數(shù)在一點連續(xù)的定義: 設(shè)函數(shù) 在點 某鄰域有定義. 定義 用 例如 [1]P87例1和例2, P88 例3. 定義 用 定義 用 先定義 和 定義 連續(xù)的Heine定義. 定義 ( “ ”定義.) （注：強(qiáng)調(diào)函數(shù) 在點 連續(xù)必須滿足的三個條件。 例3 延拓函數(shù) 使在點 連續(xù).例6 開區(qū)間上連續(xù)， 閉區(qū)間上連續(xù), 按段連續(xù).能夠在各種問題的討論中正確運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的這些重要性質(zhì)；2. 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì) ，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)的具體問題中加以運(yùn)用；3. 理解函數(shù)在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念
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