數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-德薩格定理及其應(yīng)用-文庫吧在線文庫
【正文】 R， PQ 和RS 的交點(diǎn) C， B， X 三點(diǎn)共線，則由徳薩格定理的逆定理知它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線 PR， QS， AD 交于一點(diǎn)，即 PR 與 QS 交在 AD 上。 證明設(shè)三角形 ABC 的三條內(nèi)角平分線交于 O（即三角形 ABC 的內(nèi)心）如圖考察三點(diǎn)形 ABC 和 DEF。但 X 也在平面 ?內(nèi)，這說明 X 在兩不同平面 ?與 ABC? ? ?的交 線上。通過 O 做不在 ?內(nèi)的直 線P，在 P 上任意取兩點(diǎn) ,LL?。前兩式相減得 1 1 1 1()lA m B l A m B Z? ? ? ? ?； 同理可得 1 1 1 1()mB nC m B n C X? ? ? ? ?； 1 1 1 1()nC lA n C l A Y? ? ? ? ? 以上三式相加可得 0X Y Z? ? ? 。德薩格定理的內(nèi)容從完整的角度講包括德薩格定理及其逆定理，主要研究的是三點(diǎn)共線或者三線共點(diǎn)的問題。它的應(yīng)用很廣泛，許多定理以它為根據(jù)。發(fā)現(xiàn)德薩格定理的德薩格是17 世 紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他 1591 年出生于法國里昂， 1661 年卒于同地。由此體現(xiàn)了高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)性意義。因此點(diǎn) X 存在且在 ?與?的交 線上?？紤]三點(diǎn)形 LBC與LBC? ? ?，二者不在同一平面內(nèi)。求證： LG， CF， AU 交于一點(diǎn)。 例 5 設(shè) ABCD 是四面體，點(diǎn) X 在 BC 上。在三角形 ADP 與三角形 BEQ 中， DP 與 EQ 交于 O， AP 與 BQ 交于 R， AD與 BE 交于 F且 O， R， F 三點(diǎn)共線。克依木 2020 年 5 月 8 日 。 （圖 9） 綜上所訴 ,在利用 徳薩格定理和徳薩格 定理的逆定理 證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線問題時(shí) ,關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形 ,而且要調(diào)整好對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的順序．以便達(dá)到證明的目的．共線問題和共點(diǎn)問題一般可以轉(zhuǎn)化．在都適用時(shí)，一般共線問題用 徳薩格 定理，共點(diǎn)問題用 徳薩格 逆定理．當(dāng)然，我們也要具體問題具體分析．此外 ,徳薩格 定理在初等幾何中的應(yīng)用非常簡(jiǎn)單易懂實(shí)用 ,可以化簡(jiǎn)初等幾何中繁瑣的步驟，為幾何的證明開辟了一條快捷之路． 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 10 [1] 梅向明，劉增賢，林向巖 . 高等幾何 . 北京：高等教育出版社 .1983. [2] 朱德祥，高等幾何 . 北京：高等教育出版社 。求證 PR 與 QS 交在 AD 上？ （圖 8） 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 9 證明考察三點(diǎn)形 PQA 和 RSD。根據(jù)徳薩格定理的逆定理知 AU， FC， LG交于點(diǎn) O（如圖三線形 AFL 與三角形 UCG 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線 LG， FC， AU 共點(diǎn) O 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 7 （圖 5） 例 3 證明三角形的 垂心 ,重心 ,外心三
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