高考理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)資料-文庫吧在線文庫
【正文】 f ′( )=0, ? 即 4a+3b+4=0.② 23232340 ? 由①②解得 a=2,b=4. ? 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x=1,所以 f(1)=3 1+1=4. ? 所以 1+a+b+c=4,所以 c=5. ? (2)由 (1)可得 f(x)=x3+2x24x+5, ? 所以 f ′(x)=3x2+4x4. ? 令 f ′(x)=0,得 x=2,x= . ? 當(dāng) x變化時(shí)， y,y′的變化情況如下表： 2341 ? 所以 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值為13，最小值為 . x 3 (3,2) 2 (2， 23) ( ， 1) 1 y′ + 0 0 + y 8 ↗ 13 ↘ ↗ 4 23239527952742 ? 1. 函數(shù)的極值是一個(gè)局部性概念 ， 它反映出函數(shù)在某個(gè)局部的最大值和最小值情況 .一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個(gè)極大值和極小值 ， 且極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系 ， 即某個(gè)極大值可能小于另一個(gè)極小值 . ? 2. 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 ［ a， b］ 內(nèi)連續(xù) ， 且有有限個(gè)極值點(diǎn) ， 則 f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的 (如正弦曲線 ). 43 ? 3. 可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為 0， 但導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn) (稱為駐點(diǎn) )不一定是極值點(diǎn) (例如 ，函數(shù) f(x)=x3在 x=0處的導(dǎo)數(shù)是 0， 但它不是極值點(diǎn) )， 不可導(dǎo)的點(diǎn)可能是極值點(diǎn) (例如 ， 函數(shù) f(x)=|x|在 x=0處不可導(dǎo) ， 但它是極小值點(diǎn) )，因此 ， 函數(shù)的極值點(diǎn)只能在導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)中產(chǎn)生 . 44 ? 4. 函數(shù)的最值是一個(gè)整體性概念 ， 它反映函數(shù)在整個(gè)區(qū)域 (或定義域 )內(nèi)的最大值和最小值情況 ， 函數(shù) f(x)有極值未必有最值 ， 反之亦然 .極值與最值是兩個(gè)不同的概念 . ? 5. 若 f(x)在閉區(qū)間 ［ a， b］ 上連續(xù)且單調(diào) ， 則f(x)的最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得；若連續(xù)函數(shù) f(x)在開區(qū)間 (a， b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn) ， 則該點(diǎn)也是一個(gè)最值點(diǎn) . 45 ? 6. 求可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的極值的一般步驟是： ? (1)求 f ′(x)， 令 f ′(x)=0， 求此方程在定義域內(nèi)的所有實(shí)根 . ? (2)檢查 f ′(x)在方程 f ′(x)=0的根左右取值的符號 .如果左正右負(fù) ， 那么 f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正 ， 那么 f(x)在這個(gè)根處取得極小值 . 46 ? 7. 求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 ， 只要在求極值的基礎(chǔ)上 ， 再與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值做出比較就能得出結(jié)論 .在實(shí)際問題中 ， 有時(shí)會遇到函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)的情形 ， 如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小 )值 ， 那么它就是最大 (小 )值點(diǎn) . 47 第十二章 極限與導(dǎo)數(shù) 第 講 （第三課時(shí)） 48 題型 6 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 ? 1. 證明：對任意的正整數(shù) n， ? 不等式 都成立 . ? 證明： 令函數(shù) f(x)=x3x2+ln(x+1)， ? 則 . ? 所以當(dāng) x∈ ［ 0， +∞)時(shí)， f ′(x)＞ 0， ? 所以函數(shù) f(x)在［ 0， +∞)上單調(diào)遞增 . ? 又 f(0)=0， 231 1 1ln( 1 )n n n??＞? ? ? ?232 313 2 1 11xxf x x x xx??? ? ? ? ? ??49 ? 所以，當(dāng) x∈ (0， +∞)時(shí)，恒有 ? f(x)＞ f(0)=0，即 x3＞ x2ln(x+1)恒成立 . ? 故當(dāng) x∈ (0， +∞)時(shí)，有 ln(x+1)＞ x2x3. ? 對任意正整數(shù) n，取 ∈ (0， +∞)， ? 則有 ，所以結(jié)論成立 . ? 點(diǎn)評： 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般是先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造相對應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)的單調(diào)性或最值，進(jìn)一步得到所需結(jié)論 . 1xn?231 1 1ln( 1 )n n n??＞50 已知函數(shù) f ( x ) ＝12x2＋ ln x . ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ 1 ， e ] 上的值域 ； ( 2 ) 求證 ： x ＞ 1 時(shí) ， f ( x ) ＜23x3. 51 解： ( 1 ) 由已知 f′ ( x ) ＝ x ＋1x， 當(dāng) x ∈ [ 1 ， e ] 時(shí)， f ′ ( x ) ＞ 0 ，因此 f ( x ) 在 [ 1 ， e ] 上為增函數(shù) ． 故 [ f ( x )]m ax＝ f ( e ) ＝e22＋ 1 ， [ f ( x )]m i n＝ f ( 1 ) ＝12， 因而 f ( x ) 在區(qū)間 [ 1 ， e ] 上的值域?yàn)?[12，e22＋ 1 ] ． 52 ( 2 ) 證明：令 F ( x ) ＝ f ( x ) －23x3＝－23x3＋12x2＋ ln x ， F ′ ( x ) ＝ x ＋1x－ 2 x2＝? 1 － x ?? 1 ＋ x ＋ 2 x2?x， 因?yàn)?x ＞ 1 ，所以 F ′ ( x ) ＜ 0 ， 故 F ( x ) 在 ( 1 ，＋ ∞ ) 上為減函數(shù) ． 53 又 F ( 1 ) ＝－16＜ 0 ，即 F ( x ) 在 ( 1 ，＋ ∞ ) 上的最大值小于零， 故 x ＞ 1 時(shí)， F ( x ) ＜ 0 恒成立， 即12x2＋ ln x ＜23x3. 54 題型 7 利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的問題 ? 2. 設(shè)函數(shù) f(x)=xln(x+m)，其中 m為常數(shù) . ? 求證 :當(dāng) m＞ 1時(shí)，方程 f(x)=0在區(qū)間 ? ［ emm， e2mm］內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根 . ? 證明： 當(dāng) m＞ 1時(shí)， f(1m)=1m＜ 0， ? f(emm)=emmln(emm+m)=em＞ 0， ? f(e2mm)=e2mmlne2m=e2m3m. 55 ? 令 g(m)=e2m3m(m＞ 1)， ? 則 g′(m)=2e2m3＞ 0. ? 所以 g(m)在 (1
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1