【正文】 (a12＋ a－ 12)2＝ ： a＋ a－ 1＝ 7 又 (a＋ a－ 1)2＝ 49，因此 a2＋ a－ 2＝ 47. 答案 7 47 考向一 指數(shù)冪的化簡與求值 【例 1】 ?化簡下列各式 (其中各字母均為正數(shù) )． (1)?a23沈陽模擬 )設 f(x)是 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的奇函數(shù)， f(x＋ 2)＝－ f(x)，當 0≤ x≤ 1 時， f(x)＝ x. (1)求 f(π)的值； (2)當－ 4≤ x≤ 4 時，求 f(x)的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積； (3)寫出 (－ ∞ ，＋ ∞ )內(nèi)函數(shù) f(x)的單調(diào)增 (或減 )區(qū)間． 第 (1)問先求函數(shù) f(x)的周期，再求 f(π)； 第 (2)問，推斷函數(shù) y＝ f(x)的圖象關于直線 x＝ 1 對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積； 第 (3)問，由圖象觀察寫出． [解答示范 ] (1)由 f(x＋ 2)＝－ f(x)得， f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－ f(x＋ 2)＝ f(x)， 所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)， (2 分 ) ∴ f(π)＝ f(－ 1 4＋ π)＝ f(π－ 4)＝－ f(4－ π) ＝－ (4－ π)＝ π－ 4.(4 分 ) (2)由 f(x)是奇函數(shù)與 f(x＋ 2)＝－ f(x)，得： f[(x－ 1)＋ 2]＝－ f(x－ 1)＝ f[－ (x－ 1)]，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x)． 故知函數(shù) y＝ f(x)的圖象關于直線 x＝ 1 對稱． (6 分 ) 又 0≤ x≤ 1 時， f(x)＝ x，且 f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則 f(x)的圖象如圖所示． (8 分 ) 當－ 4≤ x≤ 4 時， f(x)的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為 S，則 S＝ 4S△ OAB＝ 4 ??? ???12 2 1 ＝ 4.(10 分 ) (3)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞 增區(qū)間為 [4k－ 1,4k＋ 1](k∈ Z)，單調(diào)遞減區(qū)間 [4k＋ 1,4k＋ 3](k∈ Z)． (12 分 ) 關于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題． 【試一試】 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x－ 4)＝－ f(x)，且在區(qū)間 [0,2]上是增函數(shù)，則 ( )． A． f(－ 25)＜ f(11)＜ f(80) B． f(80)＜ f(11)＜ f(－ 25) C． f(11)＜ f(80)＜ f(－ 25) D． f(－ 25)＜ f(80)＜ f(11) [嘗試解答 ] 由函數(shù) f(x)是奇函數(shù)且 f(x)在 [0,2]上是增函數(shù)可以推知， f(x)在 [－ 2,2]上遞增，又 f(x－ 4)＝－ f(x)? f(x－ 8)＝－ f(x－ 4)＝ f(x)，故函數(shù) f(x)以 8 為周期， f(－25)＝ f(－ 1)， f(11)＝ f(3)＝－ f(3－ 4)＝ f(1)， f(80)＝ f(0)，故 f(－ 25)＜ f(80)＜ f(11)．故選 D. 答案 D 第 4 講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【高考會這樣考】 1．考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應用． 2．以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為 知識載體，考查指數(shù)的運算和函數(shù)圖象的應用． 3．以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點考查參數(shù)的計算或比較大?。? 【復習指導】 1．熟練掌握指數(shù)的運算是學好該部分知識的基礎，較高的運算能力是高考得分的保障，所以熟練掌握這一基本技能是重中之重． 2．本講復習，還應結(jié)合具體實例了解指數(shù)函數(shù)的模型，利用圖象掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．重點解決： (1)指數(shù)冪的運算； (2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) . 基礎梳理 1．根式 (1)根式的概念 如果一個數(shù)的 n 次方等于 a(n＞ 1 且， n∈ N*)，那么這個數(shù)叫做 a 的 n 次方根．也就是，若 xn＝ a，則 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞ 1 且 n∈ N*.式子 n a叫做根式，這里 n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開方數(shù)． (2)根式的性質(zhì) ① 當 n 為奇數(shù)時，正數(shù)的 n 次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的 n 次方根是一個負數(shù)，這時， a 的 n 次方根用符號 n a表示． ② 當 n 為偶數(shù)時，正數(shù)的 n 次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的n 次方根用符號 n a表示，負的 n 次方根用符號－ n a表示．正負兩個 n 次方根 可以合寫為 177。福州一中月考 )f(x)＝ 1x－ x 的圖象關于 ( )． A． y 軸對稱 B．直線 y＝－ x 對稱 C．坐標原點對稱 D．直線 y＝ x 對稱 解析 f(x)的定義域為 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )，又 f(－ x)＝ 1－ x－ (－ x)＝－ ??? ???1x－ x ＝－ f(x)，則 f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱． 答案 C 3． (2020遼寧 )設函數(shù) f(x)＝ ??? 21－ x， x≤ 1，1－ log2x， x＞ 1， 則滿足 f(x)≤ 2 的 x 的取值范圍是 ( )． A． [－ 1,2] B． [0,2] C． [1，＋ ∞ ) D． [0，＋ ∞ ) [審題視點 ] 對于分段函數(shù)應分段求解，最后再求其并集． 解析 f(x)≤ 2? ??? x≤ 1，21－ x≤ 2 或 ??? x＞ 1，1－ log2x≤ 2? 0≤ x≤ 1 或 x＞ 1，故選 D. 答案 D 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．解決分段函數(shù)問題，關鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分 x≤ 1 和 x＞ 1 時分別解得 x 的范圍，再求其并集． 【訓練 3】 (2020天津耀華中學月考 )(1)已知 f(x)的定義域為 ??? ???－ 12， 12 ，求函數(shù) y＝ f??? ???x2－ x－ 12 的定義域； (2)已知函數(shù) f(3－ 2x)的定義域為 [－ 1,2]，求 f(x)的定義域． 解 (1)令 x2－ x－ 12＝ t， 知 f(t)的定義域為??????????t??? － 12 ≤ t≤12 ， ∴ － 12≤ x2－ x－ 12≤ 12， 整理得 ??? x2－ x≥ 0，x2－ x－ 1≤ 0 ? ??? x≤ 0或 x≥ 1，1－ 52 ≤ x≤1＋ 52 ， ∴ 所求函數(shù)的定義域為 ??? ???1－ 52 ， 0 ∪ ??? ???1， 1＋ 52 . (2)用換元思想，令 3－ 2x＝ t， f(t)的定義域即為 f(x)的定義域 ， ∵ t＝ 3－ 2x(x∈ [－ 1,2])， ∴ － 1≤ t≤ 5， 故 f(x)的定義域為 [－ 1,5]． 考向二 求函數(shù)的解析式 【例 2】 ?(1)已知 f??? ???2x＋ 1 ＝ lg x，求 f(x)； (2)定義在 (－ 1,1)內(nèi)的函數(shù) f(x)滿足 2f(x)－ f(－ x)＝ lg(x＋ 1)，求函數(shù) f(x)的解析式． [審題視點 ] (1)用代換法求解； (2)構(gòu)造方程組求解． 解 (1)令 t＝ 2x＋ 1，則 x＝ 2t－ 1， ∴ f(t)＝ lg 2t－ 1，即 f(x)＝ lg 2x－ 1. (2)x∈ (－ 1,1)時，有 2f(x)－ f(－ x)＝ lg(x＋ 1)． ① 以－ x 代 x 得， 2f(－ x)－ f(x)＝ lg(－ x＋ 1)． ② 由 ①② 消去 f(－ x)得 f(x)＝ 23lg(x＋ 1)＋ 13lg(1－ x)， x∈ (－ 1,1)． 求函數(shù)解析式的方法主要有： (1)代入法； (2)換元法； (3)待定系數(shù)法；(4)解函 數(shù)方程等． 【訓練 2】 (1)已知 f(x)是二次函數(shù)，若 f(0)＝ 0，且 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 1，試求 f(x)的表達式． (2)已知 f(x)＋ 2f(1x)＝ 2x＋ 1，求 f(x)． 解 (1)由題意可設 f(x)＝ ax2＋ bx(a≠ 0)，則 a(x＋ 1)2＋ b(x＋ 1)＝ ax2＋ bx＋ x＋ 1 ax2＋ (2a＋ b)x＋ a＋ b＝ ax2＋ (b＋ 1)x＋ 1 ∴ ??? 2a＋ b＝ b＋ 1，a＋ b＝ 1， 解得 a＝ 12， b＝ 12. 因此 f(x)＝ 12x2＋ 12x. (2)由已知得????? f?x?＋ 2f??? ???1x ＝ 2x＋ 1，f??? ???1x ＋ 2f?x?＝ 2x＋ 1，消去 f??? ???1x ， 得 f(x)＝ 4＋ x－ 2x23x . 考向三 分段函數(shù) 【例 3】 ?(2020全國 )設 f(x)是周期為 2的奇函數(shù)，當 0≤ x≤ 1時， f(x)＝ 2x(1－ x)，則 f??? ???－ 52＝ ( )． A.－ 12 B.－ 14 解析 因為 f(x)是周期為 2 的奇函數(shù)，所以 f??? ???－ 52 ＝－ f??? ???52 ＝－ f??? ???12 ＝－ A. 答案 A 2． (20202x＋ 12x－ 1＝ f(x)． 故 f(x)是偶函數(shù)． 法二 f(x)的定義域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )， ∵ f(1)＝ 32， f(－ 1)＝ 32， ∴ f(x)不是奇函數(shù)． ∵ f(x)－ f(－ x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＋ x??? ???12－ x－ 1＋ 12 ＝ x??? ???12x－ 1＋ 2x1－ 2x＋ 1 ＝ x??????1－ 2x2x－ 1＋ 1 ＝ x(－ 1＋ 1)＝ 0， ∴ f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函數(shù)． (2)證明 當 x＞ 0 時， 2x＞ 1,2x－ 1＞ 0， 所以 f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＞ 0. 當 x＜ 0 時，－ x＞ 0，所以 f(－ x)＞ 0，又 f(x)是偶函數(shù)， ∴ f(－ x)＝ f(x)，所以 f(x)＞ 0. 綜上，均有 f(x)＞ 0. 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．所以對具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性即可． 【訓練 2】 已知奇函數(shù) f(x)的定義域為 [－ 2,2]，且在區(qū)間 [－ 2,0]內(nèi)遞減，求滿足：f(1－ m)＋ f(1－ m2)＜ 0 的實數(shù) m 的取值范圍． 解 ∵ f(x)的定義域為 [－ 2,2]， ∴ 有 ??? － 2≤ 1－ m≤ 2，－ 2≤ 1－ m2≤ 2， 解得－ 1≤ m≤ 3.① 又 f(x)為奇函數(shù)，且在 [－ 2,0]上遞減， ∴ 在 [－ 2,2]上遞減， ∴ f(1－ m)＜－ f(1－ m2)＝ f(m2－ 1)? 1－ m＞ m2－ 1， 即－ 2＜ m＜ 1.② 綜合 ①② 可知，－ 1≤ m＜ 1. 考向三 函數(shù)的奇偶性與周期性 【例 3】 ?已知函數(shù) f(x)是 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的奇函數(shù)，且 f(x)的圖象關于 x＝ 1 對稱，當 x∈ [0,1]時， f(x)＝ 2x－ 1， (1)求證： f(x)是周期函數(shù)； (2)當 x∈ [1,2]時，求 f(x)的解析式； (3)計算 f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋ ? ＋ f(2020)的值． [審題視點 ] (1)只需證明 f(x＋ T)＝ f(x)，即可說明 f(x)為周期函數(shù)； (2)由 f(x)在 [0,1]上的解析式及 f(x)圖象關于 x＝ 1對稱求得 f(x)在 [1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值． (1)證明 函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，則 f(－ x)＝－ f(x)，函數(shù) f(x)的圖象關于 x＝ 1 對稱，則 f(2＋ x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(4＋ x)＝ f[(2＋ x)＋ 2]＝－ f(2＋ x)＝ f(x)，所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)． (2)解 當 x∈ [1,2]時， 2－ x∈ [0,1]， 又 f(x)的圖象關于 x＝ 1 對稱，則 f(x)＝ f(2－ x)＝ 22－ x－ 1， x∈ [1,2]． (3)解 ∵ f(0)＝ 0， f(1)＝ 1， f(2)＝ 0， f(3)＝ f(－ 1)＝－ f(1)＝－ 1 又 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)． ∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋ ? ＋ f(2020) ＝ f(2 012)＋ f(2 013)＝ f(0)＋ f(1)＝ 1. 判斷函數(shù)的周期只需證明 f(x＋ T)＝ f(x)(T≠ 0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為 T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題． 【訓練 3】 已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且g(x)＝ f(x－ 1)，則 f(2 013)＋ f(2 015)的值為 ( )． A．－ 1