【正文】 x） =??????????????)31()2(21)11(21xxxx 由 f(x)=21,解得 x=1. ∵ f（ x）是以 4為周期的周期函數(shù) . f(x)=21的所有 x=4n1 (n∈ Z). 令 0≤ 4n1≤ 2 009,則41≤ n≤20221, 又∵ n∈ Z，∴ 1≤ n≤ 502 （ n∈ Z） , ∴在［ 0， 2 009］上共有 502個 x使 f(x)=21. 變式訓(xùn)練 3： 已知函數(shù) f(x)=x2+|xa|+1,a∈ R. （ 1）試判斷 f(x)的奇偶性； （ 2）若 21≤ a≤21，求 f(x)的最小值 . 解 ： (1)當 a=0時，函數(shù) f(x)=(x)2+|x|+1=f(x), 此時 ,f(x)為偶函數(shù) .當 a≠ 0時， f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1, f(a)≠ f(a),f(a)≠ f(a),此時， f(x) 為非奇非偶函數(shù) . （ 2）當 x≤ a時 ,f(x)=x2x+a+1=(x21)2+a+43 , ∵ a≤21,故函數(shù) f(x)在（ ∞， a］上單調(diào)遞減， 從而函數(shù) f(x)在（ ∞， a］上的最小值為 f(a)=a2+1. 當 x≥ a時，函數(shù) f(x)=x2+xa+1=(x+21)2a+43, ∵ a≥ 21，故函數(shù) f(x)在［ a， +∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù) f(x)在［ a， +∞ )上的 最小值為 f(a)=a2+1. 綜上得，當 21≤ a≤21時，函數(shù) f(x)的最小值為 a2+1. 歸納總結(jié) 1． 奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對一個函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì) . 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或證明）函數(shù)是否具有奇偶性 . 如果要證明一個函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對非零實數(shù) a與－ a，驗證 f(a)177。 ,41)21(1 22242 ???????? xxxx ∴0≤y≤ ,21即函數(shù)的值域為?????? 21,0. 例 4． 若函數(shù) f（ x） =21x2x+a的定義域和值域均為［ 1， b］（ b＞ 1），求 a、 b的值 解 ： ∵f （ x） =21(x1)2+a21. ∴ 其對稱軸為 x=1，即［ 1， b］為 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間 . ∴f （ x） min=f（ 1） =a21=1 ① f（ x） max=f（ b） =21b2b+a=b ② 由 ①② 解得???????.3,23ba 變式訓(xùn)練 4： 已知函數(shù) f(x)=x2 （ 1）求函數(shù)的值域為［ 0， +∞) 時的 a的值； （ 2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù) f(a)=2a|a+3|的值域 解 ： (1） ∵ 函數(shù)的值域為［ 0， ∴ Δ =16a24(2a+6)=0? 2a2a3=0∴a= 1 或 a=23. （ 2） 對一切 x∈ R， 函數(shù)值均非負 ,∴ Δ =8(2a2a3)≤0 ? 1≤a≤23,∴a+3 ＞ 0, ∴f(a)=2 a(a+3)=a23a+2=(a+23)2+417(a ???????? 23,1). ∵ 二次函數(shù) f(a)在??????? 23,1上單調(diào)遞減 ， ∴f （ a） min=f )23(=419， f（ a） max=f（ 1） =4， ∴ f(a)的值域為??????? 4,419. 總結(jié)歸納 1． 求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例 1），應(yīng)抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例 2），就應(yīng)抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應(yīng)使實際問題或幾何問題有意義 . 2． 求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模 式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應(yīng)根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法 . 第 3 課時 函數(shù)的單調(diào)性 基礎(chǔ)過關(guān)題 一、單調(diào)性 1．定義：如果函數(shù) y＝ f (x)對于屬于定義域 I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x 、 x2，當 x x2時， ① 都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 ； ② 都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的 一個 . 若函數(shù) f(x)在整個定義域 l內(nèi)只有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則 f(x)稱為 . 2．判斷單調(diào)性的方法： (1) 定義法，其步驟為： ① ； ② ； ③ . (2) 導(dǎo)數(shù)法，若函數(shù) y＝ f (x)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導(dǎo)， ① 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)； ② 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù) . 二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論 1．若 f (x), g(x)均為增 (減 )函數(shù)，則 f (x)＋ g(x) 函數(shù)； 2．若 f (x)為增 (減 )函數(shù)，則－ f (x)為 ； 3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有 的單調(diào)性； 4．復(fù)合函數(shù) y＝ f [g(x)]是定義在 M 上的函數(shù)，若 f (x)與 g(x)的單調(diào)相同，則 f [g(x)]為 ，若 f (x), g(x)的單調(diào)性相反，則 f [g(x)]為 . 5．奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 ，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 . 典型例題 例 1. 已知函數(shù) f(x)=ax+12??xx (a＞ 1)，證明：函數(shù) f(x)在 (1,+∞ )上為增函數(shù) . 證明 方法一 任取 x1,x2∈ (1,+∞ ), 不妨設(shè) x1＜ x2,則 x2x1＞ 0, 12xxa? ＞ 1且 1xa ＞ 0, ∴ 0)1( 12112 ???? ? xxxxx aaaa ， 又∵ x1+1＞ 0,x2+1＞ 0, ∴)1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 ?? ???? ??????????? xx xxxx xxxxxxxx＞ 0, 于是 f(x2)f(x1)= 12 xx aa? +1212 1122 ????? xxxx＞ 0, 故函數(shù) f(x)在（ 1,+∞）上為增函數(shù) . 方法二 f(x)=ax+113?x(a＞ 1), 求導(dǎo)數(shù)得 )(xf? =axlna+2)1( 3?x,∵ a＞ 1,∴當 x＞ 1時， axlna＞ 0,2)1( 3?x＞ 0, )(xf? ＞ 0 在（ 1， +∞）上恒成立，則 f(x)在（ 1,+∞）上為增函數(shù) . 方法三 ∵ a＞ 1,∴ y=ax為增函數(shù)， 又 y=13112 ?????? xxx，在（ 1， +∞）上也是增函數(shù) . ∴ y=ax+12??xx在（ 1， +∞）上為增函數(shù) . 變式訓(xùn)練 1： 討論函數(shù) f（ x） =x+xa（ a＞ 0）的單調(diào)性 . 解 ： 方法一 顯然 f（ x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞）上的單調(diào)性， 設(shè) x1＞ x2＞ 0, f(x1)f(x2) =（ x1+1xa ） （ x2+2xa ） =(x1x2)178。 (2)y=)34lg( 2?xx+(5x4)0。 典型例題 例 ，表示同一函數(shù)的是（ ） . A. 1, xyyx?? B. 21 1 , 1y x x y x? ? ? ? ? C. 3 3,y x y x?? D. 2| |, ( )y x y x?? 解 ： 變式訓(xùn)練 1： 下列函數(shù)中，與函數(shù) y=x相同的函數(shù)是 （ ） =xx2 x )2 x = x2log2 解 ： 例 ：（ 1） f( x +1)=x+2 x 為二次函數(shù)且 f(0)=3,f(x+2)f(x)=4x+2.試分別求出 f(x)的解析式 解 ： （ 1）令 t= x +1,∴t≥1 ， x=（ t1） 2 則 f(t)=(t1)2+2(t1)=t21,即 f(x)=x21,x∈ ［ 1， （ 2）設(shè) f(x)=ax2 ∴f(x+2)=a(x+2) 2 則 f(x+2) ∴??? ??? 224 44 baa，??? ???11ba，又 f(0)=3? c=3,∴f(x)=x 2 變式訓(xùn)練 2： （ 1）已知 f（ 12?x） =lgx，求 f（ x） ； （ 2）已知 f（ x）是一次函數(shù)，且滿足 3f（ x+1） 2f（ x1） =2x+17，求 f（ x）； （ 3）已知 f（ x）滿足 2f（ x） +f（x1） =3x，求 f（ x） 解 ： (1)令x2+1=t，則 x=12?t， ∴f （ t） =lg12?t， ∴f （ x） =lg12?x （ 2）設(shè) f（ x） =ax+b，則 3f（ x+1） 2f（ x1） =3ax+3a+3b2ax+2a2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2 ， b=7，故 f（ x） （ 3） 2f（ x） +f（x1） =3x， 把 ① 中的 x換成x1，得 2f（x1） +f（ x） =x3 ①179。2 ② 得 3f（ x） =6xx3， ∴f （ x） =2xx1. 例 3. 等腰梯形 ABCD 的兩底分別為 AD=2a， BC=a， ∠BAD=45176。 (3)y= 225x? +lgcosx。（ 121xxa ） . ∴當 0＜ x2＜ x1≤ a 時，21xxa ＞ 1, 則 f（ x1） f（ x2）＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2),故 f（ x）在（ 0， a ］上是減函數(shù) . 當 x1＞ x2≥ a 時， 0＜21xxa ＜ 1，則 f（ x1） f（ x2）＞ 0,即 f(x1)＞ f(x2), 故 f（ x）在［ a ， +∞）上是增函數(shù) .∵ f（ x ∴ f（ x）分別在（ ∞， a ］、［ a ， + f（ x）分別在［ a ， 0）、（ 0， a ］上為減函數(shù) . 方法二 由 )(xf? =12xa=0可得 x=177。 f(－ a)≠ 0. 2． 對于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點研究 y軸一側(cè)的性質(zhì)，再根據(jù)其對稱性得到整個定義域上的性質(zhì) . 3． 函數(shù)的周期性：第一應(yīng)從定義入手，第二應(yīng)結(jié)合圖象理解 . 第 5 課時 指數(shù)函數(shù) 基礎(chǔ)過關(guān)題 1．根式： (1) 定義：若 axn? ，則 x 稱為 a 的 n 次方根 ① 當 n 為奇數(shù)時， na的 次方根記作 __________； ② 當 n 為偶數(shù) 時，負數(shù) a 沒有 n 次方根，而正數(shù) a 有兩個 n 次方根且互為相反數(shù)，記作________(a0). (2) 性質(zhì)： ① aann ?)( ； ② 當 n 為奇數(shù)時， aan n? ； ③ 當 n 為偶數(shù)時， ?n na _______＝ ??? ??? )0( )0(aaaa 2．指數(shù)： (1) 規(guī)定： ① a0＝ (a≠0)； ② ap＝ ； ③ ( 0,m n mna aa m?? . (2) 運算性質(zhì)： ① raaaa srsr ,0( ??? ? (a0, r、 ?s Q) ② raaa srsr ,0()( ?? ? (a0, r、 ?s Q) ③ ?????? rbababa rrr ,0,0()( (a0, r、 ?s Q) 注：上述性質(zhì)對 r、 ?s R均適用 . 3．指數(shù)函數(shù)： ① 定義：函數(shù) 稱為指數(shù)函數(shù)， 1) 函數(shù)的定義域為 ； 2) 函數(shù)的值域為 ； 3) 當 ________時函數(shù)為減函數(shù)，當 _______時為增函數(shù) . ② 函數(shù)圖像： 1) 過點 ，圖象在 ； 2) 指數(shù)函數(shù)以