【正文】 x） =??????????????)31()2(21)11(21xxxx 由 f(x)=21,解得 x=1. ∵ f（ x）是以 4為周期的周期函數 . f(x)=21的所有 x=4n1 (n∈ Z). 令 0≤ 4n1≤ 2 009,則41≤ n≤20221, 又∵ n∈ Z，∴ 1≤ n≤ 502 （ n∈ Z） , ∴在［ 0， 2 009］上共有 502個 x使 f(x)=21. 變式訓練 3： 已知函數 f(x)=x2+|xa|+1,a∈ R. （ 1）試判斷 f(x)的奇偶性； （ 2）若 21≤ a≤21，求 f(x)的最小值 . 解 ： (1)當 a=0時，函數 f(x)=(x)2+|x|+1=f(x), 此時 ,f(x)為偶函數 .當 a≠ 0時， f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1, f(a)≠ f(a),f(a)≠ f(a),此時， f(x) 為非奇非偶函數 . （ 2）當 x≤ a時 ,f(x)=x2x+a+1=(x21)2+a+43 , ∵ a≤21,故函數 f(x)在（ ∞， a］上單調遞減， 從而函數 f(x)在（ ∞， a］上的最小值為 f(a)=a2+1. 當 x≥ a時，函數 f(x)=x2+xa+1=(x+21)2a+43, ∵ a≥ 21，故函數 f(x)在［ a， +∞）上單調遞增，從而函數 f(x)在［ a， +∞ )上的 最小值為 f(a)=a2+1. 綜上得，當 21≤ a≤21時，函數 f(x)的最小值為 a2+1. 歸納總結 1． 奇偶性是某些函數具有的一種重要性質，對一個函數首先應判斷它是否具有這種性質 . 判斷函數的奇偶性應首先檢驗函數的定義域是否關于原點對稱，然后根據奇偶性的定義判斷（或證明）函數是否具有奇偶性 . 如果要證明一個函數不具有奇偶性，可以在定義域內找到一對非零實數 a與－ a，驗證 f(a)177。 ,41)21(1 22242 ???????? xxxx ∴0≤y≤ ,21即函數的值域為?????? 21,0. 例 4． 若函數 f（ x） =21x2x+a的定義域和值域均為［ 1， b］（ b＞ 1），求 a、 b的值 解 ： ∵f （ x） =21(x1)2+a21. ∴ 其對稱軸為 x=1，即［ 1， b］為 f（ x）的單調遞增區(qū)間 . ∴f （ x） min=f（ 1） =a21=1 ① f（ x） max=f（ b） =21b2b+a=b ② 由 ①② 解得???????.3,23ba 變式訓練 4： 已知函數 f(x)=x2 （ 1）求函數的值域為［ 0， +∞) 時的 a的值； （ 2）若函數的值均為非負值，求函數 f(a)=2a|a+3|的值域 解 ： (1） ∵ 函數的值域為［ 0， ∴ Δ =16a24(2a+6)=0? 2a2a3=0∴a= 1 或 a=23. （ 2） 對一切 x∈ R， 函數值均非負 ,∴ Δ =8(2a2a3)≤0 ? 1≤a≤23,∴a+3 ＞ 0, ∴f(a)=2 a(a+3)=a23a+2=(a+23)2+417(a ???????? 23,1). ∵ 二次函數 f(a)在??????? 23,1上單調遞減 ， ∴f （ a） min=f )23(=419， f（ a） max=f（ 1） =4， ∴ f(a)的值域為??????? 4,419. 總結歸納 1． 求函數的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例 1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例 2），就應抓住內函數的值域就是外函數的定義域；三是實際問題，此時函數的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義 . 2． 求函數的值域沒有通用方法和固定模 式，除了掌握常用方法（如直接法、單調性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法 . 第 3 課時 函數的單調性 基礎過關題 一、單調性 1．定義：如果函數 y＝ f (x)對于屬于定義域 I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x 、 x2，當 x x2時， ① 都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是增函數，而這個區(qū)間稱函數的一個 ； ② 都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是減函數，而這個區(qū)間稱函數的 一個 . 若函數 f(x)在整個定義域 l內只有唯一的一個單調區(qū)間，則 f(x)稱為 . 2．判斷單調性的方法： (1) 定義法，其步驟為： ① ； ② ； ③ . (2) 導數法，若函數 y＝ f (x)在定義域內的某個區(qū)間上可導， ① 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是增函數； ② 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是減函數 . 二、單調性的有關結論 1．若 f (x), g(x)均為增 (減 )函數，則 f (x)＋ g(x) 函數； 2．若 f (x)為增 (減 )函數，則－ f (x)為 ； 3．互為反函數的兩個函數有 的單調性； 4．復合函數 y＝ f [g(x)]是定義在 M 上的函數，若 f (x)與 g(x)的單調相同，則 f [g(x)]為 ，若 f (x), g(x)的單調性相反，則 f [g(x)]為 . 5．奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性 ，偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性 . 典型例題 例 1. 已知函數 f(x)=ax+12??xx (a＞ 1)，證明：函數 f(x)在 (1,+∞ )上為增函數 . 證明 方法一 任取 x1,x2∈ (1,+∞ ), 不妨設 x1＜ x2,則 x2x1＞ 0, 12xxa? ＞ 1且 1xa ＞ 0, ∴ 0)1( 12112 ???? ? xxxxx aaaa ， 又∵ x1+1＞ 0,x2+1＞ 0, ∴)1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 ?? ???? ??????????? xx xxxx xxxxxxxx＞ 0, 于是 f(x2)f(x1)= 12 xx aa? +1212 1122 ????? xxxx＞ 0, 故函數 f(x)在（ 1,+∞）上為增函數 . 方法二 f(x)=ax+113?x(a＞ 1), 求導數得 )(xf? =axlna+2)1( 3?x,∵ a＞ 1,∴當 x＞ 1時， axlna＞ 0,2)1( 3?x＞ 0, )(xf? ＞ 0 在（ 1， +∞）上恒成立，則 f(x)在（ 1,+∞）上為增函數 . 方法三 ∵ a＞ 1,∴ y=ax為增函數， 又 y=13112 ?????? xxx，在（ 1， +∞）上也是增函數 . ∴ y=ax+12??xx在（ 1， +∞）上為增函數 . 變式訓練 1： 討論函數 f（ x） =x+xa（ a＞ 0）的單調性 . 解 ： 方法一 顯然 f（ x）為奇函數，所以先討論函數 f（ x）在（ 0， +∞）上的單調性， 設 x1＞ x2＞ 0, f(x1)f(x2) =（ x1+1xa ） （ x2+2xa ） =(x1x2)178。 (2)y=)34lg( 2?xx+(5x4)0。 典型例題 例 ，表示同一函數的是（ ） . A. 1, xyyx?? B. 21 1 , 1y x x y x? ? ? ? ? C. 3 3,y x y x?? D. 2| |, ( )y x y x?? 解 ： 變式訓練 1： 下列函數中，與函數 y=x相同的函數是 （ ） =xx2 x )2 x = x2log2 解 ： 例 ：（ 1） f( x +1)=x+2 x 為二次函數且 f(0)=3,f(x+2)f(x)=4x+2.試分別求出 f(x)的解析式 解 ： （ 1）令 t= x +1,∴t≥1 ， x=（ t1） 2 則 f(t)=(t1)2+2(t1)=t21,即 f(x)=x21,x∈ ［ 1， （ 2）設 f(x)=ax2 ∴f(x+2)=a(x+2) 2 則 f(x+2) ∴??? ??? 224 44 baa，??? ???11ba，又 f(0)=3? c=3,∴f(x)=x 2 變式訓練 2： （ 1）已知 f（ 12?x） =lgx，求 f（ x） ； （ 2）已知 f（ x）是一次函數，且滿足 3f（ x+1） 2f（ x1） =2x+17，求 f（ x）； （ 3）已知 f（ x）滿足 2f（ x） +f（x1） =3x，求 f（ x） 解 ： (1)令x2+1=t，則 x=12?t， ∴f （ t） =lg12?t， ∴f （ x） =lg12?x （ 2）設 f（ x） =ax+b，則 3f（ x+1） 2f（ x1） =3ax+3a+3b2ax+2a2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2 ， b=7，故 f（ x） （ 3） 2f（ x） +f（x1） =3x， 把 ① 中的 x換成x1，得 2f（x1） +f（ x） =x3 ①179。2 ② 得 3f（ x） =6xx3， ∴f （ x） =2xx1. 例 3. 等腰梯形 ABCD 的兩底分別為 AD=2a， BC=a， ∠BAD=45176。 (3)y= 225x? +lgcosx。（ 121xxa ） . ∴當 0＜ x2＜ x1≤ a 時，21xxa ＞ 1, 則 f（ x1） f（ x2）＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2),故 f（ x）在（ 0， a ］上是減函數 . 當 x1＞ x2≥ a 時， 0＜21xxa ＜ 1，則 f（ x1） f（ x2）＞ 0,即 f(x1)＞ f(x2), 故 f（ x）在［ a ， +∞）上是增函數 .∵ f（ x ∴ f（ x）分別在（ ∞， a ］、［ a ， + f（ x）分別在［ a ， 0）、（ 0， a ］上為減函數 . 方法二 由 )(xf? =12xa=0可得 x=177。 f(－ a)≠ 0. 2． 對于具有奇偶性的函數的性質的研究，我們可以重點研究 y軸一側的性質，再根據其對稱性得到整個定義域上的性質 . 3． 函數的周期性：第一應從定義入手，第二應結合圖象理解 . 第 5 課時 指數函數 基礎過關題 1．根式： (1) 定義：若 axn? ，則 x 稱為 a 的 n 次方根 ① 當 n 為奇數時， na的 次方根記作 __________； ② 當 n 為偶數 時，負數 a 沒有 n 次方根，而正數 a 有兩個 n 次方根且互為相反數，記作________(a0). (2) 性質： ① aann ?)( ； ② 當 n 為奇數時， aan n? ； ③ 當 n 為偶數時， ?n na _______＝ ??? ??? )0( )0(aaaa 2．指數： (1) 規(guī)定： ① a0＝ (a≠0)； ② ap＝ ； ③ ( 0,m n mna aa m?? . (2) 運算性質： ① raaaa srsr ,0( ??? ? (a0, r、 ?s Q) ② raaa srsr ,0()( ?? ? (a0, r、 ?s Q) ③ ?????? rbababa rrr ,0,0()( (a0, r、 ?s Q) 注：上述性質對 r、 ?s R均適用 . 3．指數函數： ① 定義：函數 稱為指數函數， 1) 函數的定義域為 ； 2) 函數的值域為 ； 3) 當 ________時函數為減函數，當 _______時為增函數 . ② 函數圖像： 1) 過點 ，圖象在 ； 2) 指數函數以