【正文】 =c11y1+c12y2+L+c1nyn239。c11231。c22Lc2n247。230。231。247。n248。2．合同的性質(zhì)A① 反身性：對(duì)任意方陣A，都有A~B，則B~A② 對(duì)稱性：若A~C B,B~C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角陣L（L是以A的n個(gè)特征根為對(duì)角元的對(duì)角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC=L。即（三、習(xí)題P181T1T3T4167。慣性定理的等價(jià)表述：任意一個(gè)秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過(guò)滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。A的n個(gè)特征值全為正；219。a21A=234。A1nA21A22MA2nLAn1249。n．算律：(1)(A+B)=A+B(2)(kA)=kA(3)(AB)=AB(4)(A)=(A)=AH167。n為可逆矩陣222。n, 若有Bn180。A1可逆, 且(A1)1=A．對(duì)于A1, 取B=A, 有A1B=A1A=E．(2)A可逆, k185。n與Bn180。101231A22A3E=E222。x=A1y(3)矩陣方程求解設(shè)Am180。233。234。21631=234。0111249。235。密碼問(wèn)題：a174。A=234。235。action：1, 3, 20, 9, 15, 14 233。加密：A234。發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 233。1249。52234。234。明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action234。234。235。A21A12249。234。234。：Am180。235。MM234。A11LA1t249。n234。LAit]234。234。 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．233。1O249。235。1234。1024110330249。A11233。234。M235。Ai(i=1,2,L,s)可逆(3)Ai(i=1,2,L,s)可逆222。1A2249。500249。234。 A2234。AO249。 解 detM=(detA)(detB)185。233。235。X4X2249。EnCX2+BX4=EnM1233。3 2 1]或 A=[1, 2, 3。情形3。4x1+2x2+x3+2x4+3x5=4例子: +2x+3x+2x+x=02345239。情形2。課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14第四篇：Matlab 與線性代數(shù)教案Matlab 與線性代數(shù)一、Matlab 入門(mén)：、退出、運(yùn)行： ： ： =：賦值符號(hào)[ ]：數(shù)組定義符號(hào) , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符。CX1+BX3=O239。O=A1=O=BCA=B111O249。X3239。X235。 , X4235。0235。234。AsA=dia(g234。LAsT1249。M234。：Am180。2234。235。234。B2111012100100249。Cs1LCsr 11 233。234。235。=234。：Am180。Bs1LBsr234。B11LB1r249。234。234。1234。14201581249。43235。233。111234。233。011234。235。121249。231234。X=A1CB1233。nx, detA185。例2 設(shè)An180。234。AT可逆, 且(AT)1=(A1)T．對(duì)于AT, 取B=(A1)T, 有ATB=AT(A1)T=(A1A)T=E．(5)A可逆222。n, 若有Bn180。AdetAdetA1A*．由定義知A為可逆矩陣，且A1=detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA185。detA185。重要性質(zhì)：AA*=A*A=(detA)E：復(fù)矩陣A=(aij)m180。LannA11234。n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．233。0，都有f(x)0，則稱f為正定二次型，并稱其對(duì)稱矩陣A為正定矩陣。()EC一、慣性定理和規(guī)范形定理1：設(shè)實(shí)二次型f=xTAx的秩為r，有兩個(gè)實(shí)滿秩線性變換x=Cy及x=Pz，222使得 f=k1y1+L+kpy2,2,L,r)（1）pkp+1yp+1Lkryr(ki0,i=12222及f=l1z1+L+lqzqlq+1zq,2,L,r)+1Llrzr(li0,i=1則p=q；且稱p為二次型f的正慣性指數(shù)，rp為二次型f的負(fù)慣性指數(shù)。22即存在正交變換x=Qy使f化為標(biāo)準(zhǔn)形：（其中l(wèi)1,l2,L,lnl1x12+l2x2+L+lnxn是對(duì)稱矩陣A的全部特征根）講書(shū)上P176 例1（3）初等變換法由于任意對(duì)稱陣A都存在可逆矩陣C，使CAC為對(duì)角陣；由于C是可逆陣，故可表TTTT示一系列初等矩陣的乘積。因此，我們有f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy，其中B=CTAC，而且 BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B三、矩陣的合同1．定義3：設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC=B，則TB。y247。則線性變換可用矩陣形式表示：x=Cy。x231。c12230。n1Lc1n246。xn=1y1+2y2+L+nyn的一個(gè)線性變量替換，簡(jiǎn)稱線性變換。由此可見(jiàn)，對(duì)稱矩陣A與二次型f是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故稱對(duì)稱矩陣A為二次型f的矩陣，也稱二次型f為對(duì)稱矩陣A的二次型，R(A)也稱為二次型f的秩。247。La2n247。a232。 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示定義1：含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：22f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a22x2+L+annxn+ +2a12x1x2+2a13x1x3+L+2an1,nxn1xn稱為二次型。二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論定理4：任意實(shí)對(duì)稱矩陣A都與對(duì)角矩陣相似。即A的幾何重?cái)?shù)nR(AlE)等于代數(shù)重?cái)?shù)k。 相似矩陣一、相似矩陣的概念定義1：設(shè)A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。ai=1nii=tr(A)稱為A的跡；(2)213。特征矩陣：(AlE)或者(lEA)lEA=0a11l特征多項(xiàng)式：AlE=a12Man2LOa1na2nM=j(l)a21Man1a22lLLannlnn1=al+al+L+an1l+an0[a0=(1)n]二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟(1)求出特征方程j(l)=AlE=0的全部根l1,l2,...,ln，即是A的特征值；(2)對(duì)于每個(gè)特征值li求解線性方程組(AliE)x=0，得出的基礎(chǔ)解系就是A的屬于特征值li的特征向量；基礎(chǔ)解系的線性組合就是A的屬于特征值li的全部特征向量。定理3：設(shè)A,B都是n階正交方陣，則(1)A=177。248。都是正交陣。230。定理1：若n維向量a1,a2,L,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,L,ar線性無(wú)關(guān)。0(2)齊次性：定義3：當(dāng)x185。性質(zhì)2：若x是Ax=0的解，h是Ax=b的解，則x+h是Ax=b的解。min{R(A),R(B)}性質(zhì)3：若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A)五、習(xí)題P124 T1T2T3T9167。定義3：向量組的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為該向量組的秩。r)的一個(gè)部分組，若(1)向量組A0:a1,a2,L,ar線性無(wú)關(guān)；(2)A中的任意向量均可由向量組A0:a1,a2,L,ar線性表示； 則稱A0:a1,a2,L,ar為A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組）。n)得到的m個(gè)n維向量也線性無(wú)關(guān)。推論3：任一個(gè)n維向量組中線性無(wú)關(guān)的向量最多有n個(gè)。a=lb(即兩向量共線：對(duì)應(yīng)分量成比例)③ 三個(gè)向量線性相關(guān)：幾何意義是三個(gè)向量共面。：向量b能由向量組A:a1,a2,L,am線性表示的充要條件是R(A)=R(A,b)，其中A=(a1,a2,L,am)。231。247。247。231。231。247。2247。x2=k（k206。0000247。1141247。247。231。因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。231。1331247。232。232。231。230。238。4248。231。=k231。x8/38231。x1246。0018/9247。174。230。0098247。174。247。230。R(A)n219。nx=b（1），則① 有唯一解219。00112a2231。230。01152a2247。231。247。248。231。248。21561247。42232247。21113246。21561247。故A=0，即R(A)=0。故R(A)+R(A)163。n,239。nBn180。O232。Cn二、矩陣的秩定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為R(A)。1234247。n矩陣A中，任取k行k列(1163。174。初等行變換190。A=P,2,L,k為初等矩陣)1P2LPk(Pi,i=1由推論可知，AB219。O248。n矩陣A，總存在有限個(gè)m階初等矩陣P1,P2,L,Ps和n階初等矩陣Ps+1,Ps+2,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=231。248。247。231。230。02248。247。174。247。13246。248。三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第i行和第j行；對(duì)應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍；對(duì)應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；對(duì)應(yīng)En(i,j(k))230。230。231。OA2+B2247。A1k③A=231。A2247。247。231。O232。1三、習(xí)題P75 T2T3(3)T6T7T92246。231。248。13247。719246。232。230。 231。247。滿足什么條件時(shí)可逆，并求A。T*TT11T⑦因?yàn)?A*)T=(AA1)T=A(A1)T，(A)=A(A)=A(A)所以(A)=(A)111⑧因?yàn)锳A=E=1，即AA=1，所以A=*TT*11=A A⑨由AB=AB185。A按照逆矩陣的定義，即有A1注意：當(dāng)A185?？赡娴呐卸ǘɡ矶ɡ恚悍疥嘇可逆219。232。231。=AE 247。247。ja12La1n246。a21*故AA=231。MM247。A12231。如果A=(aij)m180。0232。248。a22La2n247。性質(zhì)：lEA=lAE=lA M247。231。l2L0247。1L0247。l1231。 特殊矩陣與方陣行列式一、特殊矩陣單位矩陣230。248。247。231。10246。例1說(shuō)明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB185。231。231。231。247。231。231。36247。4246。n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj=229。la21定義2：數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al，規(guī)定為lA=234。n248。b2247。n=Bm180。為矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m180。231。注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零。238。j)或a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj(i185。四、習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)167。例：（常用結(jié)論）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMOan2Lannl1（2）l2N=(1)l1l2Llnlnn階行列式的等價(jià)定義定理：D=t1+t2(1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1為行標(biāo)排列i1i2Lin的逆序數(shù)，t2為列229。則n階行列式定義如下： M247。231。a11三對(duì)角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。a3232。DD236。a21a22248。a11a12246。O246。F=231。247。M231。Lamn247。a232。 矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換定義：稱由m180。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。x1=22c1c2239。即237。 231。231。232。231。174。1231。2x1+4x2+x3+x4=5239。232。0115247。230。0016247。247。248。0016247。231。231。1246。231。0412247。231。故我們隱去x1,x2,x3,=，得到一個(gè)數(shù)字陣（即矩陣B），對(duì)B進(jìn)行初等行變換：230。x=6239。239。3x=18238。239。2x1x2+3x3=1239。247。m1230。248。238。123例3 405106解：原式=58 例4 實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件時(shí)ab0ba0=0 101ab0解：ba0=a2+b2a，b為實(shí)數(shù)，若要a2+b2=0，則a，b需同時(shí)等于零。在線性代數(shù)中，將含兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程式的線性方程組的一般形式寫(xiě)為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)時(shí)，有（2）這就是二元方程組的解的公式。第一篇：線性代數(shù)教案第一章線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學(xué)時(shí)）教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)教學(xué)目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開(kāi)定理，行列式的計(jì)算，克萊姆法則解方程組。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 二階與三階行列式一．二階行列式引入新課：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào)，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來(lái)表示，即有同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為于是有就可以按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。239。Lamn247。a232。m1am2Lamn二、線性方程組的消元法b1246。236。2x1x2+3x3=1239。4xx=2239。x1=9239。x2=1239。3從上面可以看出，整個(gè)消元過(guò)程和回代過(guò)程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。247。231。0115247。248。247。174。231。232。231。 231。1246。其中231。0016247。例2：解方程組237。230。24115247。12214247。248。247。00111247。248。x3=1+x4236。236。五、習(xí)題P11 T1(2)T2167。231。247。0231。00L00L0246。n174。0L00L0248。a11x1+a12x2=b1230。a21x1+a22x2=b2232。2從而x1= 二、三階行列式 D1D,x2=2。ax+ax+ax=b231。a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 為三階行列式。a11231。La2n247。即n階行列式是指n!項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。123例：②如211111211234=234；③如339=32113***123123④如456=123+333；112112112111111111111⑤如2334=012=012=012=0 45345012000注意：計(jì)算行