【正文】 ）236。b c a]’)(2).syms a b cA=[a b c。11AX=O239。239。X1234。X1M1=234。n都可逆, Cn180。234。233。021 =234。 特點：“大轉”+“小轉”：設A1,A2,L,As都是方陣, 記233。As1LAsr 31=0233。B111234。234。MBtj235。 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．：kAm180。234。As1LAsrMMB=M, m180。B2B3B4]用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．特點：同行上的子矩陣有相同的“行數”；同列上的子矩陣有相同的“列數”．233。0100233。233。234。4315=234。67249。234。 , A1=234。3, ? ,z174。110249。 滿足A*X=A1+2X, 求X．例4 設A=234。355234。20233。234。, C=234。n已知, 則AX=C222。nx=b, detA185。310249。n與Bn180。detA185。detA185。n滿足AB=BA=E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A1=B．定理1 若An180。MML235。存在可逆矩陣P，使A=PTP219。A與B的正負慣性指數相同219。190。+d2x2+L+dnxn二、化二次型為標準形（1）配方法對任意一個二次型f=xTAx，都可用配方法找到滿秩變換x=Cy，將f化為標準形。若C185。231。247。247。LLL247。L231。為由變量x1,x2,L,xn到變量y1,y2,L,yn.......................................239。232。LL247。247。a21記A=231。ni=1i=n。 實對稱矩陣的相似矩陣1一、實對稱矩陣的特征值性質定理1：實對稱矩陣的特征值都是實數。A可對角化。A不含零特征值。n的n個特征值為l1,l2,...,ln，則(1)mmkkT229。特征方程：Ax=lx219。aiTaj=237。1/31/31/3247。247。231。定義4：當[x,y]=0時，稱向量x與y正交。0，當且僅當x=0時等號成立定義2：令x=[x,x]=22x12+x2+L+xn，稱為n維向量x的長度（或范數）。定理1：若n元齊次線性方程組Ax=0的系數矩陣A的秩R(A)=rn，則Ax=0的基礎解系恰含有nr個線性無關的解向量。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。推論1：兩個等價的線性無關的向量組必含有相同個數的向量。命題2：若矩陣A經過初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價。i163。推論1：當向量的個數等于向量的維數時，向量組A線性相關的充要條件是A=0；向量組A線性無關的充要條件是A185。定義：設有n維向量組A:a1,a2,L,am，如果存在一組不全為零的數k1,k2,L,km使k1a1+k2a2+L+knan=0則稱向量組A線性相關；否則稱它線性無關。例：任何一個n維向量a=(a1,a2,L,an)都可以由n維單位向量組：Te1=(1,0,0,L,0)T，e2=(0,1,0,L,0)T，L，en=(0,0,L,0,1)T線性表示。M247。230。n，則A=(a1,a2,L,an)，其中aj=231。①n維向量的相等；②零向量；③負向量；④加法；⑤數乘二、向量組的線性組合定義：由若干個同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個向量組。為n維列向量；其轉置aT=(a1,a2,L,an)稱為n維行向量。1矩陣230。247。xx236。248。0010247。231。1121246。232。231。230。0031247。231。0131247。230。lx1+lx2+2x3=1239。232。3247。237。231。236。013231。231。232。231。174。12231。2x1+5x2+3x3=0239。R(A)=n ② 有非零解219。248。因為R(A)=3，所以63a=0，即a=2 174。232。231。解：A174。112231。的秩為3，求a的值0115247。231。232。231。231。230。例求A=231。所以R(A)179。0；由AA=AE知A=An1185。 247。R(A)+1⑦ R(A+B)163。A的行階梯形含r個非零行219。248。231。174。190。190。存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使PAQ=B，記為AB。247。12即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)A=B初等變換與初等矩陣的關系定理1：設A是一個m180。A=B 01232。231。13246。則231。232。231。231。247。230。247。248。⑤A=A；⑥A12231。1247。247。231。 1247。其中Ai與Bi(i=1,2)是同階的子方塊，則 247。231。 分塊矩陣和初等矩陣一、分塊矩陣設An180。=231。247。232。246。231。X=231。25231。db246。c232。231。證明：AB=AB=E=1，故A185。0167。0時，A=A*nnn1。an2Lann248。247。231。247。A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=237。0時，A=A證明：（1）因為230。A21LAn1246。二、方陣行列式性質：①AB=AB=BA（A,B都是n階方陣）n②A=A n③kA=knA三、伴隨矩陣定義：n階行列式A的各個元素的代數余子式Aij所構成的如下矩陣230。MM247。0A=231。231。230。三角矩陣0246。mm性質：[diag(l1,l2,L,ln)]m=diag(l1,lm2,L,ln)，m為正整數。n180。0232。231。三、方陣的冪及方陣多項式定義：設A是n階方陣，則A1=A,A2=AA,L,Ak+1=AkAklk+lklkl方陣的冪滿足的運算律：(1)AA=A；(2)(A)=A方陣多項式設f(x)=a0xm+a1xm1+L+am1x+am(a0185。232。247。解：（1）A=231。230。12248。AB 247。00246。36248。231。24246。232。231。n（A的列數等于B的行數）。s，B=(bij)s180。la22Lla2n矩陣的加法滿足下列運算律(設A,B,C都是m180。231。231。Lamn247。m1a12a22Mam2La1n246。n個數aij(i=1,2,L,m。推論：(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個不同的解，那么它的系數行列式D=0。2112222nn2237。n213。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項之和，則D等于兩個行列式的和。(1)t(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn這里，229。m1a12a22Mam2La1n246。：n階矩陣A=(aij)n180。a33247。211a222222332，記A=231。Dx1=D1那么（2）可以表示為237。247。四、習題P18T1(4)(5)T2(1)T3 P19 總復習題：T3T4第二章行列式教學目標與要求、逆序數的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質 ，掌握范德蒙德行列式的結論 教學重點 教學難點 167。MMMM247。Er0L10L0247。M231。1231。n。a21A=231。238。238。238。248。174。12012246。248。00333247。247。230。四、一般解和通解236。00318247。231。232。231。231。232。 231。231。230。248。2026247。4254247。2131246。3238。x2=1，237。2x1x2=19236。x2x3=5；239。2x1x2+3x3=1236。bm247。231。M231。為系M247。2112222nn(1)237。這個公式更不好記，為了便于記它，于是引進三階行列式的概念?！毒€性代數》（第二版），科學出版社，2010年8月。教學難點：行列式按行按列展開。（一）定義：我們稱記號為二階行列式，它表示兩項的代數和：即定義（3）二階行列式所表示的兩項的代數和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，從右上角到左下角兩個元素相乘取負號，即－ ＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數，所以又稱它為二元方程組的系數行列式，并用字母D表示，即有如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數項b1，b2，則可得到另一個行列式，用字母D1表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數和：，這就是公式（2）中x1 的表達式的分子。 線性方程組的基本概念一、基本概念定義：m個方程n個未知數的線性方程組為如下形式：236。方程組(1)a12a22Mam2La1n246。a11231。231。為增廣矩陣。4x1+2x2+5x3=4239。解：237。23238。239。x=6239。230。231。231。232。2131246。231。174。0016247。20018246。231。0016247。1009246。0101247。232。1解：2121246。231。00333247。231。230。174。231。x1+2x2+x4=2236。21令x2=c1,x4=c2，得方程組的通解為237。2112222nn定理：在齊次線性方程組237。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數表230。247。二、矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。0231。MMMM247。O247。 247。引例：對于線性方程組237。236。a11a12231。311322333a11稱D=A=detA=a21a13246。（n級排列共有n!個）定義2：在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數稱為這個排列的逆序數，記作t。21M231。Lamn247。三、行列式的性質設n階矩陣A=(aij)n180。：***中，a11=1的余子式為M11=412，代數余子式為 23411234A11=(1)1+1M11=M11，a21=4的余子式為M21=412，代數余子式為341A21=(1)2+1M21=M21，二、展開公式定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和。 克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有n個未知數x1,x2,L,xn與n個方程的線性方程組236。如果線性方程組(1)的系數行列式D=A185。它主要適用于理論推導。M231。n。aij=bij(i=1,2,L,m。247。n，B=(bij)m180。M234。；矩陣的數乘滿足下列運算律(設A,B都是m180。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。24246。的乘積AB與BA。230。247。232。230。247。232。若AB=BA，則稱方陣A與B可交換。10246。247。231。248。231。0L=231。MM247。247。MM231。l247。a21或231。an1性質：A=a11a22Lann轉置矩陣 230。247。m。231。A2nLAnn247。231。A11A21LAn1246。a22La2n247。231。231。248。0；當A可逆時，A=11* A，其中A*為A的伴隨矩陣。可見，可逆矩陣就是非奇異矩陣。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。248。0時，A可逆； 247。adbc232。13247。247。35246。248。231。411247。247。A1O246。232。248。248。O232。248。232。1247。例將A=231。231。13246。174。=B 247。247。01248。230。231。231。248。O232。n定理3：對于n階可逆矩陣A，總存在有限個n階初等矩陣P1,L,Ps,Ps+1,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=En180。求逆矩陣的基本方法初等變換法：(A|E)190。190。初等列變換190。min{按原來的位置構成的一個k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。1200231。三、矩陣秩的性質m,n} ① 1163。R(A,B)163。n例設A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T230。1,R(A)=n1239。nR(A)163。21113246。248。247。231。00231。00006248。12a3246。230。00112a2247。247。00063a0247。247。231。R(A)=R(A,b)n③ 無解219。R(A)=R(A,B)二、線性方程組的解法236。230。247。0130247。248。230。0108/3247。248。8246。231。(k206。231。9238。0,l185。230。0021247。248。R(B)，所以方程組無解。174。1123247。230。231。231。231。因R(A)=R(B)=23，所以方程組有無窮多解。3239。167。a2247。232。231。a247。b2247。一個線性方程組Am180。nx=0，寫成向量形式：x1a1+x2a2+L+xnan=0。定理2：向量組a1,a2,L,am(m179。(2)若向量組a1,a2,L,ar線性相關，則向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)必線性相關；反之，若向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)線性無關，則向量組a1,a2,L,ar必線性無關。 向量組的秩一、向量組的等價定義1：設有向量組A:a1,a2,L,am；向量組B:b1,b2,L,bs，若向量組A中的每一個向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關系。：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。nx=0(1)性質1：若x1,x2都是Ax=0的解，則x1+x2也是Ax=0的解。講教材P132 例3和例4三、習題P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復習題：T1 T2 T4 T5 T6至T13第五章 特征值和特征向量矩陣的對角化教學目標與要求，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質 ，掌握它們的性質及其求法 ，掌握相似矩陣的性質，熟悉實對稱矩陣的對角化方法 教學重點 教學難點 167。0時，稱q=arccoslx=lx(3)三角不等式：x+y163。令[a2,b1]b；L；[b1,b1]1[a,b][a,b][ar,br1]b。231。cosq248。A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。性質2：設l是方陣A的特征值，k,m206。 0是A的特征值；A可逆219。定理2：n階方陣A可對角化219。ni=1i=n。1T定理5：設A是n階實對稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP=PAP=L。為了便于用矩陣討論二次型，令aij=aji，則二次型為：f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+2 a21x2x1+a22x2+L+a2nx2xn+.................................................2 an1xnx1+an2xnx2+L+annxn=230。anijxixjLa1n246。x2247。x247。x1