【正文】 ．設(shè)n階實(shí)對(duì)稱陣A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，：設(shè)A,B的特征值分別為li,mi(i=1,L,n).由題設(shè)知li0,mi0,i=1,L,=diag(l1,L,li,L,ln)為PiA的特征向量，i=1,L,，所以存在正交矩陣P=(P1,L,Pi,L,Pn)，使 即AP,ii=liP由已知條件Pi也是B的特征向量，故BPi=miPii=1,Li,L,n因此ABPi=AmiPi=(limi)Pi，這說明limi是AB的特征值，且limi0，i=1,L,ABP=Pdiag(l1m1,L,limi,L,lnmn),PT=AB=Pdiag(l1m1,L,limi,L,lnmn)P，顯然AB為實(shí)對(duì)稱陣，．設(shè)A=(aij)n180。230。231。231。n248。n1n1n2n1對(duì)任給的n維向量X=(x1,L,xn)185。TTXBX=X231。231。n248。231。nn248。2n2n247。n1n1n2n1則因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，顯然B是實(shí)對(duì)稱矩陣，230。得到，即230。231。231。計(jì)算Bk的行列式，有Bk=213。(l+k)0，故|A+kEii=．設(shè)A為n階正定陣，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k0，均有|A+kE|：因?yàn)锳為正定矩陣，故A為實(shí)對(duì)稱陣，且A的特征值li0,i=1,L,，使230。li231。于是對(duì)任意k0，有l(wèi)1+kO|P||A+kE=|230。li231。li+kOP|1=|213。0，有(X,X)0,(AX,AX)179。0，X為實(shí)向量，有AX185。 231。247。24a247。247。122246。244247。232。231。231。231。230。P1=231。3231。232。為正交矩陣，3231。正交變換X=PY為X=231。247。1k2236。230。231。231。232。設(shè)A=231。116對(duì)于l1=l2=2，求得特征向量為230。232。.231。β1=231。231。231。230。232。231。231。231。26247。231。231。11246。1令P=(P1,P2,P3)=231。63248。y2=x2x3239。22247。231。y247。232。231。x247。230。 01247。y=x3x239。224 237。231。0001247。z=y22239。y=3z239。1231。231。x=y3238。239。110247。001247。239。w2=2z2即 237。238。247。6247。12231。23231。00247。0247。c2+2180。0246。190。231。0247。247。1247。190。230。190。10230。2100231。231。231。231。110246。190。1231。010247。r1c3+3180。c1+c2174。247。190。c1231。231。2180。231。231。247。231。22247。232。121令 237。x3=y3230。231。z1=2y1239。239。230。3令Q=231。231。即239。224 237。02令P=231。247。237。239。令Q=231。3247。231。246。190。247。232。247。c1174。35180。248。2231。248。231。15247。231。1231。10110001247。247。190。c1231。231。247。174。00320231。232。r2r2+r4231。190。00302231。232。r22190。c2231。 248。000246。1231。190。2180。1247。231。22248。231。22248。247。200246。248。x1246。247。247。x2247。022247。1247。248。0247。0246。231。231。x247。247。0247。231。248。247。230。247。022247。3248。0246。1247。x247。248。231。2247。247。則P為正交陣，經(jīng)正交變換X=PY，247。247。247。231。247。1247。1247。247。1247。x10120232。232。231。231。2247。10210246。10247。247。1246。230。=k231。231。232。230。1247。231。231。對(duì)l3=l4=1，解230。1010247。230。247。231。232。x247。1247。x247。231。1246。,T4=231。0247。247。2247。3=231。247。248。11246。2202247。247。解：二次型f1的矩陣為1246。232。231。A的各階順序主子式112111211130310,=20，130=60，=240（3）f3=x1+x2+14x3+7x4+6x1x3+4x1x44x2x3解：二次型f3的矩陣為230。247。128規(guī)范形fy22+y21=1+y23，同時(shí)也把二次型 f32=2x222x21+3x2+32x1x32x1x34x2x3 化成標(biāo)準(zhǔn)形f2222=k1y1+k2y2+：記f1=XTAX，其中230。247。247。231。E247。2+2174。2247。2247。230。231。2231。03+9r2231。3+66247。4c1180。231。436247。247。230。231。00232。01231。231。231。247。231。247。513247。247。4247。2247。=231。231。247。1231。231。 247。6247。42231。231。231。00247。232。36247。247。231。31246。100246。231。230。3247。247。04247。232。c3231。21247。190。1247。190。1231。230。001247。247。231。190。012247。r230。231。204247。20=330,10310012=10，012=10，30．求一可逆線性變換X=CY，把二次型f1=2x1+5x2+4x32x1x24x1x3化成 200232。232。1303247。231。原二次型f化為f=XTAX=y22221+3y2+y3+．判斷下列二次型正定，負(fù)定還是不定.（1）f2221=2x26x24x3+2x1x2+2x1x3127222247。112247。230。2232。0247。231。0246。232。231。231。230。247。231。1247。231。231。247。231。230。x1246。2247。247。1247。247。231。232。231。x2231。230。x4248。x3247。247。232。231。1231。231。232。1247。231。0231。247。247。x12100122247。231。231。1101246。247。2247。247。231。3248。1247。247。0246。248。0247。247。230。231。248。247。x247。247。012247。231。1246。x1246。246。3248。x247。1247。0247。247。247。0246。023247。2248。1247。0247。231。22247。令 P1=231。***0123322003300010246。r3180。190。248。001247。247。232。00302111247。247。01001232。00302111247。190。231。01201232。01121110247。190。230。11110001247。174。190。230。231。101100246。231。0247。231。,247。1令 P1=231。232。 23180。12180。1231。231。030010247。247。20010246。032247。3247。1247。3=z3238。y1=z1239。232。0101246。x1=y1y2y4239。y=x2x239。231。231。5239。z2=3y2即 237。239。231。238。22239。 247。231。231。231。11T230。231。c174。190。248。c1174。190。190。230。190。1003360246。231。r2231。232。120222T230。130232。0231。231。120200001T433000246。00190。231。01190。 247。0247。10247。00247。r2231。248。174。1247。247。230。248。247。247。3239。239。3238。001247。z2=y22y3，即237。101246。（2）先線性變換237。3247。231。239。z1=y1239。231。118230。x1=y1+2y2+4y4239。=6y12+27．用初等變換和配方法分別將二次型222（1）f1=x13x2+2x4+4x1x24x1x4+2x2x4（2）f2=2x1x26x2x3+2x1x3化成標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，：先用配方法求解（1）f1=(x1+4x1x24x1x4)3x2+2x4+2x2x4=(x12x2+2x4)+x2+6x46x2x4=(x12x2+2x4)+(x23x4)3x4 222222222236。231。在此可逆線性變換下f的標(biāo)準(zhǔn)形為1246。=231。1230。3248。247。231。y1246。11222x3239。0231。11247。232。231。231。247。231。632231。230。標(biāo)準(zhǔn)化得231。232。.231。230。231。ξ2=231。,231。2則|lEA|=(l2)(l5).故A的特征值為l1=l2=2,l3=5.231。232。+(1,1,1)231。231。解之1k25．試問：三元方程3x1+3x2+3x3+2x1x2+2x1x3+2x2x3x1x2x3=0，解：記f=3x1+3x2+3x3+2x1x2+2x1x3+2x2x3x1x2x3230。248。230。1231。則P=(P1,P2,P3)=231。232。3231。1231。230。對(duì)于l3=9，可得A的特征向量為231。232。,ξ2=231。230。231。247。248。122246。247。231。247。0x+1x+1x=023238。r(A)163。113232。247。232。1247。i163。k248。231。Bk=231。n248。nnnn248。231。nn248。=(b1x1,L,bnxn)231。n1nn248。X231。230。nnnn248。n1nn248。231。B=231。230。110即A+A+．設(shè)A正定，B為半正定，則A+證：顯然A,B為實(shí)對(duì)稱陣，故A+X185。0，由A為實(shí)對(duì)稱陣，則A為半正定矩陣，故|A|179。232。231。231。TT247。231。230。231。231。n248。x247。247。xj247。M247。247。ai1246。247。247。247。M231。232。MMM231。則A=231。231。(ai=1mi11令A(yù)=(aij)m180。1247。230。2248。=231。C1TAC246。246。B1246。235。9249。r3235。1234。r2+r1190。235。x31234。1233。234。0234。235。234。233。0234。1234。235。R)則a+b=(x1+y1,x2+y2,L,xn+yn)ka=(kx1,kx2,L,kxn).因?yàn)?x1+y1)+(x2+y2)+L+(xn+yn)=(x1+x2+L+xn)+(y1+y2+L+yn)=0, kx1+kx2+L+kxn=k(x1+x2+L+xn)=0,所以a+b206。a1249。的一個(gè)極大無關(guān)組為a1,a2,a3。235。248。0 0 1a 0247。174。247。1 a a a246。12236。248。0 0 0 0 0247。231。247。12所以a3=32a172a2,a4=a1+ 1 1 43246。x+3x=9238。248。0 0 0 0247。247。31 8 1247。0 12 2247。231。2231。(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,2,5,6),α5=(3,1,5,7).解：(1)以向量組為列向量組成Α, 0 1230。248。247。2 1 7 2 5247。174。231。230。248。231。231。174。247。230。0 0 011231。232。231。1 36 10 51510 5151231。08 40 1247。247。247。 6 1 1 7246。0 18 10248。247。0 0 0247。174。247。5231。1 4 1246。234。235。235。10B=(b1,b2,b3)=1234。0234。1234。235。20,a2,L,as的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)a1,a2,L,：a1,a2,L,ar為a1,a2,L,as的一個(gè)極大線性無關(guān)組.【證明】若a1,a2,L,ar(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)a1,a2,L,at(t(2)是(1)的一個(gè)極大無關(guān)組，則顯然（2）是a1,a2,L,as的一個(gè)極大無關(guān)組，這與a1,a2,L,as的秩為r矛盾，故a1,a2,L,ar必線性無關(guān)且為a1,a2,L,=(1,1,1,k),a2=(1,1,k,1),a3=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.【解】把a(bǔ)1,a2,a3按列排成矩陣A，=234。39。(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3)。231。31ka12a22ka32a13246。232。230。247。a31+a32232。247。001247。(2)所求非零向量a=0a1+0a2+0a3+ka4=ka4(k為非零任意常數(shù)).02H(1)230。247。247。2247。247。x3247。3247。231。=231。231。231。231。230。114247。231。411246。231。01Ka=2,b==Cy,C=231。232。122247。231。01I231。231。z3247。231。=231。248。,232。231。an=,b站至少有80只小船..247。13n2+23n23n247。230。23n123n1247。248。05Q(1)x=0,y=2。231。O247。231。.05MA~231。05Ia=1,b==1,a=3,b=247。7247。,QTAQ=231。247。111247。0246。231。6247。263247。231。.248。010247。2230。248。,則L=231。248。2231。(4)231。247。248。231。247。111L1247。247。.04IA=PLP1=P(2E)P1+247。110247。.231。011246。2102247。.232。248。248。2248。i(i=1,2,L,n)。0247。231。.231。232。1247。,232。L+kn1231。0247。230。232。.(k1,k2,k3全不為0).232。247。2246。248。247。232。+k3231。1246。l1=8對(duì)應(yīng)特向量為k1231。33231。247。1=0對(duì)應(yīng)特征向量為1231。3/2247。231。g3=231。1/2247。232。247。(2)當(dāng)m=2,n=4,t=6時(shí),方程組(I),(II)185。0247。231。a時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,1)T(k3為任意常數(shù)).當(dāng)a=b=c時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k4(1,1,0)T+k5(1,0,1)T(k4,k5為任意常數(shù)).230。6時(shí),方程組有唯一解,x(b36)a+1,x=12(a4)(b36)1=62a+1,xb3623=0,x4=a+1。x3=t.(2)當(dāng)a185。x1=2/a,當(dāng)a185。237。0232。12231。1247。1時(shí),方程組唯一解。231。+k231。230。248。230。04G(1)無解。232。1247。231。231。231。231。247。3247。230。1231。231。向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為a2,a4。(2)當(dāng)b=2,a185。2且a185。(2)當(dāng)t185。231。121247。231。231。21112247。247。230。0034247。247。231。2400246。0010247。231。237。當(dāng)c=1,a=1且b=0時(shí),r(A)==b=0時(shí),r(A)=0。1,并且a185。248。(3)81。248。247。0034247。247。231。247。247。.232。200247。247。247。0242247。0121247。232。231。zn+1247。247。y247。ba當(dāng)a185。162。(3)(x)g(x)s(x)162。(2)(aa1222a13a1411+a22+a33+a44)。(x)s162。238。231。247。232。248。236247。231。232。01n247。001247。231。n!247。247。231。247。1/85/241/121/4247。00201246。231。52000247。(2)9。247。1,b=2時(shí),r(A)=185。0時(shí),r(A)=3。0時(shí),r(A)=[(A*)*]=236。0104247。231。231。247。.231。.232。248。06D231。.232。231。21247。.231。231。.==(1)當(dāng)t=5時(shí),a1,a2,a3線性相關(guān)。(2)當(dāng)a185。2時(shí),b不能由a1,a2,a3線性表出。(1)R(a1,a2,a3,a4)=2。a4=a1a2+a3,a5=a1+a2+(a1,a2,a3,a4,a5)==15,b=(1,0,0,...,0)=247。230。2246。231。7247。R)。247。230。231。231。R).231。248。1247。,247。45時(shí),方程組有唯一解。247。248。2且l185。231。0247。231。3時(shí),方程組有唯一解:239。239。238。1,a185。b時(shí),方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,1)T(k2為任意常數(shù)).當(dāng)b=c185。247。5232。248。231。1247。231。231。248。232。247。231。247。2246。230。247。231。0246。0247。230。231。1247。231。247。231。1247。0247。=a+(n1)b對(duì)應(yīng)特征向量為k231。247。MMM247。11231。.232。02Ja=1,b=8,c=(1)|lEA|=l4a34l+a23la2l+(1)kl(2)l2i(i=1,2,L,n)。l246。768247。442247。247。6231。230。247。.232。247。231。231。231。(2)231。3247。231。246。(6)231。4247。247。011247。231。231。002247。(2)T=231。231。232。111246。231。.231。236247。5353247。.231。248。247。248。231。05N231。001246。111247。232。248。232。165。231。247。247。111/247。231。232。231。x1246。230。231。231。263247。247。230。3231。.232。246。231。231。247。2247。248。x162。232。2247。2,5,13246。3/23/2247。1100246。248。(2)b2