蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法同步測(cè)試題(存儲(chǔ)版)
【正文】 ? 8．用數(shù) 學(xué)歸納 法證明命題： 2 2 2 2 1 2 1 ( 1 )1 2 3 4 ( 1 ) ( 1 ) ( )2nn nnnn? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? N，從“第 k 步到 1k? 步”時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上 ． 答案： 2( 1) ( 1)k k?? 9．已知21 1 1 1( ) ( )12f n nn n n n ?? ? ? ? ? ??? N，則 ()fn中共有 項(xiàng)． 答案： 2 1nn?? 10．設(shè) 21( ) 6 1nfn ???，則 ( 1)fk? 用含有 ()fk 的式子表示為 ． 答案： 36 ( ) 35fk? 三、解答題 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 223 8 9( )n nn??? ? ? N能被 64 整除． 證明：（ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)， 43 8 1 9 64? ? ? ? ，能被 64 整除，命題成立． （ 2）假設(shè) nk? 時(shí)，命題成立，即 223 8 9k k? ??能被 64 整除， 則當(dāng) 1nk??時(shí)， 2 ( 1 ) 2 2 23 8 ( 1 ) 9 9( 3 8 9) 64 64kkk k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 因?yàn)?223 8 9k k? ??能被 64 整除， 所以 2 ( 1) 23 8 ( 1) 9k k?? ? ? ?能被 64 整除． 即當(dāng) 1nk??時(shí)，命題也成立． 由（ 1）和（ 2）可知，對(duì)任何 n ??N ，命題成立． 12．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 1 11 2 ( )23 nnn ?? ? ? ? ? ? N． 證明：（ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)，左邊 1? ，右邊 2? ， 12? ，所以不等式成立． （ 2）假設(shè) nk? 時(shí)不等式成立，即 1 1 11223 kk? ? ? ? ?， 則當(dāng) 1ak??時(shí) ， 1 1 1 1 1122 3 1 1kk k k? ? ? ? ? ? ??? 2 ( 1 ) 1 11 2111kk kk kkk?? ? ? ?? ? ? ?， 即當(dāng) 1nk??時(shí)，不等式也成立． 由（ 1）、（ 2）可知，對(duì)于任意 n ??N 時(shí)，不等式成立． 13．?dāng)?shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 2nnS n a??，先計(jì)算數(shù)列的前 4 項(xiàng)，后猜想 na 并證明之． 解：由 112aa?? ， 1 1a? ， 由 1 2 222a a a? ? ? ?，得2 32a?． 由 1 2 3 323a a a a? ? ? ? ?，得3 74a?． 由 1 2 3 4 424a a a a a? ? ? ? ? ?，得4 158a?． 猜想1212nn na ???] 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確： （ 1） 1n? 時(shí)，左邊 1 1a? ，右邊 11 1 12 1 2 1 122nn????? ? ?，猜想成立 m] （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，猜想成立，就是1212kk ka ???，此時(shí)12122 2kkk kS k a k ??? ? ? ?． 則當(dāng) 1nk??時(shí)，由 112( 1)kkS k
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