【正文】 ???????zzzzzh () 其頻率函數(shù)為： 211223)11()22(1)(22????????????jjjjjeeeeeH () 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 24 圖 利用雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的幅頻特性 Fig. Amplitudefrequency characteristic of digital filter withBilinear transform obtained 特性分析：上圖顯示了模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率幅度響應(yīng)，數(shù)字濾波器的頻率幅度響應(yīng)是以 2π為周期的函數(shù)。 sz=k*(11/z)/(1+1/z)。例如，如果使得模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有 比較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即在低頻處有 ? ≈ 1? 。整個(gè)過程如下圖 所示。因而用這種方法設(shè)計(jì)的濾波器只適合于充分帶限的低通或帶通濾波器，而高通和帶阻濾波器不宜采用這種方法來設(shè)計(jì)。 grid on。 ht=ilaplace(hs)。只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在超過折疊頻率后的衰減很大時(shí)，混疊失真才能很小，此時(shí)采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器才能滿足設(shè)計(jì)的要求。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度優(yōu)于直接型和正準(zhǔn)型，運(yùn)算累積誤差比級(jí)聯(lián)型小。從前面對(duì)直接形式的討論可知，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接Ⅱ型實(shí)現(xiàn)，就可以得到具有最少存儲(chǔ)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。而二階因式表示共軛零點(diǎn) kh 和 ?kh ，以及共軛極點(diǎn) kd 和 ?kd 。因而在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省存儲(chǔ)單元。這部分網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。每個(gè)二階環(huán)節(jié)以直接形式出現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 11 圖 數(shù)字濾波器的通帶分布 Fig. Distribution of digital filter pass band 系統(tǒng)的描述 模擬系統(tǒng)通常用微分方程描述，離散系統(tǒng)則用差分方程來描述。天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 10 第二章 數(shù)字濾波器基礎(chǔ) 數(shù)字濾波器的基本概念 這里所講的數(shù)字濾波器都是一個(gè)離散的 LTI（ 線形時(shí)不變 ） 系統(tǒng)，離散 LTI 系統(tǒng)模型如圖 ： h ( n )x ( n ) y ( n ) = h ( n ) * x ( n ) 圖 離散 LTI 系統(tǒng)模型 Fig. The model of LTI system 注： x(n)、 y(n)分別是系統(tǒng)的輸入輸出序列， h(n)是系統(tǒng)本身的特性 (轉(zhuǎn)移算子 )。 9．源程序的開放性。 7． MATLAB 的圖形功能強(qiáng)大。 3．高效方便的矩陣和數(shù)組運(yùn)算。 MATLAB 用更直觀的，符合人們思維習(xí)慣的代碼，代替了 C 和 FORTRAN 語言的冗長代碼。 [5] 時(shí)至今日，經(jīng)過 MathWorks 公司的不斷完善， MATLAB 已經(jīng)發(fā)展成為適合多學(xué)科，多種工作平臺(tái)的功能強(qiáng)大大大型軟件。 1984 年 ， Cleve Moler 和 John Little 成立了 Math Works 公司，正式把 MATLAB 推向市場，并繼續(xù)進(jìn)行 MATLAB 的研究和開發(fā)。 開放性使 MATLAB 廣受用戶歡迎 。 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 7 MATLAB 系統(tǒng)最初是由 Cleve Moler 用 FORTRAN 語言設(shè)計(jì)的，現(xiàn)在的 MATLAB 程序是 Mathworks 公司用 C 語言開發(fā)的。有了該模型機(jī)就可以直觀地測(cè)試其邏輯功能及性能指標(biāo)。 5 用 FPGA等可編程器件來 開發(fā)數(shù)字濾波算法 由于 FPGA產(chǎn)品的迅速發(fā)展，人們可以利用 Atera. Xilinx等公司提供的產(chǎn)品，使用其相關(guān)開發(fā)工具和 VHDL等硬件開發(fā)語言，通過軟件編程用硬件實(shí)現(xiàn)特定的數(shù)字濾波算法。如采用改進(jìn)的哈佛總線結(jié)構(gòu)，內(nèi)部有硬件乘法器、累加器，使用流水線結(jié)構(gòu)，具有良好的并行特性，并有專門設(shè)計(jì)的適用于數(shù)字信號(hào)處理的指令系統(tǒng)等。 TI公司的 TMS320C5000 系列的 DSP 芯片采用 8條指令并行處理的結(jié)構(gòu)，時(shí)鐘頻率為 l00MHZ 的 DSP 芯片，可高達(dá) 800MIPS(即每秒執(zhí)行百萬條指令 )。因此在一些精度要求很高的濾波系統(tǒng)中，就必須采用數(shù)字濾波器來實(shí)現(xiàn)。相對(duì)于模擬濾波器，數(shù)字濾波器沒有漂移，能夠處理低頻信號(hào)，頻率響應(yīng)特性可做成非常接近于理想的特性，且精度可以達(dá)到很高，容易集成等，這些優(yōu)勢(shì)決定了數(shù)字濾波器的應(yīng)用將會(huì)越來越廣泛。相反 FIR濾波器卻可以得到嚴(yán)格的線性相位，然而由于 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，所以只能用較高的階數(shù)來實(shí)現(xiàn)其高選擇性，對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)， FIR 濾波器所要求的階數(shù)要比 IIR 高 5至 10倍，所以成本較高，信號(hào)延遲也較大。此外，根據(jù)它所處理的信號(hào)型類，濾波器又可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，模擬濾波器用來處理連續(xù)信號(hào)，而數(shù)字濾波器用來處理離散信號(hào)，后者是在前者基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。中值濾波是 20 世紀(jì) 70 年代提出的一種非線性濾波方法，它可以在最小絕對(duì)誤差條件下，給出信號(hào)的最佳估計(jì) 。所不同的是，這種濾波技術(shù)在時(shí)域中采用遞推方式進(jìn)行，因此速度快，便于實(shí)時(shí)處理，從而得到了廣泛的應(yīng)用。 90年代至現(xiàn)在主要致力于把各類濾波器應(yīng)用于各類產(chǎn)品的開發(fā)和研制。 濾波器及濾波方法的發(fā)展歷程 在近代電信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)中，濾波器應(yīng)用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多 、 技術(shù)最為復(fù)雜的要算濾波器 了。然而，這些均屬數(shù)字濾波器的早期研究。數(shù)字信號(hào)處理主要是研究用數(shù)字或符號(hào)的序列來表示信號(hào)波形，并用數(shù)字的方式去處理這些序列，把它們改變成在某種意義上更為有希 望的形式，以便估計(jì)信號(hào)的特征參量，或削弱信號(hào)中的多余分量和增強(qiáng)信號(hào)中的有用分量。 本文由數(shù)字濾波器的功能、應(yīng)用及發(fā)展入手，介紹了數(shù)字濾波器 的基本概念，其中包括系統(tǒng)的描述、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和 IIR 數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)。數(shù)字濾波器的工作方式與模擬濾波器也完全不同：后者完全依靠電阻、電容、晶體管等電子元件組成的物理網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)濾波功能；而前者是通過數(shù)字運(yùn)算器件對(duì)輸入的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和處理，從而實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求的特性。 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中最重要的組成部分之一。在初期，一般認(rèn)為 IIR 濾波器比 FIR 濾波器具有更高的運(yùn)算效率，因而明顯的傾向前者，但當(dāng)人們提出用快速傅立葉變換 (FFT)實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算的概念之后，發(fā)現(xiàn)高階 FIR濾波器也可以用很高的運(yùn)算效率來實(shí)現(xiàn)，這就促使人們對(duì)高性能 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法和濾波器的 頻域設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量的研究，從而出現(xiàn)了此后數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中頻域方法和時(shí)域方法并駕齊驅(qū)的局面。現(xiàn)在，包括數(shù)字濾波在內(nèi)的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)正以驚人的速度向縱深和高級(jí)的方向發(fā)展；據(jù)統(tǒng)計(jì)這種趨勢(shì)還要持續(xù)一個(gè)較長的時(shí)期，未來的發(fā)展可能會(huì)比過去的進(jìn)程更為激動(dòng)人心，必將引起某些領(lǐng)域的飛躍性發(fā)展。 80 年代，致力于各類新型濾波器的研究，努力提高性能并逐漸擴(kuò)大應(yīng)用范圍。與 Wiener 濾波相似，它同樣可以在最小均方誤差條件下給出信號(hào)的最佳估計(jì)。 Wiener 濾波、Kalman 濾波和自適應(yīng)濾波都是線性濾波，線性濾波的最大缺點(diǎn)就是在消除噪聲的同時(shí)，會(huì)造成信號(hào)邊緣的模糊。于是，根據(jù)通帶的不同，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。同時(shí) IIR 濾波器的相位是非線性的，且它的選擇性越好，相位的非線性就越嚴(yán)重。因而在數(shù)字通信、語音圖像處理、譜分析、模式識(shí)別、自動(dòng)控制等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。相對(duì)于模擬濾波器，數(shù)字濾波器具有以下顯 著優(yōu)點(diǎn) : (1) 精度高 :模擬電路中元件精度很難達(dá)到 103以上，而數(shù)字系統(tǒng) 17位字長就可以達(dá)到 105精度。 (5) 并行處理 :數(shù)字濾波器的另外一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)就是可以實(shí)現(xiàn)并行處理，比如數(shù)字濾波器可采用 DSP 處理器來實(shí)現(xiàn)并行處理。 3 利用專門用于信號(hào)處理的可編程 DSP芯片來實(shí)現(xiàn) 與單片機(jī)相比， DSP有著更適合于數(shù)字濾波的優(yōu)點(diǎn)。這種方案的缺點(diǎn)是靈活性差，而且開發(fā)工具很不完善。然而隨著電路規(guī)模的不斷增大，工作頻 率的不斷提高，將會(huì)給電路引入許多分布參數(shù)的影響，而這在用軟件模擬中很難反映出來，這時(shí)候就有必要做硬件仿真，由于 FPGA具有非常靈活的可編程特性，所以就可以用來做硬件仿真的模型機(jī)了。它優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其很快在同類軟件中脫穎而出。 學(xué)科工具包是專業(yè)性比較強(qiáng)的工具包 ,控制工具包 ,信號(hào)處理工具包 ,通信工具包等都屬于此類 。這一代的 MATLAB 語言同 時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖示化的功能 。在 MATLAB 問世不久的 80 年代中期，原先控制領(lǐng)域里的一些軟件包紛紛被淘汰或在 MATLAB 上重建。 MATLAB 最突出的特點(diǎn)就是簡潔。由于 MATLAB 是用 C 語言編寫的，所以 MATLAB 提供了 C 語言幾乎一樣多的運(yùn)算符，靈活使用 MATLAB 的運(yùn)算符將使程序變得極為簡短 。 6．程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。而學(xué)科性工具箱是專業(yè)性比較強(qiáng)的；如 Control toolbox、 Signal processing toolbox 、 Communication toolbox等，這些工具箱都是由該領(lǐng)域內(nèi)的學(xué)術(shù)水平很高的專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學(xué)科范圍內(nèi)的基礎(chǔ)程序，而直接進(jìn)行高、精、尖的研究。受到理工科大中專院校釋省級(jí)科研人員的重視，這也是本文選擇用它來設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)濾波器原因所在。所以，數(shù)字濾波 器的通帶分布如圖 所示。 級(jí)聯(lián)型：在此形式中，把系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)因式分解成 二階子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)叫做二階環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示成這些二階環(huán)節(jié)的乘積形式。由于這部分是對(duì)輸出的延時(shí)，故為反饋網(wǎng)絡(luò)。 直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的 IIR 系統(tǒng)的表達(dá)式如式 （ ） 所示： )()(11)(2110zHzHzazbzH NkkkMkkk ?????????????????????????? （ ） 2a? 1a? 1?? NaNa? b?b11?z ][ky?z1?1?z? 0x [ k ] 圖 直接Ⅱ型 Fig. Direct Form Ⅱ Models 對(duì)于 N 階差分方程，直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)只需 N 個(gè)延時(shí)單元，比直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)的延時(shí)單元少一半。在式（ ）中，一階因式表示實(shí)零點(diǎn) kg和實(shí)極點(diǎn) kc 。同樣，如果具有奇數(shù)個(gè)極點(diǎn)，則系統(tǒng) ka2 有一個(gè)等于零。如果將實(shí)數(shù)極點(diǎn)成對(duì)組合，則可寫成 ?? ? ?? ?? ? ?? ??? ps Nk kk kkNk kk zaza zeezGzH 1 2211 1100 1)( () 對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖 所示： G 1z 1G N sz N s a 1 1G 0z 1e 1 1e 0 1 a 2 1z 1e 0 P s a 1 P s a 2 P sz 1z 1e 1 P sx ( n ) y ( n ) 圖 N 階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) Fig. Norder IIR digital system of parallel structures 并聯(lián)支路的極點(diǎn)也是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)，而并聯(lián)支路的零點(diǎn)卻不是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)，因此并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)能獨(dú)立的調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)位置，但不能控制零點(diǎn)。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)不能重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)。 T=1。 ezplot(abs(hrad2),[0,2*pi])。 脈沖響應(yīng)不變法最主要的缺點(diǎn)是由于頻譜的周期延拓而產(chǎn)生的混疊失真。這種天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 21 方法的基本步驟是：首先將整個(gè) s 平面壓縮到 1s 平面的一條帶寬為 T/2? (從 T/?? 到T/? )的橫帶里，然后通過標(biāo)準(zhǔn)的變換關(guān)系 Tsez 1? 將橫帶映射到整個(gè) z 平面上去，這便得到s 平面與 z 平面之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中的參數(shù) K可以根據(jù)模擬濾波器的頻率特性和數(shù)字濾波器的頻率特性點(diǎn)上具有的對(duì)應(yīng)關(guān)系選擇。 k=2/T。 grid on。在這一節(jié)中將介紹和分析 MATLAB 中模擬原型法中的 butterworth、 cheby cheby ellip 方法。 s 域變換到 z 域，雙線性變換法不需要將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，只需要將系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)中的拉普拉斯算子 s 用 z 的函數(shù)代替，因而應(yīng)用十分方便、簡單。 hrad1=subs(hz,z,exp(i*rad1))。 例如已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 231)( 2 ??? sssH a () 要求利用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，其中采樣周期 T=1，數(shù)字濾波器的頻率特性在低頻處和模擬濾波器的頻率特性相同。整個(gè)平面映射到 1s 平面的一個(gè)帶域內(nèi)。若能夠把整個(gè) s 平面先映射到 1