20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)412函數(shù)的極值練習(xí)題(存儲(chǔ)版)
【正文】 所以 x＝－ 3為 f(x)的極小值點(diǎn)．當(dāng) x∈ (－ 3，－ 1)時(shí)， f′( x)0， f(x)單調(diào)遞增，所以 ①④ 正確． 6． (2021 重慶文， 19)已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ x2(a∈ R)在 x＝－ 43處取得極值． (1)確定 a的值； (2)若 g(x)＝ f(x)ex，討論 g(x)的單調(diào)性． [答案 ] (1)12 (2)g(x)在 (－ ∞ ，－ 4)和 (－ 1,0)內(nèi)為減函數(shù)， (－ 4，－ 1)和 (0，＋ ∞)內(nèi)為增函數(shù) [解析 ] (1)對(duì) f(x)求導(dǎo)得 f′( x)＝ 3ax2＋ 2x 因 為 f(x)在 x＝－ 43處取得極值，所以f′( － 43)＝ 0，即 3a 169 ＋ 2( － 43)＝ 16a3 － 83＝ 0，解得 a＝ 12. (2)由 (1)得， g(x)＝ ??? ???12x3＋ x2 g′( x)＝ ??? ???32x2＋ 2x ex＋ ??? ???12x3＋ x2 ex＝ ??? ???12x3＋ 52x2＋ 2x ex＝ 12x(x＋ 1)(x＋ 4)ex，令 g′( x)＝ 0，解得 x＝ 0， x＝－ 1或 x＝－ x－ 4時(shí)， g′( x)0，故 g(x)為減函數(shù)；當(dāng)－ 4x－ 1時(shí)， g′( x)0，故 g(x)為增函數(shù)；當(dāng)－ 1x0時(shí)， g′( x)0，故 g(x)為減函數(shù)；當(dāng) x0時(shí)， g′( x)0，故 g(x)為增 函數(shù)；綜上知 g(x)在 (－ ∞ ，－ 4)和 (－1,0)內(nèi)為減函數(shù)， (－ 4，－ 1)和 (0，＋ ∞) 內(nèi)為增函數(shù)． 8．設(shè)函數(shù) f(x)＝ (2－ a)lnx＋ 1x＋ 2ax. (1)當(dāng) a＝ 0時(shí)，求 f(x)的極值； (2)當(dāng) a≠0 時(shí)，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間． [答案 ] (1)f(x)極小值 ＝ f(12)＝ 2－ 2ln2，沒有極大值 (2)當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0， 12]，單調(diào)遞增區(qū)間為 [12，＋ ∞) ；當(dāng) a－ 2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0，－ 1a]，[12，＋ ∞) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 [－ 1a， 12]；當(dāng) a＝－ 2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0，＋ ∞) ；當(dāng)－ 2a0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0， 12]， [－ 1a，＋ ∞) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 [12，－ 1a] [解析 ] (1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0，＋ ∞) ， 當(dāng) a＝ 0時(shí)， f(x)＝ 2lnx＋ 1x， ∴ f′( x)＝ 2x－ 1x2＝ 2x－ 1x2 . 由 f′( x)＝ 0得 x＝ (x)， f′( x)隨 x的變化如下表： x (0， 12) 12 (12，＋ ∞) f′( x) － 0 ＋ f(x) 極小值 由上表可知， f(x)極小值 ＝ f(12)＝ 2－ 2ln2，沒有極大值． (2)由題意，知 f′( x)＝ 2ax2＋ － a x－ 1x2 .令 f′( x)＝ 0得
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