上海教育版高中數學二下124橢圓的性質(存儲版)
【正文】 （ 3）直 線與橢圓相離 0??? ，所以判定直線與橢圓的位置關系，運用方程及其判別式是最基本的方法 . 例 4 若直線 )(1 Rkkxy ??? 與橢圓 15 22 ?? myx 恒有公共點，求實數 m 的取值范圍 . 解法一： 由????? ?? ?? 15122myx kxy 可得 05510)5( 22 ????? mkxxmk ， 015 2 ?????? km 即115 2 ??? km 51 ??? mm 且 . 解法二：直線恒過一定點 )1,0( 當 5?m 時，橢圓焦點在 x 軸上，短半軸長 mb? ，要使直線與橢圓恒有交點則 1?m 即51 ??m 當 5?m 時，橢圓焦點在 y 軸上，長半軸長 5?a 可保證直線與橢圓恒有交點即 5?m 綜述： 51 ?? mm 且 解法三：直線恒過一定點 )1,0( 要使直線與橢圓恒有交點，即要保證定點 )1,0( 在橢圓內部 1150 22 ??m 即 1?m 51 ??? mm 且 [說明 ]法一轉化為 k 的恒成立問題；法二是根據兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點在橢圓內部這一特征：點 ),( oo yxM 在橢圓內部或在橢圓上則 12222 ??byax oo . 例 5 橢圓中心在原點，長軸長為 10 3 ，一個焦點 1F 的坐標 )5,0( ，求經過此橢圓內的一點)21,21( ?M ，且被點 M 平分的弦所在的直線方程 . 解：由已知， 5,35 ?? ca ，且焦點在 y 軸上， 50222 ??? cab ，橢圓方程為 15075 22 ??xy.設過點 M 的直線交橢圓于點 ),( 21 yxA 、 ),( 22 yxB . ? M 是弦 AB 的中點，則1,1 2121 ????? yyxx ，將 BA, 兩點的坐標代入橢圓方程，???????????150751507522222121xyxy，兩式相減整理得：2323 21 2121 21 ???????? yy xxxx yy，即23?k. 所求的直線方 程為 )21(2321 ??? xy ，即 0546 ??? yx . [說明 ]此題因為涉及橢圓的弦中點問題，除通法外，可以優(yōu)先考慮“點差法” .但需注意兩點： 1）斜率是否存在？ 2）應檢驗直線和橢圓是否相交？即聯立直線和橢圓方程，得到關于x或 y的一元二次方程，檢驗其根的判別式是否大于 0？ 例 6 求橢圓 14 22 ??yx 中斜率為 1的平行弦的中點的軌跡 . 解：見書本 P50 [說明 ] 此題因為涉及橢圓的弦中點問題，本題也可使用“點差法” . 例 7 已知橢圓 112 22 ?? yx 的左右焦點分別為 F1,F2，若過點 P（ 0， 2）及 F1的直線交橢圓于 A,B兩點，求⊿ ABF2的面積 解法一：由題可知：直線 ABl 方程為 022 ??? yx 由????? ?? ??? 1122222 yxxy ,可得 0449 2 ??? yy ， 91044)( 2122121 ????? yyyyyy , 1 2 1 21 4 1 0 .29S F F y y?? ? ? ?[ 解法二： 2F 到直線 AB的距離 554?h , 由????? ?? ??? 1122222 yxxy 可得 06169 2 ??? xx ，又9 2101 212 ???? xxkAB , 910421 ??? ? hAB
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