上海教育版高中數(shù)學(xué)二下124橢圓的性質(zhì)(完整版)
【正文】 畫橢圓圖形，為使列表描點(diǎn)更準(zhǔn)確，避免盲目性，有必要先對(duì)橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)進(jìn)行討論 . 二、講授新課 （一） 對(duì)稱性 問題 1：觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的對(duì)稱性？ x? 代 x 后方程不變，說明橢圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱； y? 代 y 后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于 x 軸對(duì)稱； x? 、 y? 代 x ， y 后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 問題 2：從對(duì)稱性的本質(zhì)上入手，如何探究曲線的 對(duì)稱性？ 以把 x換成－ x為例，如圖在曲線的方程中，把 x換成－ x方程不變，相當(dāng)于點(diǎn) P（ x， y）在曲線上，點(diǎn) P點(diǎn)關(guān)于 y軸的對(duì)稱點(diǎn) Q（－ x， y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于 y軸對(duì)稱．其它同理 . 相關(guān)概念：在標(biāo)準(zhǔn)方程下，坐 標(biāo)軸是對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心 . （二） 頂點(diǎn) 問題 1：觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程求出橢圓曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？ 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令 0?x ，得 by ?? ， 0?y ，得 ax ?? 頂點(diǎn)概念：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn) . 頂點(diǎn)坐標(biāo)； )0,(),0,( 21 aAaA ? ， ),0(),0( 21 bBbB ?. 相關(guān)概念：線段 2121 , BBAA 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于 ba2,2 ，a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 . 在橢圓的定義中， c2 表示焦距，這樣，橢圓方程中的 cba ，, 就有了明顯的幾何意義 . 問題 2：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中令 222 bca ?? 能使方程簡單整齊，其幾何意義是什么？ c 表示半焦距， b 表示短半軸長，因此，聯(lián)結(jié)頂點(diǎn) 2B 和焦點(diǎn) 2F ，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，在直角三角形內(nèi)， 2222222 OBFBOF ?? ，即 222 bca ?? . （三） 范圍 問題 1：結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的范圍？即確定兩個(gè)變量的 允許值范圍． 12222 ??byax 變形為： axaaxaxaxby ?????????? 222222 01 ， 這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下 x 的范圍： axa ??? 同理，我們也可以得到 y 的范圍： byb ??? 問題 2：思考是否還有其他方法？ 方法一：可以把 12222 ??byax看成 1cossin 22 ?? ?? ，利 用三角函數(shù)的有界性來考慮 byax,的范圍； 方法二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 1，那么這兩個(gè)數(shù)都不大于 1，所以 122?ax ，同理可以得到 y 的范圍 由橢圓方程中 yx, 的范圍得到橢圓位于直線 ax ?? 和 by ?? 所圍成的矩形里 . 三、例題解析 例 1 已知橢圓的方程為 3649 22 ?? yx . （ 1） 求它的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo) 。 （ 2）過點(diǎn)（ 2， 0），且長軸長是短軸長的 2倍的橢圓方程 . 解：（ 1）由題意可知： bac 2,1 ?? ，由 222 cba ?? ，有 12 22 ?? bb ， 1?b ， 2?a 。 5 2 )的橢圓被直線 3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)F1 F2 M y x O y x O F2 F1 M O xyFBAMN 為21，求橢圓方程 . 12 22 ??yx. （ 1） 過橢圓的左焦點(diǎn) F 引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn) P 的軌跡方程； （ 2
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