【正文】 主對角線上第 j+1個元素 ， 而 n和 k分別是觀測值數(shù)目和解釋變量的個數(shù) 。 ?β?j??85 二 、 擬合優(yōu)度 多元線性回歸模型的決定系數(shù)為： R2 = 由于當模型增加解釋變量后 ， 殘差平方和的值會減小 ， 為了使擬合優(yōu)度的測度反映這一特點 ， 可采用經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù) ， 即修正決定系數(shù) ： 222239。 例：設 Y=購買汽車的實際支出額 X=實際總消費支出 用美國 1973（ 1） 1980(2)的季度數(shù)據(jù) （ 按 1975年價格計算 ） ， 得回歸結(jié)果如下： )()(:)( 2????tRXY82 這一結(jié)果很不理想 ， 低 R2值 ， 低 t值 ， X的符號也不對 。 另一種方法是用全部觀測值作單一回歸 ， 將定性因素的影響用虛擬變量引入模型 。 這種變量在計量經(jīng)濟學中稱為 “ 虛擬變量 ” 。 點預測值由與給定的諸 X值對應的回歸值給出 ， 即 而預測期的實際 Y值由下式給出： 其中 u0是從預測期的擾動項分布中所取的值 。 注意到 g=K， 則該檢驗的檢驗統(tǒng)計量為： ? ?? 2)( YYS R ?????????????? 22t)(eYYYu t 時，模型為 ?? ? ?)1()()1()(222??????????? ?KneKeYYKnSKSSF R65 分子分母均除以 ， 有 從上式不難看出 ， 全部斜率為 0的檢驗實際是檢驗 R2的值是否顯著異于 0， 如果接受原假設 ， 則表明因變量的行為完全歸因于隨機變化 。 不失一般性 ，可設原假設和備擇假設為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對 Y有 影響 ) 59 分析： 這實際上相當于檢驗 g個約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時成立 。 原假設： H0： β j=0 備擇假設： H1： β j≠0 檢驗統(tǒng)計量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計量： ～ t(nK1) )?(?)?(?jjjj????VarSet ??55 單個系數(shù)顯著性檢驗的檢驗統(tǒng)計量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計量： ～ t(nK1) 其中 ， 為矩陣 主對角線上第 j+1個元素 。 此模型無法用取對數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進行估計 ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。 21 ?,? ?? 21???)?log ( ???ba21 ?? ?? 和a?b?51 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時 ， 我們實際上給模型加進了一個結(jié)束條件 。 需求的價格彈性：價格變化 1%， 收入不變時 ， 所引起的商品需求量變動的百分比 。 ......22110 ???? XXY ???44 二 ． 線性化方法 對于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因為變量的非線性可通過適當?shù)闹匦露x來解決 。 2R)420( )(191)1( )1)(1(122 ????????????knRnR2R2 10 2 ?? R2R242 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計問題 。 我們有：（ 1） （ 2）僅當 K=0時，等號成立。 *? cccuVarcucVarucXcVarVar?????????2*)()()()(???DXXXc ???? ? 1)(c ??? *?28 由 可推出： 即 因而有 由 從而 ， 因此上式中間兩項為 0， 我們有 IXc ? IXDXXXX ???? ? 1)( IXDI ?? 0?XD? ?? ?? ?? ?DDXXXDDXXXXXXXXXDXXXDXXXDXXXDXXXcc????????????????????????????????????11111111)()()()()()()()(0?XD 0???DX DDXXcc ????? ? 1)(29 因此 最后的不等號成立是因為 為半正定矩陣 。 ?β??????????????????????????????????????????????????????????????????KKK EEEEβ...ββ)β(..... .)β()β(β...ββ101010β)u()(β)β( 1????? ??EXXXE20 2． 的方差 為求 Var( )， 我們考慮 這是一個 （ K+1） *(K+1)矩陣 ， 其主對角線上元素即構(gòu)成 Var( )， 非主對角線元素是相應的協(xié)方差 ， 如下所示： ?β?β?β ???????? ??????? ??????? ? ?? ββββE21 ??????????????????????????????)β(...)β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(1011010100KKKKKVarCovCovCovVarCovCovCovVar 下面推導此矩陣的計算公式 . ????????????????????????????????????????????????KKKKE ββ...ββββββ...ββββ1100110022 由上一段的結(jié)果 ， 我們有 因此 ， uXXX ???? ?? 1)(ββ ? ? ? ? ? ? 11 uu ?? ????? XXXEXXX ? ? ? ?? ?11 ?? ????? XXXuuXXXE ? ?? ? ? ?? ?? ????????????? ??????? ??????? ? ???? uuββββ 11 XXXXXXEE? ? ? ? 121 ?? ??? XXXIXX n?? ? ? ? 211 ??? ???? XXXXXX? ? 21 ???? X23 如前所述 ， 我們得到的實際上不僅是 的方差 ， 而且是 一個方差 協(xié)方差矩陣 ， 為了反映這一事實 ， 我們用下面的符號表示之： 展開就是： 21)()β( ??? ??? XXCovVar?β211011010100)()β()β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(?????????????????????????????????XXVarCovCovCovVarCovCovCovVarKKKKK24 3． ?2 的估計 與雙變量線性模型相似 ， ?2的無偏估計量是 這是因為我們在估計 的過程中 ， 失去了（ K+1） 個自由度 。 （ 4） Rank(X) = (K+1) n. 相當于前面 (5)、 (6) 兩條 即矩陣 X的秩 =（ K+1) n 當然，為了后面區(qū)間估計和假設檢驗的需要，還要加 上一條： （ 5） ～ ， t=1,2,… n ),0( 2?Ntu11 二 ． 最小二乘估計 我們的模型是： t=1,2,… n 問題是選擇 ， 使得殘差平方和最小 。 當然 ， 計算要復雜得多 ， 通常要借助計算機 。 這里 ， “ 斜率 ” β j的含義是 其它變量不變的情況下 ， Xj改變一個單位對因變量所產(chǎn)生的影響 。 這是收入對消費額的直接影響 。 一 ． 假設條件 （ 1） E(ut)=0, t=1,2,… ,n （ 2） E(ui uj)=0, i≠j （ 3） E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n （ 4） Xjt是非隨機量， j=1,2, … k t=1,2, … n 8 除上面 4條外 ， 在多個解釋變量的情況下 ， 還有兩個條件需要滿足： （ 5） （ K+1） n。XY 即 YXXX 39。 由 OLS估計量 的公式 可知 , 可表示為一個矩陣和應變量觀測值向量 的乘積： 其中 是一個 (K+1)*n 非隨機元素矩陣 。 ? ?)?()?()()(*)(2212122????????VarDDVarDDXXDDXXccVar????????????????DD ???30 第三節(jié) 擬合優(yōu)度 一 ． 決定系數(shù) R2 對于雙變量線性模型 Y=α +β X + u 我們有 其中 ， =殘差平方和 ? ?????? 222 1YYeR? 2e31 對于多元線性模型 我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)： 為方便計算 ， 我們也可以用矩陣形式表示 R2 uXXY KK ????? ??? ...110? ?TSSR