【正文】 數(shù)值微分（自學(xué) ） ? 數(shù)值微分 已知 f(x) 在節(jié)點(diǎn) a ? x0 x1 復(fù)合梯形公式 07:49:44 Numerical Analysis 34 舉例 復(fù)合 simpson公式 44 ( 4 ) 1[ ] ( )2 8 8 0 2 8 8 0SSb a eR f h fn?? ??? ? ?????要使誤差不超過(guò) ? 105 ，需要 3 .7 1n ? 故取 n=4 4511 102 8 8 0 2en??? ?????? 8 等分 07:49:44 Numerical Analysis 35 Romberg 算法 太 大 利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合 simpson公式、復(fù)合 Cotes公式等計(jì)算定積分時(shí)， 如何選取步長(zhǎng) h ？ 計(jì)算精度難以保證 太 小 增加額外的計(jì)算量 解決辦法：采用 變步長(zhǎng)算法 通常采取將區(qū)間 不斷對(duì)分 的方法，即取 n = 2k ，反復(fù)使用復(fù)合求積公式 ，直到所得到的計(jì)算結(jié)果滿足指定的精度為止。 2 ()12ba hf ???? 39。 xn ? b ，令 ?xi = xi –xi1 0 0l i m ( ) ( ) dn bii ahiA f x f x x? ??? ? 1m ax iinhx????07:49:44 Numerical Analysis 18 穩(wěn)定性 定義 ：對(duì) ?? 0，若存在 ? 0，使得當(dāng) ( i = 0, 1, … , n) 時(shí)，有 則稱該求積公式是 穩(wěn)定的。所以求積公式為 3])1()0(4)1([ d)(1 1 fffxxf ??????易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)＝ x3 也精確成立，但對(duì) f (x)＝ x4 不精確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 如 21( ) s i n , xf x x ex??(1) F(x) 表達(dá)式較復(fù)雜 時(shí)，計(jì)算較困難。 ? 但對(duì) f (x) = xm+1 不精確成立。所以求積公式為 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為： a ? x0 x1 39。39。 07:49:44 Numerical Analysis 54 Gauss 公式 設(shè) p0(x), p1(x), ?, pn(x) , ? 是 [a, b] 上帶權(quán) ?(x) 正交的多項(xiàng)式族，則 Gauss 點(diǎn)即為 pn+1(x) 的零點(diǎn) ? Gauss 點(diǎn)的計(jì)算 ? 求出 ?n+1(x) 的表達(dá)式 ? 計(jì)算其零點(diǎn) 與 1, x, x2, ..., xn 帶權(quán)正交 ? Gauss 系數(shù)的計(jì)算 ? 將 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解方程 ? 或利用 Lagrange 基函數(shù) 07:49:44 Numerical Analysis 55 舉例 例 9(P120)： 試確定節(jié)點(diǎn) xi 和系數(shù) Ai ， 使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。ff 39。 39。 x f x f xh f ??? ??? ? 202 321 () 21( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) () 32 hf39。 x x xn????? ? ?? ?? 在節(jié)點(diǎn)處的余項(xiàng) ? 插值型求導(dǎo)公式 07:49:44 Numerical Analysis 78 兩點(diǎn)公式 ? 兩點(diǎn)公式 ? 節(jié)點(diǎn) x0 , x1 ， 步長(zhǎng) h = x1 x0 011 0 10 1 1 0( ) ( ) ( )xxxxP x f x f xx x x x??????1 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )x x f x x x f xh? ? ? ??? ?00 011( ) ( ()) 2)(f39。 xn ? b 上的函數(shù)值， 對(duì)于 [a, b] 中的任意一點(diǎn) ， 如何計(jì)算其導(dǎo)數(shù) ? 插值型求導(dǎo)公式 ? 構(gòu)造出 f (x) 的插值多項(xiàng)式 pn(x) ? 用 pn(x) 的導(dǎo)數(shù)來(lái)近似 f (x) 的導(dǎo)數(shù) ? 外推算法 07:49:44 Numerical Analysis 77 插值型求導(dǎo)公式 ? 插值型求導(dǎo)公式的余項(xiàng) ? ?( 1)( 1)00() 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !n nnnxn j j xjj39。 1133( )d 33f x x f f?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??01011 , 1 33, 33AAxx?????? ? ???非線性方程組 求解較困難 07:49:44 Numerical Analysis 50 Gauss 型求積公式 一般情形 : 考慮 機(jī)械 帶權(quán)求積公式 0(( ) d ( )) nbiiaixf x x A f x??? ??定義 ： 若存節(jié)點(diǎn)在 xi ?[a, b] 及系數(shù) Ai ，使得上面的求積公式具有 2n+1 次代數(shù)精度，則稱節(jié)點(diǎn) xi 為 高斯點(diǎn) ， Ai 為高斯系數(shù) ，求積公式為 高斯型求積公式 性質(zhì) ：上面的求積公式 至多 具有 2n+1 次代數(shù)精度 將 代入驗(yàn)證即可 ???? niixxxf02)()(Gauss 公式在所有機(jī)械求積公式中代數(shù)精度最高 07:49:44 Numerical Analysis 51 Gauss 點(diǎn) 如何計(jì)算 Gauss點(diǎn) xi 和 高斯系數(shù) Ai 法一 : 解 非線性 方程組 太困難 ! ? 法二 : 分開(kāi)計(jì)算 ? 先確定 Gauss 點(diǎn) ? 再通過(guò)解線性方程組計(jì)算 Gauss 系數(shù) 07:49:44 Numerical Analysis 52 Gauss 點(diǎn) 定理 ：節(jié)點(diǎn) xi (i = 0, 1, … , n) 是 Gauss點(diǎn)的充要條件是：多項(xiàng)式 與任意次數(shù)不超過(guò) n 的多項(xiàng)式 p(x) 關(guān)于權(quán)函數(shù) ?(x) 正交，即 10( ) ( )nniix x x? ?????1( ) ( ) ) d 0(bna p x x xx? ? ? ??且高斯系數(shù) Ai 為 ( ) ( ) dbiiaA x l x x?? ?其中 li(x) 為以 xi 為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange 基函數(shù)。 07:49:44 Numerical Analysis 29 輸出 s 復(fù)化梯形算法流程圖 h ← (ab)/n s ← f(a) x ← a N k ← 1 kn Y s ← h/2*s 輸入 a, b, n x ← x+h s ← s+2f(x) k ← k+1 f(b) ?算法實(shí)現(xiàn) ?????? ??? ???11)()(2)(2nkk bfxfafhTndxx x?10s i n求07:49:44 Numerical Analysis 30 復(fù)化Simpson算法流程圖 h ← (ab)/n s ← f(a) f(b) x ← a N k ← 1 kn Y s ← h/6*s 輸入 a, b, n 輸出 s x ← x+ s ← s+4f(x) x ← x+ s ← s+2f(x) k ← k+1 ?算法實(shí)現(xiàn) ])()(2)(4)([62011021????????????nkknkkbfxfxfafhSndxx x?10s i n求07:49:44 Numerical Analysis 31 舉例 例： 設(shè) ，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合 simpson公式計(jì)算定積分 ，并估計(jì)誤差。 ? 當(dāng) n ? 7 時(shí)， NewtonCotes 公式是穩(wěn)定的 一般不采用高階的牛頓 科特斯求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 23 NC 公式代數(shù)精度 定理 ：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， NewtonCotes 公式至少有 n+1 階代數(shù)精度 定理 ： n 階 NewtonCotes 公式至少有 n 階代數(shù)精度 證： 只要證明當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，公式對(duì) f (x)＝ xn+1 精確成立。 ( )12R f b a f ?? ? ? ?( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 16 舉例 例： 試確定下面的求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 ( 0 )f x x A f A f B f? ? ??將 f (x)＝ x3 代入，等號(hào)成立，故公式具有 2 次代數(shù)精度。 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 39。而且當(dāng) n 較大時(shí)，由于 Runge現(xiàn)象， 收斂性也無(wú)法保證 。 ( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 28 復(fù)合 Simpson 公式 復(fù)合 Simpson 公式 11211100( ) d ( ) d [ ( ) 4 ( ) ( )]6iinnb x bii ia x aiihf x x f x x f x f x f x???????? ? ? ???? ? ?121101( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )6nniiinih f a f x f x f b S???????? ? ? ???????? 余項(xiàng) []5 1( 4 )0()2880niihR f f ????? ? 4 ( 4 ) ()2880ba hf ???? ( , )ab? ?性質(zhì) ：復(fù)合梯形公式和復(fù)合 Simpson 公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。 10 0 1 11 ( ) d ( ) ( )f x x A f x A f x? ???解： 將 f (x)＝ 1, x, x2, x3 代入求積公式，使其精確成立，可得 010 0 1 1220 0 1 1330 0 1 120 2 / 30AAA x A xA x A xA x A x???????????? ???易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)＝ x4 不精確成立， 所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 x P 39。 x