數(shù)值分析講義(東北大學(xué))第七章數(shù)值積分(存儲(chǔ)版)
【正文】 )的正交多項(xiàng)式 pn(x)的 n個(gè)零點(diǎn) x1,x2,… xn作為求積節(jié)點(diǎn) ,用 Newton插值余項(xiàng)有誤差 所以當(dāng) ?(x)是次數(shù)不超過(guò) 2n1的多項(xiàng)式時(shí) ,R[?]=0. ?? ???1 1 )31()31()( ffdxxf3/1,3/1 21 ??? xx 就是區(qū)間[1,1]上權(quán)函數(shù) ?(x)=1的 Gauss點(diǎn) . 下面用構(gòu)造性方法給出 Gauss點(diǎn)的求法 . ? ???? ba ni iixfAdxxxffR1)()()(][ ??? ba nn dxxxxxxxf )()(],[ 21 ????? ba nn dxxxpxxxxfC )()(],[ 21 ?? 對(duì)區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的積分 (2)求出 pn(x)的 n個(gè)零點(diǎn) x1,x2,… xn即為 Gsuss點(diǎn) . 由定理 ,構(gòu)造 Gauss型求積公式的方法為 : 例 12 求積分 定理 ?? ba dxxxfI )()( ?區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的正交多項(xiàng)式 pn(x)的 n個(gè)零點(diǎn)x1,x2,… xn恰為 Gauss點(diǎn) . (1)求出區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的正交多項(xiàng)式 pn(x). (3)計(jì)算積分系數(shù) ).,2,1()()( nidxxxlA ba ii ??? ? ?dxxfx )(1 1 2?? 的 2點(diǎn) Gauss公式 . 解 按 Schemite正交化過(guò)程作出正交多項(xiàng)式 : p0(x)=1. P2(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 故兩點(diǎn) Gauss公式為 )())(),(( ))(,()( 00001 xpxpxpxpxxxp ?? xdxxdxxx ???????112113)())(),(( ))(,()())(),(( ))(,()( 111120000222 xpxpxpxpxxpxpxpxpxxxp ???5321141151121142 ????????????? xxdxxdxxdxxdxxx, 532531 ??? xx 積分系數(shù)為 31)( 11212211 121 ?? ?? ????? dxxxxxxdxxlxA31)( 11121211 221 ?? ?? ????? dxxxxxxdxxlxA)]()([)( 5353311 1 2 ffdxxfx ????? 區(qū)間 [1,1]上權(quán)函數(shù) ?(x)=1的 Gauss型求積公式 ,稱(chēng)為GaussLegendre求積公式 ,其 Gauss點(diǎn)為 Legendre多項(xiàng)式 的零點(diǎn) . 167。 ? ???30 210 )3()1()0()( fAfAfAdxxf數(shù)值求積公式為 解 令公式對(duì) ?(x)=1,x,x2都精確成立 ,則 A0+A1+A2=3 A1+3A2= A1+9A2=9 ????? ,解之得 :A0=0,A1=9/4,A2=3/4. ? ??30 )]3()1(3[43)( ffdxxf 例 6 試確定參數(shù) A0,A1,A2,使求積公式 具有盡可能高的代數(shù)精度 ,并問(wèn)代數(shù)精度是多少 ? ,解得 :A0=A2=1/3, A1=4/3. 求積公式為 當(dāng) ?(x)=x3時(shí) ,左 =0,右 =0,公式也精確成立 . ?? ????1 1 210 )1()0()1()( fAfAfAdxxf 解 令公式對(duì) ?(x)=1,x,x2都精確成立 ,則 A0+A1+A2=2 A0+A2=0 A0+A2=2/3 ??????? ????1 1 )]1()0(4)1([31)( fffdxxf 當(dāng) ?(x)=x4時(shí) ,左 =2/5,右 =2/3,公式不精確成立 . 所以 ,此公式的代數(shù)精度為 3. 例 7 試確定參數(shù) A0,A1,A2,使求積公式 ?? ????1 1 2102 )1()0()1()( fAfAfAdxxfx具有盡可能高的代數(shù)精度 ,并問(wèn)代數(shù)精度是多少 ? 解 令公式對(duì) ?(x)=1,x,x2都精確成立 ,則 A0+A1+A2=2/3 A0+A2=0 A0+A2=2/5 ????? ,解得 :A0=A2=1/5, A1=4/15. 求積公式為 ?? ????1 1 2 )]1(3)0(4)1(3[15 1)( fffdxxfx經(jīng)驗(yàn)證公式對(duì) ?(x)=x3精確成立 ,但對(duì) ?(x)=x4不精確成立 ,公式的代數(shù)精度為 3. 試確定參數(shù) A0,A1和 x0,x1,使求積公式 例 8 ?? ??1 1 1100 )()()( xfAxfAdxxf具有盡可能高的代數(shù)精度 ,并問(wèn)代數(shù)精度是多少 ? 解 令公式對(duì) ?(x)=1,x,x2,x3都精確成立 ,則 A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0 ????????? ,解得 : ??????????3111010xxAA求積公式為 ?? ???1 1 )31()31()( ffdxxf求積公式的代數(shù)精度為 3。第 7章 數(shù)值積分 計(jì)算定積分有微積分基本公式 但很多函數(shù)找不到原函數(shù)，如 等。 的求積公式，使其代數(shù)精度盡可能高。 5 Gauss型求積公式 167。 177。 5 177。 177。 差商型數(shù)值微分 （ 1）向前差商數(shù)值微分公式 hxfhxfxf )()()( 000????由 Taylor展開(kāi)式 10,)(2)()()( 02022 ?????????? ?? hxfhhxfxfhxf可得誤差 10)(2)()()( 0000 ??????????? ?? hxfhh xfhxfxf （ 2）向后差商數(shù)值微分公式 hhxfxfxf )()()( 000????由 Taylor展開(kāi)式 10,)(2)()()( 02022 ?????????? ?? hxfhhxfxfhxf可得誤差 10)(2)()()( 0000 ?????????? ?? hxfhh hxfxfxf （ 3）中心差商數(shù)值微分公式 hhxfhxfxf2)()()( 000?????可得誤差 )]()([122 )()()( 20222022 hxfhxfhh hxfhxfxf ?? ???????????????10,)(6 02 ??????? ?? hxfh （ 4）二階中心差商數(shù)值微分公式 20000)()(2)()(hhxfxfhxfxf ???????其誤差為 O(h2). 設(shè) Ln(x)是 ?(x)以 a?x0x1…x n?b為節(jié)點(diǎn)的 n次 Lagrange插值多項(xiàng)式 , 則取 當(dāng) ?(x)?Cn+1+k[a,b]時(shí) , 有 167。 0
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