【正文】 故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例19】 已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P(1，2)。解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點M的坐標為(，)∴線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，－1)坐標代入，化簡得：4m=3k2－1故m、k滿足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線與圓錐曲線練習】一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3+x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點，頂點AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.直線與圓錐曲線參考答案一、：弦長|AB|=≤.答案：C：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入驗證即可.答案：B二、：點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案：②③④：設C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長.答案：18或50：設所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、：(1)設直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點坐標為(a+2p,0）點N到AB的距離為從而S△NAB=當a有最大值－時，S有最大值為p2.：(1)如圖，設雙曲線方程為=,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、AA2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標為(2，2）假設存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在.：(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=177。,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點；當k＞時，l與C沒有交點.(2)假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為177。n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例18】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(ⅱ)當2－k2≠0,即k≠177。解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點M的坐標為(，)∴線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，－1)坐標代入，化簡得：4m=3k2－1故m、k滿足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線與圓錐曲線練習】一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3 +x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點，頂點AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱. (1)求雙曲線C的方程.(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.直線與圓錐曲線參考答案一、：弦長|AB|=≤.答案：C：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,：B二、：點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案：②③④：設C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|：18或50：設所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－：8x－y－15=0三、：(1)設直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點坐標為(a+2p,0）點N到AB的距離為從而S△NAB=當a有最大值－時，S有最大值為p2.：(1)如圖，設雙曲線方程為=,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、AA2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標為(2，2）假設存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在.：(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=177。(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例3】 已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P(1，2)。k2=：直線DE過定點，并求出這個定點.解：（1）設【例8】 已知曲線，直線l過A（a，0）、B（0，－b）兩點，原點O到l的距離是（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若，求直線m的方程.解：（Ⅰ）依題意， 由原點O到l的距離為，得 又 故所求雙曲線方程為 （Ⅱ）顯然直線m不與x軸垂直，設m方程為y=kx－1，則點M、N坐標（）、（）是方程組 的解消去y，得 ①依設，由根與系數(shù)關系，知 == = ∴=－23，k=177。四．對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3題(1個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計22分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質為主, 難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數(shù)學高考中的壓軸題，綜合考查學生數(shù)形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 往往結合平面向量進行求解，在復習應充分重視。c+h,k)x=177。當D2+E24F＜0時，方程不表示任何圖形.點與圓的位置關系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內，其中｜MC｜=.(3)直線和圓的位置關系①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系直線與圓相交有兩個公共點直線與圓相切有一個公共點直線與圓相離沒有公共點②直線和圓的位置關系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關系來判定.、雙曲線和拋物線橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.曲線性質橢 圓