【正文】 B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.設(shè)直線l′：y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2. ②把l′代入雙曲線方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時(shí)x=,y=.故B(2,).直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.：涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例題】【例9】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得m,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個交點(diǎn)；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時(shí)，l與C有兩個交點(diǎn)；當(dāng)k＞時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為177。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=177。n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例2】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1時(shí)，方程①有兩個不等的實(shí)數(shù)根故直線l方程為 【例9】 已知動點(diǎn)與雙曲線的兩個焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．（1）求動點(diǎn)的軌跡方程； （2）若已知，、在動點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知可得： ， ∴ ∴ 所求的橢圓方程為 . (2)方法一： 由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線m，當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線m的方程為 y = k x +3 代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①由判別式 ，得. 再設(shè)M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，則一方面有，得 另一方面有 ， ② 將代入②式并消去 x 2可得，由前面知， ∴ ，解得 . 又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證：,所以 為所求。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。|PF2|,依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4,依已知條件有|PF1|c+h)y=177。c+k)y=177。準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.x=177。高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)系列(8) 圓錐曲線 一、知識結(jié)構(gòu)在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)；這條曲線叫 做方程的曲線.點(diǎn)與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0兩條曲線的交點(diǎn) 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn) f2(x0,y0) =0方程組有n個不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有 交點(diǎn).圓的定義點(diǎn)集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點(diǎn)O為圓心，定長r為半徑.圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(xa)2+(yb)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當(dāng)D2+E24F＞0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(,，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，方程表示一個點(diǎn)(,)。B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實(shí)軸長：2a 虛軸長：2b對稱軸y=焦 點(diǎn)F1(c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在長軸上F1(c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在實(shí)軸上F(，0)焦點(diǎn)對稱軸上焦 距｜F1F2｜=2c，c=｜F1F2｜=2c,c=準(zhǔn) 線x=177。+hx=hy=k+ =1(h,177。+kx=hy=k=1(h,177。求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置.定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.【例題】【例1】 雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點(diǎn)FF2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________.解：設(shè)F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|故可設(shè)直線，，，則，， 所以所求的橢圓方程為：【例4】 如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點(diǎn)，求以直線OPOP2為漸近線且過點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程.解：以O(shè)為原點(diǎn)，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴兩漸近線OPOP2方程分別為y=x和y=－x設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點(diǎn)P分所成的比λ==2,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.【例5】 過橢圓C：上一動點(diǎn)P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。當(dāng)k=177。5)的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3．直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過點(diǎn)P且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長軸的橢圓方程為_________.4．已知圓過點(diǎn)P(4，－2)、Q(－1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_________.三、解答題5．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6．某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.7．已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案一、：將直線方程變?yōu)閤=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0,得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又∵P、Q在直線x=3－2y上，∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3.答案：A：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線3x－y－2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、：所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解.答案： =1：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2則有 由此可寫所求圓的方程.答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0三、：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ①設(shè)過M1和M2的直線方程為y=－x+m ②將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=－x0+m=.代入y=x,得,由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(－10，－4）、(10，－4）設(shè)拋物線方程為x2=－2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=－2p(－4),解得p=,于是拋物線方程為x2=－25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)，E′點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=－,從而|EE′|=(－)－(－4)=.：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化簡得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,代入橢