132-函數(shù)的極值與導數(shù)(存儲版)
【正文】 2. 函數(shù)極值的綜合應用 . 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 4 ． 函數(shù) y ＝ sin x ＋ co s x 在 [0 ， π ] 上的極大值為 ________ ． 解析： y ′ ＝ co s x － sin x ， 令 y ′ ＝ 0 得 x ＝π4， 當 0 x π4時 y ′ 0 ， 當π4 x π 時 ， y ′ 0 ， 所以當 x ＝π4時 ， y 取得極大值 且極大值為 y 極大值 ＝ sinπ4＋ co sπ4＝22＋22＝ 2 . 答案： 2 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 探究二 已知函數(shù)的極值求參數(shù)的值或范圍 [ 典例 2 ] 已知 f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c ， f ( x ) 在點 x ＝ 0 處取得極值 ， 并且在單調區(qū)間[0,2] 和 [4,5] 上具有相反的單調性． (1) 求實數(shù) b 的值； (2) 求實數(shù) a 的取值范圍． [ 解析 ] (1) ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b ， f ( x ) 在點 x ＝ 0 處取得極值 ， ∴ f ′ (0) ＝ 0 ， ∴ b ＝ 0. (2) 令 f ′ (0) ＝ 0 ， 即 3 x2＋ 2 ax ＝ 0 ， 解得 x ＝ 0 或 x ＝－23a . 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 1 ． 三次函數(shù)有極值的充要條件 三次函數(shù) y ＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d ( a ≠ 0) 有極值 ? 導函數(shù) f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx ＋ c ＝0 的判別式 Δ ＝ 4 b2－ 12 ac 0. 2 ． 三次函數(shù)單調性與極值 ( 設 x1 x2) (1) 當 Δ ≤ 0 時 ， ① 若 a 0 時 ， 則 f ( x ) 在 R 上是增函數(shù)； ② 若 a 0 時 ， 則 f ( x )在 R 上是減函數(shù)． (2) 當 Δ 0 時 ， ① 若 a 0 時 ， 則 f ( x ) 的增區(qū)間為 ( － ∞ ， x1) 和 ( x2，＋ ∞ ) ， 減區(qū)間為 ( x1， x2) ，f ( x1) 為極大值 ， f ( x2) 為極小值； 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 [ 隨堂訓練 ] 1. 已知 f ( x ) 的定義域為 R ， f ( x ) 的導函數(shù) f ′ ( x ) 的圖象如圖所示 ， 則 ( ) A ． f ( x ) 在 x ＝ 1 處取得極小值 B ． f ( x ) 在 x ＝ 1 處取得極大值 C ． f ( x ) 是 R 上的增函數(shù) D ． f ( x ) 是 ( － ∞ ， 1) 上的減函數(shù) ， (1 ，＋ ∞ ) 上的增函數(shù) 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 課時作業(yè) 。 選修 2－ 2 當????? a ＝ 4b ＝－ 11時 ， f ( x ) ＝ x3＋ 4 x2－ 11 x ＋ 16 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 8 x － 11 ＝ (3 x ＋ 1 1)( x － 1) ． 當 x ∈??????－113， 1 時 ， f ′ ( x ) ＜ 0 ； 當 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 時 ， f ′ ( x ) ＞ 0 ， 故當 x ＝ 1 時 ， f ( x ) 取得極小值． 當????? a ＝－ 3b ＝ 3時 ， f ( x ) ＝ x3－ 3 x2＋ 3 x ＋ 9 ， f ′ ( x ) ＝ 3( x － 1)2≥ 0 ， 即在 x ＝ 1 處 ， f ( x ) 不取極值． 故 a ＝ 4 ， b ＝－ 11 ， 則 a ＋ b ＝－ 7. 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 經檢驗 a ＝13， b ＝ 4 符合題意． 故所求函數(shù) f ( x ) 的解析式為 f ( x ) ＝13x3－ 4 x ＋ 4. (2) 由 (1) 知 f ′ ( x ) ＝ x2－ 4 ＝ ( x － 2)( x ＋ 2) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ 2 或 x ＝－ 2 ， 當 x 變化時 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情 況如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2,2) 2 (2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 283 －43 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 1 ． 求下列函數(shù)的極值． (1) f ( x ) ＝ x3－ 3 x2－ 9 x ＋ 5 ； (2) f ( x ) ＝l n xx.
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