【正文】 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 ② 若 a 0 時 ， 則 f ( x ) 的減區(qū)間為 ( － ∞ ， x1) 和 ( x2，＋ ∞ ) ， 增區(qū)間為 ( x1， x2) ，f ( x1) 為極小值 ， f ( x2) 為極大值． ( 如圖所示 ) Δ 0 Δ ≤ 0 a 0 a 0 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 5 ． 求函數(shù) f ( x ) ＝ 3x ＋ 3l n x 的極值． 解析： 函數(shù) f ( x ) ＝3x＋ 3l n x 的定義域是 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝－3x2 ＋3x＝3 ? x － 1 ?x2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 得 x ＝ 1. 當 x 變化時 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 極小值 3 因此當 x ＝ 1 時 ， f ( x ) 有極小值 ， 并且 f (1) ＝ 3 ， 無極大值． 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 探究三 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 [ 典例 3 ] 若函數(shù) f ( x ) ＝ ax3－ bx ＋ 4 ， 當 x ＝ 2 時函數(shù) f ( x ) 有極值－43. (1) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； (2) 若關(guān)于 x 的方程 f ( x ) ＝ k 有三個不等實根 ， 求實數(shù) k 的取值范圍． [ 解析 ] (1) 由題意可知 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2－ b ， ∴????? f ′ ? 2 ? ＝ 12 a － b ＝ 0 ，f ? 2 ? ＝ 8 a － 2 b ＋ 4 ＝－43，∴????? a ＝13，b ＝ 4. 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 2 ． 函數(shù) y ＝ 2 － x2－ x3的極值情況是 ( ) A ． 有極大值 ， 沒有極小值 B ． 有極小值 ， 沒有極大值 C ． 既無極大值也無極小值 D ． 既有極大值又有極小值 解析： y ′ ＝－ 2 x － 3 x2， 令 y ′ ＝ 0 ， 得 x 1 ＝－23， x 2 ＝ 0. 當 x －23時 ， y ′ 0 ； 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 當－23 x 0 時 ， y ′ 0 ； 當 x 0 時 ， y ′ 0. 故當 x ＝－23時 ， 函數(shù) y 有極小值； 當 x ＝ 0 時 ， 函數(shù) y 有極大值．故選 D. 答案： D 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 經(jīng)檢驗 a ＝13， b ＝ 4 符合題意． 故所求函數(shù) f ( x ) 的解析式為 f ( x ) ＝13x3－ 4 x ＋ 4. (2) 由 (1) 知 f ′ ( x ) ＝ x2－ 4 ＝ ( x － 2)( x ＋ 2) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ 2 或 x ＝－ 2 ， 當 x 變化時 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情 況如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2,2) 2 (2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 283 －43 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 課時作業(yè) 。 選修 2－ 2 1 ． 三次函數(shù)有極值的充要條件 三次函數(shù) y ＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d ( a ≠ 0) 有極值 ? 導(dǎo)函數(shù) f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx ＋ c ＝0 的判別式 Δ ＝ 4 b2－ 12 ac 0. 2 ． 三次函數(shù)單調(diào)性與極值 ( 設(shè) x1 x2) (1) 當 Δ ≤ 0 時 ， ① 若 a 0 時 ， 則 f ( x ) 在 R 上是增函數(shù)； ② 若 a 0 時 ， 則 f ( x )在 R 上是減函數(shù)． (2) 當 Δ 0 時 ， ① 若 a 0 時 ， 則 f ( x ) 的增區(qū)間為 ( － ∞ ， x1) 和 ( x2，＋ ∞ ) ， 減區(qū)間為 ( x1， x2) ，f ( x1) 為極大值 ， f ( x2) 為極小值； 返回導(dǎo)航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 4 ． 函數(shù) y ＝ sin x ＋ co s x 在 [0 ， π ] 上的極大值為 ________ ． 解析： y ′ ＝ co s x － sin x ， 令 y ′ ＝ 0 得 x ＝π4， 當 0 x π4時 y ′ 0 ， 當π4 x π 時 ， y ′ 0 ，