【正文】 選修 2－ 2 [ 錯因與防范 ] (1) ① f ′ ( x 0 ) ＝ 0 是可導函數(shù) f ( x ) 在 x 0 處取得極值的必要條件 ， 并不是充要條件． ② 函數(shù) f ( x ) 的定義域上不可導點也可能是極值點 ， 在解題中是易漏點． (2) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 處的導數(shù)值為 0 是函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 處取得極值的必要不充分條件 ， 因此 ， 已知極值條件求參數(shù)值時 ， 一定不要忘了求解后的檢驗 . 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 因此 ， 當 x ＝－ 1 時函數(shù)取得極大值 ， 且極大值為 f ( － 1) ＝ 10 ；當 x ＝ 3 時函數(shù)取得極小值 ， 且極小值為 f (3) ＝－ 2 2 . (2) 函數(shù) f ( x ) ＝ln xx的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ， 且 f ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ e. 當 x 變化時 ， f ′ ( x ) 與 f ( x ) 的變化情況如下表： x (0 ， e) e (e ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 1/ e 故當 x ＝ e 時函數(shù)取得極大值 ， 且極大值為 f (e ) ＝1e. 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 1 . 3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 函數(shù)的極值與導數(shù) 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 當 0 x 2π 時 ， x1＝π3， x2＝ π ， x3＝5 π3. 當 x 在區(qū)間 (0, 2 π) 內(nèi)變化時 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ??????0 ，π3 π3 ??????π3， π π ??????π ，5 π3 5π3 ??????5π3， 2 π f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f ( x ) 極大值3 34 0 極小值 －3 34 故當 x ＝π3時 f ( x ) 有極大值為3 34； 當 x ＝5π3時 ， f ( x ) 有極小值為－3 34. 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 根據(jù)上表 ， 當 x ＝－53時函數(shù)取得極大值且極大值為 f??????－53＝22927， 當 x ＝ 1 時函數(shù)取得極小值且極小值為 f (1) ＝－ 1. 根據(jù)題意結(jié)合上圖可知 k 的取值范圍為 ( － 1 ，22927) ． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 2 ． 函數(shù) y ＝ 3 x － x3， 在 [ － 1,2] 上的最大 、 最小值分別為 ( ) A ． f ( － 1) ， f (0) B ． f (1) ， f (2) C ． f ( － 1) ， f (2) D ． f (2) ， f ( － 1) 解析： ∵ y ′ ＝ 3 － 3 x2， 令 y ′ 0 ， 解得：－ 1 x 1 ；令 y ′ 0 ， 解得： x 1 或 x － 1 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 在 [ － 1,1 ) 遞增 ， 在 (1, 2] 遞減 ， ∴ f ( x )m ax＝ f (1) ＝ 2 ， ∵ f ( － 1) ＝－ 2 ， f (2) ＝－ 2 ， ∴ f (1) 最大 ， f ( － 1) ＝ f (2) 最小 ， 故選 B. 答案： B 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個注意點： (1) 常根據(jù)極值點處導數(shù)為 0 和極值的兩個條件列方程組 ， 利用待定系數(shù)法求解． (2) 因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件 ， 所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 [ 自主梳理 ] 一 、 極小值 如果函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點 x ＝ a 的函數(shù)值 f ( a ) 比它在點 x ＝ a 附近其他點的函數(shù)值都小 ，f ′ ( a ) ＝ 0 ； 而且在點 x ＝ a 附近的左側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 右側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 則把點 a 叫作函數(shù) y ＝ f ( x ) 的極小值點 ， f ( a ) 叫作函數(shù) y ＝ f ( x ) 的極小值． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 探究一 求函數(shù)的極值 [ 典例 1 ] 求下列函數(shù)的極值： (1) f ( x ) ＝ x3－ 12 x ； (2) f ( x ) ＝ sin x (1 ＋ co s x )(0 x 2π) ． 返回導航 上頁 下頁