【正文】 【答案】D【解析】，因此代入可得，則有。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。（11）若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，則=_________。三、解答題： 15~23小題，共94分，請將解答寫在答題紙指定位置上。【答案】（Ⅰ）證：因?yàn)?，由極限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得。（Ⅱ）因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)解向量，又，即，因此基礎(chǔ)解系的一個(gè)解向量為?；仡欉^去篇（19872014）1987年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,)(1)當(dāng)=_____________時(shí),函數(shù)取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_____________.(3)與兩直線 及都平行且過原點(diǎn)的平面方程為_____________. (4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分= _____________.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_____________.二、(本題滿分8分)求正的常數(shù)與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數(shù)五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則在處(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且 (B)取得極大值 (C)取得極小值 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值(A)依賴于和 (B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于 (D)依賴于,不依賴于(3)設(shè)常數(shù)則級數(shù)(A)發(fā)散 (B)絕對收斂 (C)條件收斂 (D)散斂性與的取值有關(guān) (4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A) (B)(C) (D) 六、（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù). 七、（本題滿分10分）求曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于 八、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對于上的每一個(gè)函數(shù)的值都在開區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個(gè)使得九、（本題滿分8分）問為何值時(shí),現(xiàn)線性方程組有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時(shí)的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,)(1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),則至少發(fā)生一次的概率為____________。（21）（本題滿分11分）設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，求的值及一個(gè)正交矩陣?！窘馕觥柯裕?9）（本題滿分10分）設(shè)薄片型物體時(shí)圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的弧度為，記圓錐與柱面的交線為，（Ⅰ）求在平面上的投影曲線的方程；（Ⅱ）求的質(zhì)量。（15）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。（12）冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_________。A. 服從分布B. 服從分布C. 服從分布D. 服從分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B錯(cuò)誤，由可得，則有，因此。A. B. C. D. 【答案】C【解析】從0到時(shí)刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知?！窘馕觥浚á瘢┳C：，因此有顯然收斂，因此絕對收斂.（Ⅱ）記，因此得，因?yàn)榧墧?shù)收斂，因此存在，因此存在，不妨設(shè)，由可得，兩邊取極限可得，即若，這與矛盾，若，與矛盾，因此可得，即.（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣.當(dāng)為何值時(shí)，方程無解、有唯一解、有無窮多解？在有解時(shí)，求解此方程.【答案】時(shí)，無解；時(shí)，有無窮多解，；且時(shí)，有唯一解，【解析】增廣矩陣為因此當(dāng)即且時(shí)，有唯一解；設(shè)，代入，解得當(dāng)代入設(shè)，因此可得，這兩個(gè)式子是矛盾的，因此方程組無解；當(dāng)代入，此時(shí)方程組有無窮多解，將代入可得，解得，不妨設(shè)為自由未知量，則可得（21）（本題滿分11分）已知矩陣（Ⅰ）求；（Ⅱ），將分別表示成的線性組合.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用相似對角化，由得到特征值為，當(dāng)時(shí)，代入中，求解方程組的解就是特征向量，即同理得到其他的兩個(gè)特征向量分別為：對應(yīng)的特征向量為，對應(yīng)的特征向量為，設(shè)，則有，因此可得，根據(jù)矩陣可以求得其逆矩陣為因此有（Ⅱ），因此可得、所以因此有（22）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（Ⅰ）寫出的概率密度；（Ⅱ）問與是否相互獨(dú)立？并說明理解；（Ⅲ）求的分布函數(shù).【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）與不獨(dú)立，因?yàn)椋á螅┑姆植己瘮?shù)為：【解析】（Ⅰ）區(qū)域的面積為，因此服從均勻分布，因此有（Ⅱ）與不獨(dú)立因此，故不獨(dú)立.（Ⅲ）因此可得（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為總體的簡單隨機(jī)抽樣，令.（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）確定，使得為的無偏估計(jì).【答案】（Ⅰ）的概率密度：（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，獨(dú)立同分布，因此可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此可得概率密度函數(shù)為：（Ⅱ），根據(jù)題意，如果為的無偏估計(jì)，則有，因此可得.2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。A. B. C. D. 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個(gè)式子相加可得：兩個(gè)式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（　）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】對函數(shù)做不定積分可得原函數(shù)，因此選擇D.（3）若是微分方程的兩個(gè)解，則=（?。?。（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程，其中.（Ⅰ）證明：反常積分收斂；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）特征方程為，由可知，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂.（Ⅱ）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足，且，是從點(diǎn)到點(diǎn)的光滑曲線，計(jì)算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以， 設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無關(guān)故因?yàn)?，所以，令可得而，因此，因此?dāng)有最小值為.（18）（本題滿分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，為整個(gè)表面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)可導(dǎo)，證明：（Ⅰ）級數(shù)絕對收斂；（Ⅱ）存在，且.【答案】利用絕對收斂定義證明即可。（4）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位：s），則（?。?。（8）設(shè)來自總體的簡單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（　）?！敬鸢浮浚?【解析】設(shè)，因此可得：，根據(jù)，因此可得。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，因此，因?yàn)?，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根?jù)零點(diǎn)定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個(gè)不同實(shí)根。因?yàn)椋实奶亟鉃?，因此的通解為。而事件至多發(fā)生一次的概率為____________.(2)有兩個(gè)箱子,第1個(gè)箱子有3個(gè)白球,2個(gè)紅球, 第2個(gè)箱子有4個(gè)白球,再從第2個(gè)箱子中取出1個(gè)球,則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為____________.(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為____________,的方差為____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為 , , 求的概率密度函數(shù).1988年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求冪級數(shù)的收斂域.(2)設(shè)且,求及其定義域.(3)設(shè)為曲面的外側(cè),計(jì)算曲面積分 二、填空題(本題共4小題,每小題3分,)(1)若則= _____________.(2)設(shè)連續(xù)且則=_____________.(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為 ,則的傅里葉級數(shù)在處收斂于_____________.(4)設(shè)4階矩陣其中均為4維列向量,且已知行列式則行列式= _____________.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)可導(dǎo)且則時(shí)在處的微分是(A)與等價(jià)的無窮小 (B)與同階的無窮小 (C)比低階的無窮小 (D)比高階的無窮小(2)設(shè)是方程的一個(gè)解且則函數(shù)在點(diǎn)處(A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)設(shè)空間區(qū)域則(A) (B) (C) (D) (4)設(shè)冪級數(shù)在處收斂,則此級數(shù)在處(A)條件收斂 (B)絕對收斂(C)發(fā)散 (D)收斂性不能確定 (5)維向量組線性無關(guān)的充要條件是(A)存在一組不全為零的數(shù)使(B)中任意兩個(gè)向量均線性無關(guān) (C)中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示 四、(本題滿分6分) 設(shè)其中函數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)滿足微分方程其圖形在點(diǎn)處的切線與曲線在該點(diǎn)處的切線重合,求函數(shù)六、（本題滿分9分）設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為為常數(shù)為質(zhì)點(diǎn)與之間的距離),質(zhì)點(diǎn)沿直線自運(yùn)動(dòng)到求在此運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力所作的功.七、（本題滿分6分） 已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個(gè)滿足的可逆陣九、（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且在內(nèi)有證明:在內(nèi)存在唯一的使曲線與兩直線所圍平面圖形面積是曲線與兩直線所圍平面圖形面積的3倍.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,)(1)設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于則事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是____________.(2)若在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于”的概率為____________.(3)設(shè)隨機(jī)變量服從均值為10,已知?jiǎng)t落在區(qū)間內(nèi)的概率為____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,)(1)已知?jiǎng)t= _____________.(2)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則=_____________.(3)設(shè)平面曲線為下半圓周則曲線積分=_____________.(4)向量場在點(diǎn)處的散度=_____________.(5)設(shè)矩陣則矩陣=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當(dāng)時(shí),曲線(A)有且僅有水平漸近線 (B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線 (D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線(2)已知曲面上點(diǎn)處的切平面平行于平面則點(diǎn)的坐標(biāo)是(A) (B) (C) (D) (3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是(A) (B) (C) (D) (4)設(shè)函數(shù)而其中則等于(A) (B) (C) (D) (5)設(shè)是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0 (B)必有兩列元素對應(yīng)成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的線性組合 (D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)設(shè)其中函數(shù)二階可導(dǎo)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求 (2)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且計(jì)算的值.(3)計(jì)算三重積分其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.四、(本題滿分6分)將函數(shù)展為的冪級數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),求六、（本題滿分7分）證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根.七、（本題滿分6分）問為何值時(shí),線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8分）假設(shè)為階可逆矩陣的一個(gè)特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值.九、（本題滿分9分） 設(shè)半徑為的球面的球心在