【正文】 ）設(shè)函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù)．【詳解】顯然．在處的梯度在處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的條件極值．用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個(gè)可能的極值點(diǎn)，進(jìn)行比較，可得，在點(diǎn)或處，方向?qū)?shù)取到最大，為18．（本題滿分10分）（1）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明；（2）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式．【詳解】（1）證明：設(shè)由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）19．（本題滿分10分）已知曲線L的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分．【詳解】曲線L的參數(shù)方程為起點(diǎn)對(duì)應(yīng)，終點(diǎn)為對(duì)應(yīng)．20．（本題滿分11分）設(shè)向量組為向量空間的一組基，．（1）證明：向量組為向量空間的一組基；（2）當(dāng)為何值時(shí)，存在非零向量，使得在基和基下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因?yàn)?，且顯然線性無(wú)關(guān)，所以是線性無(wú)關(guān)的，當(dāng)然是向量空間的一組基．（2）設(shè)非零向量在兩組基下的坐標(biāo)都是，則由條件可整理得：，所以條件轉(zhuǎn)化為線性方程組存在非零解．從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是由于顯然線性無(wú)關(guān)，所以，也就是．此時(shí)方程組化為，由于線性無(wú)關(guān)，所以，通解為，其中為任意常數(shù)．所以滿足條件的其中為任意不為零的常數(shù)．21．（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣．（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣．【詳解】（1）因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣相似，所以有，．也就是．（2）由，得A，B的特征值都為解方程組，得矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則22．（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記為次數(shù)．求的分布函數(shù)；（1） 求的概率分布；（2） 求數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，得到觀測(cè)值大于3的概率為顯然Y的可能取值為且（2）設(shè)23．（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本．（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量．【詳解】（1）總體的數(shù)學(xué)期望為令，解得參數(shù)的矩估計(jì)量：．（2）似然函數(shù)為顯然是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達(dá)到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數(shù)的最大似然估計(jì)量為2016年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若反常積分收斂，則（?。. B. C. D. 【答案】D【解析】對(duì)函數(shù)做不定積分可得原函數(shù)，因此選擇D.（3）若是微分方程的兩個(gè)解，則=（?。?。A. 是的第一類間斷點(diǎn)B. 是的第二類間斷點(diǎn)C. 在處連續(xù)但不可導(dǎo)D. 在處可導(dǎo)【答案】D【解析】，因此在處連續(xù)，而，而，因此，而左右兩邊的極限均為1，因此，故在可導(dǎo)，選擇D.（5）設(shè)是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　）。【答案】B【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，根據(jù)可以求得特征值為，因此二次型的規(guī)范形為，故可得，即，因此對(duì)應(yīng)的曲面為雙葉雙曲面，選擇B.（7）設(shè)隨機(jī)變量，記，則（?。?。A.B.C.D.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，因此有，因此可得，故可得相關(guān)系數(shù)為：二、填空題，9~14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答疑紙指定位置上.（9）________________.【答案】【解析】（10）向量場(chǎng)的旋度________________.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設(shè)函數(shù)可微，由方程確定，則________________.【答案】【解析】將兩邊分別關(guān)于求導(dǎo)可得：。（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程，其中.（Ⅰ）證明：反常積分收斂；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）特征方程為，由可知，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂.（Ⅱ）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足，且，是從點(diǎn)到點(diǎn)的光滑曲線，計(jì)算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以， 設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無(wú)關(guān)故因?yàn)?，所以，令可得而，因此，因此?dāng)有最小值為.（18）（本題滿分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，為整個(gè)表面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)可導(dǎo)，證明：（Ⅰ）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（Ⅱ）存在，且.【答案】利用絕對(duì)收斂定義證明即可。（1）若函數(shù)在連續(xù)，則（?。＃?）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則（?。?。（3）函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為（?。?。（4）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位：s），則（　）。（5）設(shè)為n維單位列向量，E為n維單位矩陣，則（?。＃?）已知矩陣，則（　）。（7）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，若，且的充分必要條件是（?。?。（8）設(shè)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（　）。二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。【答案】0【解析】，因此，代入可得?！敬鸢浮?【解析】由，所以，因此，因此通解為：。【答案】－1【解析】設(shè)，因此可得：，根據(jù)，因此可得?！敬鸢浮俊窘馕觥俊！敬鸢浮?【解析】因?yàn)椋?，因此，所以向量組的秩2?！敬鸢浮?【解析】因此可得。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟?！敬鸢浮?，【解析】因?yàn)?，所以，因此因此得：?6）（本題滿分10分）求【答案】【解析】由定積分的定義可知，然后計(jì)算定積分，（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值?！窘馕觥繉?duì)關(guān)于求導(dǎo)得：，令得，因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。（18）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（Ⅰ）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；（Ⅱ）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根。（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，因此，因?yàn)?，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根?jù)零點(diǎn)定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個(gè)不同實(shí)根?！敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）64。（20）（本題滿分11分）三階行列式有3個(gè)不同的特征值，且，（Ⅰ）證明；（Ⅱ）如果，求方程組的通解?！窘馕觥浚á瘢┳C：因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此。因?yàn)?，故的特解為，因此的通解為?！敬鸢浮?，正交矩陣【解析】二次型?duì)應(yīng)的矩陣為，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型為，所以，從而，即，代入得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；從而正交矩陣?！敬鸢浮浚á瘢á颍窘馕觥浚á瘢┯蓴?shù)字特征的計(jì)算公式可知：，則（Ⅱ）先求的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的定義可知：。【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，?duì)應(yīng)的概率密度為，設(shè)的分布函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的概率密度為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則的概率密度為；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，從而的矩估?jì)量為；（Ⅲ）由題可知對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)得：，所以，令，得，所以的最大似然估計(jì)量為。而事件至多發(fā)生一次的概率為_(kāi)___________.(2)有兩個(gè)箱子,第1個(gè)箱子有3個(gè)白球,2個(gè)紅球, 第2個(gè)箱子有4個(gè)白球,再?gòu)牡?個(gè)箱子中取出1個(gè)球,則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為_(kāi)___________.(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)___________,的方差為_(kāi)___________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為 , , 求的概率密度函數(shù).1988年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求冪級(jí)數(shù)的收斂域.(2)設(shè)且,求及其定義域.(3)設(shè)為曲面的外側(cè),計(jì)算曲面積分 二、填空題(本題共4小題,每小題3分,)(1)若則= _____________.(2)設(shè)連續(xù)且則=_____________.(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為 ,則的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于_____________.(4)設(shè)4階矩陣其中均為4維列向量,且已知行列式則行列式= _____________.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)可導(dǎo)且則時(shí)在處的微分是(A)與等價(jià)的無(wú)窮小 (B)與同階的無(wú)窮小 (C)比低階的無(wú)窮小 (D)比高階的無(wú)窮小(2)設(shè)是方程的一個(gè)解且則函數(shù)在點(diǎn)處(A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)設(shè)空間區(qū)域則(A) (B) (C) (D) (4)設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂,則此級(jí)數(shù)在處(A)條件收斂 (B)絕對(duì)收斂(C)發(fā)散 (D)收斂性不能確定 (5)維向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是(A)存在一組不全為零的數(shù)使(B)中任意兩個(gè)向量均線性無(wú)關(guān) (C)中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示 四、(本題滿分6分) 設(shè)其中函數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)滿足微分方程其圖形在點(diǎn)處的切線與曲線在該點(diǎn)處的切線重合,求函數(shù)六、（本題滿分9分）設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為為常數(shù)為質(zhì)點(diǎn)與之間的距離),質(zhì)點(diǎn)沿直線自運(yùn)動(dòng)到求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力所作的功.七、（本題滿分6分） 已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個(gè)滿足的可逆陣九、（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且在內(nèi)有證明:在內(nèi)存在唯一的使曲線與兩直線所圍平面圖形面積是曲線與兩直線所圍平面圖形面積的3倍.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,)(1)設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于則事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是____________.(2)若在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于”的概率為_(kāi)___________.(3)設(shè)隨機(jī)變量服從均值為10,已知?jiǎng)t落在區(qū)間內(nèi)的概率為_(kāi)___________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,)(1)已知?jiǎng)t= _____________.(2)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則=_____________.(3)設(shè)平面曲線為下半圓周則曲線積分=_____________.(4)向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度=_____________.(5)設(shè)矩陣則矩陣=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)當(dāng)時(shí),曲線(A)有且僅有水平漸近線 (B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線 (D)既無(wú)水平漸近線,又無(wú)鉛直漸近線(2)已知曲面上點(diǎn)處的切平面平行于平面則點(diǎn)的坐標(biāo)是(A) (B) (C) (D) (3)設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是(A) (B) (C) (D) (4)設(shè)函數(shù)而其中則等于(A) (B) (C) (D) (5)設(shè)是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0 (B)必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的線性組合 (D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)設(shè)其中函數(shù)二階可導(dǎo)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求 (2)設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且計(jì)算的值.(3)計(jì)算三重積分其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.四、(本題滿分6分)將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),求六、（本題滿分7分）證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根.七、（本題滿分6分）問(wèn)為何值時(shí),線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8分）假設(shè)為階可逆矩陣的一個(gè)特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值.九、（本題滿分9分） 設(shè)半徑為的球面的球心在