不等式放縮技巧十法(存儲(chǔ)版)
【正文】 （4）本題可作推廣如下：若正數(shù)滿足，則簡(jiǎn)證：構(gòu)造函數(shù)，易得故十. 構(gòu)造輔助函數(shù)法【例23】已知= ,數(shù)列滿足（1）求在上的最大值和最小值。（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3176?！璦n＝，為證a1例18 設(shè)，定義，求證：對(duì)一切正整數(shù)有[解析] 用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)有（證略）例19 數(shù)列滿足證明[簡(jiǎn)析] 將問(wèn)題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對(duì)一切有 例20 已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n有a1三 添減項(xiàng)放縮上述例5之法2就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即【例8】已知不等式。這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過(guò)“度”了！②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 請(qǐng)分析下述求法：因?yàn)?，所以? 故的最大值為，且此時(shí)有。再如：設(shè)函數(shù)。 當(dāng)時(shí)在遞增，故 對(duì)(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。n！ [解析]：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。n！，只要證n206。故2176?！纠?4】已知數(shù)列的首項(xiàng)，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：對(duì)任意的，；（Ⅲ）證明：．【解析】（Ⅰ）．（Ⅱ）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進(jìn)行配方，確定其最大值。（每一項(xiàng)都小于1）而再證即，則需要?dú)w納出條件n≥4.(前4項(xiàng)驗(yàn)證即可)已知an=n ，求證：＜3．證明：=＜1＋ ＜１＋==1＋ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3．本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).放大或縮小“因式”；例已知數(shù)列滿足求證：證明 本題通過(guò)對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明.【評(píng)注】從上述探索放縮證明技巧過(guò)程易于看到：
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