【正文】 齊次線性方程組可以直接看出是一定有解的，因?yàn)楫?dāng)式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性質(zhì)“0向量可由任何向量線性表示”，即當(dāng)中的時(shí)一定存在一組數(shù)使等式成立，至少在全為0時(shí)可以滿足。假如線性相關(guān)\無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的，那同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。而使上述等式成立的就是非齊次方程組的解，故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組是否由非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性向關(guān)”，非齊次方程組也由對(duì)應(yīng)性質(zhì)“非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示”。以上所討論的各種聯(lián)系可以歸納為下面幾條非常重要的定義與性質(zhì)，其涵蓋了大量的題眼，在實(shí)際做題時(shí)非常好用。的行\(zhòng)列向量組均線性無(wú)關(guān)243。A的列向量組線性無(wú)關(guān)”行列式 線性相關(guān) 線性方程組 性質(zhì)1中的“r(A)=n243。 線代第五章《特征值和特征向量》相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。矩陣合同的定義是，其中為可逆矩陣。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。將本章與上一章中相似對(duì)角化部分的內(nèi)容作比較會(huì)有助于理解記憶“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因?yàn)榇缶V對(duì)本章要求不高，所以不必深究。記牢公式性質(zhì)，同時(shí)保證足夠的習(xí)題量，考試時(shí)概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。區(qū)別互斥、互逆、對(duì)立與不相容：事件與事件互斥也叫與不相容，即，事件與事件對(duì)立就是與互逆，即為與的關(guān)系。陳文燈復(fù)習(xí)指南概率第二、三章把知識(shí)點(diǎn)列成了大表格，所有東西一目了然，復(fù)習(xí)時(shí)用來(lái)記憶和對(duì)比很方便。還有數(shù)學(xué)期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點(diǎn)，可由下表對(duì)比記憶：數(shù)學(xué)期望方差 （連續(xù)型） 若、相互獨(dú)立，則有、（歷年真題不止一次利用這個(gè)點(diǎn)作為填空和選擇題中的小陷阱，因?yàn)橐徊涣羯窬蜁?huì)寫成，正如一樣，但實(shí)際上）若、相互獨(dú)立，則有無(wú)對(duì)應(yīng)性質(zhì)若、相互獨(dú)立則同時(shí)具有以下4條性質(zhì)：1. . 4. ，利用各式定義可以推導(dǎo)出來(lái)。從另一方面說(shuō)，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨(dú)立同分布且存在數(shù)學(xué)期望的條件下若干隨機(jī)變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。其實(shí)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)先對(duì)隨機(jī)變量做實(shí)際觀測(cè)得到一系列具體數(shù)據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣本均值、方差等統(tǒng)計(jì)量，在此基礎(chǔ)上利用參數(shù)估計(jì)等方法推斷出隨機(jī)變量整體分布和數(shù)學(xué)特征的過(guò)程。1. 3 本題主考知識(shí)點(diǎn)是付立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式，在求解過(guò)程中若用到定積分的對(duì)稱性可大大方便求解。基本上與本題是一個(gè)題。本題如果直接做的話比較復(fù)雜，需求偏導(dǎo)和求解微分方程，但是如果在由條件“積分與路徑無(wú)關(guān)”得到后就運(yùn)用試探法，很容易就能試出只有B項(xiàng)能使等式成立。因?yàn)槌鲱}老師編制題目時(shí)，在加入各種考點(diǎn)并使題目基本成型后往往還要通過(guò)四則運(yùn)算來(lái)使題目形式變得更為復(fù)雜。 十. ，可直接應(yīng)用“抽簽原理”：若共有a支簽，其中b支是好簽，則任意抽取不放回時(shí)抽到好簽的概率與抽簽的先后次序無(wú)關(guān)，都等于b/a。另外，看起來(lái)很容易拆開變?yōu)?，但?jīng)驗(yàn)告訴我們，看起來(lái)越好拆的就越不能拆，起碼也要先試試不拆能否做出來(lái)，因?yàn)榭佳蓄}很多都有誤導(dǎo)傾向。三. 本題求參數(shù)方程的一、二階導(dǎo)數(shù)，在求解過(guò)程中使用了一些常用技巧，如將變形為，則有、。、。這樣的x應(yīng)視為被積函數(shù)中的參數(shù)，而由于對(duì)變上限積分求導(dǎo)要求被積函數(shù)中不含參數(shù)，故須先通過(guò)變形將參數(shù)x轉(zhuǎn)移到積分上下限中或移到積分號(hào)之外。解選擇題時(shí)試探法應(yīng)該是當(dāng)之無(wú)愧的第一選擇，因?yàn)橛挚煊直ｋU(xiǎn)。本題中的看似是二元函數(shù)的隱函數(shù)，但由于存在而實(shí)際上是關(guān)于的一元復(fù)合函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)可得；函數(shù)是多元復(fù)合函數(shù)，對(duì)可求全導(dǎo)數(shù)。八. 本題考察了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。,其解法與本題基本相同?！?；98年的第四題利用一個(gè)向量為某二元函數(shù)的梯度的充要條件來(lái)引出；94年的第五題利用判定一個(gè)微分方程為全微分方程的的充要條件來(lái)引出。 本題的形式比較新穎，考點(diǎn)是求多元符合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，具體是將、視為多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)的中間變量、為自變量，應(yīng)用多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)法則將、和轉(zhuǎn)化為、和的組合來(lái)求解。十一. 本題求的是兩個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的極大、極小值的聯(lián)合分布，屬于二維離散分布。由此可見，對(duì)于矩陣秩部分多記一些性質(zhì)公式常常很好用，線代中其它知識(shí)點(diǎn)也存在類似的現(xiàn)象。好題就是“做對(duì)了理直氣壯、問(wèn)心無(wú)愧，做錯(cuò)了也獲益匪淺、心服口服”的題；壞題給人的不良反應(yīng)常常是“做對(duì)了心存僥幸，做錯(cuò)了也不服氣”、“不管做對(duì)做錯(cuò)都。另一種解法是利用性質(zhì)“則有”。解這兩個(gè)題的難點(diǎn)在于對(duì)| |號(hào)的處理，需要利用數(shù)學(xué)期望的定義式和定積分的對(duì)稱性來(lái)消絕對(duì)值號(hào)。 96年這套題整體風(fēng)格有點(diǎn)散亂，有的題出的并不慎重，與前幾年試卷的相似之處偏多，而本題的這種出法也有點(diǎn)無(wú)厘頭。其它解法包括利用性質(zhì)“在矩陣可逆時(shí)有，在矩陣可逆時(shí)有”，因?yàn)轭}目中有，所以可逆，故；也可以利用性質(zhì)“矩陣右乘可逆矩陣等價(jià)于對(duì)其進(jìn)行一系列初等行變換”，而初等變換不改變矩陣的秩，故對(duì)矩陣來(lái)說(shuō)有。95年這一年的概率部分考查了一、二、三章的內(nèi)容，沒有涉及數(shù)理統(tǒng)計(jì)。同樣，在第2問(wèn)中想到應(yīng)用輔助函數(shù)法也是建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上；不僅如此，在積累了一定的練習(xí)量之后應(yīng)該還能看出條件中的就是，也就是。這個(gè)小知識(shí)點(diǎn)在歷年真題中出現(xiàn)過(guò)不止一次，可以簡(jiǎn)記為“左乘行變、右乘列變”以避免混淆，弄不清楚的時(shí)候還可以用簡(jiǎn)單矩陣演算一下來(lái)確定。 雖然本題的求解過(guò)程不算麻煩，但還是可以用試探法?！胺謩e服從正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布”叫做正態(tài)分布的可加性，二項(xiàng)分布和泊松分布也有類似性質(zhì)：若、且與相互獨(dú)立，則；若、且與相互獨(dú)立，則。八. 求齊次線性方程組（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解可用以下三種方法：（Ⅱ）的通解后代入方程組（Ⅰ）得到公共解；（Ⅰ）與齊次方程（Ⅱ）的通解相等而得到公共解；，即，其解即為兩方程組的公共解。 陳文燈復(fù)習(xí)指南《向量》那一章引用本題作為一個(gè)例題，提供了兩種解法。5 1994年數(shù)學(xué)一評(píng)題1. 1本題是應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換球極限的好例子。主要應(yīng)用的是：，其中為二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值；。，用到了六大公式、逐項(xiàng)積分和四則運(yùn)算法則，其中需要注意的是對(duì)于級(jí)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用。、低階、等價(jià)無(wú)窮小的定義式要避免混淆。相比之下，一些市場(chǎng)上的模擬套題雖然也將幾個(gè)點(diǎn)放在一題中考查，但“編制工藝”要粗糙的多，常常有生拉硬湊的感覺。1. 2 本題代表了考研真題對(duì)于像“旋轉(zhuǎn)曲面方程”這樣的知識(shí)點(diǎn)的普遍考察深度——主要就是一個(gè)公式（下面的填空題第4題也是這樣的例子）；但也不是僅僅考查一個(gè)求旋轉(zhuǎn)曲面的公式，而是引入了“用偏導(dǎo)數(shù)求法向量”這個(gè)點(diǎn)。概率這門課的全稱是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)概率論的實(shí)際應(yīng)用，而概率論則充當(dāng)了理論基礎(chǔ)的角色。所以花時(shí)間記住這幾個(gè)公式其實(shí)是比較劃算的，因?yàn)槿绻荚嚦鲆坏烙嘘P(guān)的填空題，4分的得失將完全取決于記沒記住公式。陳文燈復(fù)習(xí)指南第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》也是用表格說(shuō)話的，同樣需要認(rèn)真記好。而英國(guó)學(xué)生考“語(yǔ)文”時(shí)做的閱讀理解問(wèn)題肯定要比我們遇到的題目要復(fù)雜深入的多——因?yàn)榭疾斓闹攸c(diǎn)不一樣。對(duì)于其它的概率運(yùn)算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過(guò)作圖來(lái)得到答案。記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時(shí)，感覺其中必然會(huì)有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來(lái)復(fù)習(xí)時(shí)才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。在理年真題中本章知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過(guò)大題。 其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪作為思路的起點(diǎn)，直接乘來(lái)求比較困難，但如果有矩陣使得滿足（對(duì)角陣）的話就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)，而對(duì)角陣的冪就等于代如上式即得。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。3. 關(guān)于秩的一些結(jié)論：；；；；；若有、滿足，則；若是可逆矩陣則有；同樣若可逆則有。3. 齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于是否可以由的列向量組線性表出。存在方陣使得243。我記得當(dāng)時(shí)上線代課時(shí)也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙，感覺這門課很難；但在考研備考時(shí)經(jīng)過(guò)這樣“抓本質(zhì)聯(lián)系”的復(fù)習(xí)后卻感覺線代部分反而是考研數(shù)學(xué)三科中最容易的。對(duì)于非齊次方程組來(lái)說(shuō)，其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯(lián)系：非齊次方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示。其實(shí)如果按照數(shù)學(xué)發(fā)展史的進(jìn)程來(lái)編制數(shù)學(xué)教科書的話，雖然邏輯性和系統(tǒng)性會(huì)不如現(xiàn)在的分章節(jié)教材，但肯定會(huì)大大方便學(xué)習(xí)者的理解和領(lǐng)悟，因?yàn)檫@更接近于人思維自然進(jìn)展的節(jié)奏，非常有利于學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)各種概念定理的來(lái)龍去脈，而“不明白自己學(xué)的到底是什么”正是很多同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)感到困惑的根源。向量就這樣被引入了，可能早期的數(shù)學(xué)家研究向量就是為了更好的研究解方程組的問(wèn)題。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、等的相關(guān)性質(zhì)，在下面對(duì)第二章的討論中會(huì)有小結(jié)。再如一個(gè)貌似考察向量組線性無(wú)關(guān)的題目，做起來(lái)以后才發(fā)現(xiàn)實(shí)際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣A可逆243。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。一元函數(shù)則無(wú)對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。多元復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)、則有。在由空間曲線方程求投影方程時(shí)，需要先從方程組中消去得到一個(gè)母線平行于軸的柱面方程；；再與聯(lián)立即可得投影方程。點(diǎn)法式（點(diǎn)為平面上已知點(diǎn)，為法矢量）可變形為，符合一般式的形式；截距式（為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距）可變形為，也符合一般式的形式。同理可對(duì)線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行判定。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時(shí)有以下兩種情況：1. 題目給出的函數(shù)至少有一個(gè)完整的周期，如圖則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問(wèn)題。由題目給出的冪級(jí)數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的冪級(jí)數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則應(yīng)該用公式4，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的變形變不掉階乘和；若題目給出的冪級(jí)數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則必從3兩式中選擇公式，其它情況也類似。所以這個(gè)式子最好記，以此為出發(fā)點(diǎn)看式子2：1式左端是，2式左端是；1式右端是，2式右端也僅僅是變成了交錯(cuò)級(jí)數(shù),故可以通過(guò)這種比較來(lái)記憶式子2；對(duì)于3式來(lái)說(shuō)，公式左端的與2式左端的存在著關(guān)系“”，故由的展開式可以推導(dǎo)出的展開式為。所以我們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)于具有“淺看復(fù)雜、深究簡(jiǎn)單、思路巧妙、出法靈活”的知識(shí)點(diǎn)要倍加注意，對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識(shí)點(diǎn)，更是要緊抓不放。所以考研真題中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）”。關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格：求平面圖形面積求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式）左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積已知平行截面面積求立體體積 求平面曲線的弧長(zhǎng) 高數(shù)第八章《無(wú)窮級(jí)數(shù)》本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級(jí)數(shù)斂散性”、“級(jí)數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開”。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來(lái)求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來(lái)獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的方法必須通過(guò)足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。2. 討論方程根的情況。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”，“求解貝努利方程就用變量替換”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、 ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。這是因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。希望這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟發(fā)。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。正方向入手時(shí)可能遇到的問(wèn)題有以下幾類：，難以從中找出有用的一個(gè)。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分的結(jié)果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，把它折彎后就是中的那個(gè)C,漏掉了C也就漏掉了這1分。在此只提醒一點(diǎn)：不定積分中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時(shí)如果在答案中少寫這個(gè)C會(huì)失一分。為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個(gè)方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。從出題人的角度來(lái)看，這是因?yàn)闆]能夠有效地從條件中獲取信息。綜上所述，針對(duì)包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時(shí)保持清醒理智，降低出錯(cuò)的可能”。對(duì)于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實(shí)踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對(duì)應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。對(duì)于型方程，就是先把當(dāng)作未知函數(shù)Z，則 原方程就化為 的一階方程形式，積分即得；再對(duì)、依次做上述處理即可求解； 叫不顯含 的二階方程，解法是通過(guò)變量替換 、 (p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令（但此中的p為y的函數(shù)），則，也可化為一階形式。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必要加深