【正文】 然涉及其它很多知識，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個“必考點”實際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點如曲線、曲面積分要容易的多，這一點也是前面說復(fù)習(xí)線代這門課很劃算的原因之一。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。3. 矩陣可相似對角化的條件。 其實本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪作為思路的起點，直接乘來求比較困難，但如果有矩陣使得滿足（對角陣）的話就簡單多了，因為此時，而對角陣的冪就等于代如上式即得。以上思路在本章的地位并不重要，因為與第三、四章知識點的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時這條思路一般不會被用到。在理年真題中本章知識點出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機變量及其分布》、第三章《隨機變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來復(fù)習(xí)時才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。對于其它的概率運算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過作圖來得到答案。這三個公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率減去發(fā)生而不發(fā)生的概率；（2）式表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率乘以在發(fā)生的條件下也發(fā)生的概率；當(dāng)、相互獨立時，也就是指事件與事件的發(fā)生互不影響，此時應(yīng)該有、所以由（2）式即可得出（3）式。而英國學(xué)生考“語文”時做的閱讀理解問題肯定要比我們遇到的題目要復(fù)雜深入的多——因為考察的重點不一樣。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對比、隨機變量分布和隨機變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。陳文燈復(fù)習(xí)指南第三章《隨機變量的數(shù)字特征》也是用表格說話的，同樣需要認(rèn)真記好。這三個“了解”在歷年真題中的體現(xiàn)就是本章內(nèi)容幾乎是不考的，只出現(xiàn)過直接考察公式定義的小題。所以花時間記住這幾個公式其實是比較劃算的，因為如果考試出一道有關(guān)的填空題，4分的得失將完全取決于記沒記住公式。通過以上的分析可以減少一些死記硬背的難度。概率這門課的全稱是概率論和數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)理統(tǒng)計是對概率論的實際應(yīng)用，而概率論則充當(dāng)了理論基礎(chǔ)的角色。分析理解一下概率論和數(shù)理統(tǒng)計的前后聯(lián)系可以起到“在大腦中進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮”的作用，而且這兩部分的題目應(yīng)該可以相互結(jié)合，從近年來的真題中可以隱隱約約感受到這種趨勢。1. 2 本題代表了考研真題對于像“旋轉(zhuǎn)曲面方程”這樣的知識點的普遍考察深度——主要就是一個公式（下面的填空題第4題也是這樣的例子）；但也不是僅僅考查一個求旋轉(zhuǎn)曲面的公式，而是引入了“用偏導(dǎo)數(shù)求法向量”這個點。1. 4本題主考的是公式，同時很自然地考到了多元函數(shù)求偏導(dǎo)。相比之下，一些市場上的模擬套題雖然也將幾個點放在一題中考查，但“編制工藝”要粗糙的多，常常有生拉硬湊的感覺。1. 5 各行元素之和均等于零的矩陣屬于特殊矩陣，做過一個這樣的題后如再見到“矩陣各行元素質(zhì)和均為零”就會想到對應(yīng)齊次方程有解。、低階、等價無窮小的定義式要避免混淆。3. 5 在秩的部分多記一些性質(zhì)、結(jié)論有時會很方便，比如本題用“”可迅速求解。，用到了六大公式、逐項積分和四則運算法則，其中需要注意的是對于級數(shù)四則運算法則的應(yīng)用。所以我們在做題時必須要有變形的意識，并不斷在做題中積累經(jīng)驗。主要應(yīng)用的是：，其中為二次型對應(yīng)矩陣的特征值；。十一. 這個題考查了期望、方差、協(xié)方差和隨機變量獨立性的判定，考查面很廣。5 1994年數(shù)學(xué)一評題1. 1本題是應(yīng)用等價無窮小代換球極限的好例子。1. 5本題題眼在于等于常數(shù)這一性質(zhì)，同類性質(zhì)我有一個小總結(jié)：，向量是n維列向量，則得到一個常數(shù)，簡稱“橫豎數(shù)”；b. 條件如上，得到一個矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個s維列向量，稱之為“陣豎數(shù)”。 陳文燈復(fù)習(xí)指南《向量》那一章引用本題作為一個例題，提供了兩種解法。五. 全微分方程是唯一有條件的常微分方程類型，其求解的公式不對稱容易記錯；除此之外本題還考查了二階常系數(shù)非齊次方程的解法。八. 求齊次線性方程組（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解可用以下三種方法：（Ⅱ）的通解后代入方程組（Ⅰ）得到公共解；（Ⅰ）與齊次方程（Ⅱ）的通解相等而得到公共解；，即，其解即為兩方程組的公共解。、協(xié)方差性質(zhì)及正態(tài)分布的獨立與不相關(guān)等價的性質(zhì)?！胺謩e服從正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布”叫做正態(tài)分布的可加性，二項分布和泊松分布也有類似性質(zhì)：若、且與相互獨立，則；若、且與相互獨立，則。這種題的題眼單一，比較典型，做兩次應(yīng)該就能記住了。 雖然本題的求解過程不算麻煩，但還是可以用試探法。同時還考了判定函數(shù)在某點連續(xù)性的方法“在處連續(xù)的充要條件是有”。這個小知識點在歷年真題中出現(xiàn)過不止一次，可以簡記為“左乘行變、右乘列變”以避免混淆，弄不清楚的時候還可以用簡單矩陣演算一下來確定。這些技巧在求解二重積分的題目中必有涉及，故本題可作為復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容時參考的典型題。同樣，在第2問中想到應(yīng)用輔助函數(shù)法也是建立在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上；不僅如此，在積累了一定的練習(xí)量之后應(yīng)該還能看出條件中的就是，也就是。十. ，但是如果按照題目“則的數(shù)學(xué)期望”的暗示，用求一維隨機變量函數(shù)分布的步驟求出的分布之后再求期望的話就上了出題人的當(dāng)；“”看起來也有點莫名其妙，很容易唬住人，但經(jīng)過冷靜分析就會發(fā)現(xiàn)考點其實就是概率部分的公式。95年這一年的概率部分考查了一、二、三章的內(nèi)容，沒有涉及數(shù)理統(tǒng)計。：原式；同時有原式。其它解法包括利用性質(zhì)“在矩陣可逆時有，在矩陣可逆時有”，因為題目中有，所以可逆，故；也可以利用性質(zhì)“矩陣右乘可逆矩陣等價于對其進(jìn)行一系列初等行變換”，而初等變換不改變矩陣的秩，故對矩陣來說有。這幾個題目所用知識點之間有相互聯(lián)系，但介于考試時的深度要求，沒有必要去一一推導(dǎo)，只用放在一起對比記憶即可——“全微分方程5式統(tǒng)一”：是函數(shù)的梯度243。 96年這套題整體風(fēng)格有點散亂，有的題出的并不慎重，與前幾年試卷的相似之處偏多，而本題的這種出法也有點無厘頭。八. 本題如果一見到條件“是維非零列向量，是的轉(zhuǎn)置”和就想到可能用上性質(zhì)“橫豎數(shù)、數(shù)橫陣”（，向量是n維列向量，則得到一個常數(shù)，簡稱“橫豎數(shù)”；b. 條件如上，得到一個矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個s維列向量，稱之為“陣豎數(shù)”）。解這兩個題的難點在于對| |號的處理，需要利用數(shù)學(xué)期望的定義式和定積分的對稱性來消絕對值號。8 1997年數(shù)學(xué)一評題 本題較有新意，通過題設(shè)條件中的極坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式導(dǎo)出曲線的參數(shù)方程，然后將求切線斜率轉(zhuǎn)化為對參數(shù)方程的求導(dǎo)。另一種解法是利用性質(zhì)“則有”。93年第十題第一小題是“一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為”同樣也可用這兩種方法求解。好題就是“做對了理直氣壯、問心無愧，做錯了也獲益匪淺、心服口服”的題；壞題給人的不良反應(yīng)常常是“做對了心存僥幸，做錯了也不服氣”、“不管做對做錯都?！岸瘮?shù)在某點處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點連續(xù)的“即非充分又非必要條件”也考察了二元函數(shù)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性無關(guān)的性質(zhì)。由此可見，對于矩陣秩部分多記一些性質(zhì)公式常常很好用，線代中其它知識點也存在類似的現(xiàn)象。 本題條件中有，故有（為的列向量），即的列向量是齊次線性方程組的解；同時條件中又指出是非零矩陣，故的列向量中必有非零向量，即必有非零解，其等價于。十一. 本題求的是兩個獨立同分布隨機變量的極大、極小值的聯(lián)合分布，屬于二維離散分布。本題第一問的問法“證明的充分條件是”不就是“若，試證明”嗎。 本題的形式比較新穎，考點是求多元符合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，具體是將、視為多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)的中間變量、為自變量，應(yīng)用多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)法則將、和轉(zhuǎn)化為、和的組合來求解。是全微分方程243?！?；98年的第四題利用一個向量為某二元函數(shù)的梯度的充要條件來引出；94年的第五題利用判定一個微分方程為全微分方程的的充要條件來引出。經(jīng)過類似的推理印證可以找出很多類似知識點之間的聯(lián)系，有時還能夠?qū)蓚€易混淆的點化為一個點來掌握，事半功倍。,其解法與本題基本相同。我們有必要對這些“出題技巧”有充分的心理準(zhǔn)備，或者，精讀《孫子兵法》。八. 本題考察了實對稱矩陣的相似對角化。貝努利方程的出現(xiàn)增加了一些難度，但只要辨明貝努利方程的形式以后就好辦了，出此之外本題的難度分布基本均勻。本題中的看似是二元函數(shù)的隱函數(shù)，但由于存在而實際上是關(guān)于的一元復(fù)合函數(shù)，方程兩邊同時對求導(dǎo)可得；函數(shù)是多元復(fù)合函數(shù)，對可求全導(dǎo)數(shù)。極限、連續(xù)和可導(dǎo)性的判定條件之間有混淆的可能，當(dāng)遇到分段函數(shù)時更容易弄錯，故有必要區(qū)分清楚。解選擇題時試探法應(yīng)該是當(dāng)之無愧的第一選擇，因為又快又保險。矢量數(shù)積滿足交換律、分配律和與數(shù)乘矢量的結(jié)合律，矢積與之不同之處是滿足反交換律，即、就是由這條特殊性質(zhì)推出的。這樣的x應(yīng)視為被積函數(shù)中的參數(shù)，而由于對變上限積分求導(dǎo)要求被積函數(shù)中不含參數(shù)，故須先通過變形將參數(shù)x轉(zhuǎn)移到積分上下限中或移到積分號之外。對于正態(tài)分布有下列性質(zhì)：若隨機變量分別服從正態(tài)分布、則服從二維正態(tài)分布，同時也服從正態(tài)分布，故上述三種分布其實是一回事，因為反過來也成立。、。六. 本題中由條件推出、其實對于任意a都有、在題目中出現(xiàn)類似形式時需想到這一點。三. 本題求參數(shù)方程的一、二階導(dǎo)數(shù)，在求解過程中使用了一些常用技巧，如將變形為，則有、。 本題有明顯的誤導(dǎo)傾向，一元函數(shù)有性質(zhì)“可導(dǎo)一定連續(xù)、連續(xù)不一定可導(dǎo)”，而對于二元函數(shù)來說連續(xù)性與可偏導(dǎo)性之間沒有任何聯(lián)系。另外，看起來很容易拆開變?yōu)?，但?jīng)驗告訴我們，看起來越好拆的就越不能拆，起碼也要先試試不拆能否做出來，因為考研題很多都有誤導(dǎo)傾向。證與相互獨立有以下等價條件：；；；。 十. ，可直接應(yīng)用“抽簽原理”：若共有a支簽，其中b支是好簽，則任意抽取不放回時抽到好簽的概率與抽簽的先后次序無關(guān)，都等于b/a。七. 線代部分出題的特點是“深度不大但涉及知識點多，思路簡單但十分靈活”。因為出題老師編制題目時，在加入各種考點并使題目基本成型后往往還要通過四則運算來使題目形式變得更為復(fù)雜。，第1小題是冪指函數(shù)求極限，方法固定；第2小題的題眼在于變量替換“”，類似的題目都需使用這樣的代換；第3小題主考知識點是伯努利方程，將其轉(zhuǎn)化為一階線性方程后按照“辨明類型——〉套用求解方法”的流程操作就行了。本題如果直接做的話比較復(fù)雜，需求偏導(dǎo)和求解微分方程，但是如果在由條件“積分與路徑無關(guān)”得到后就運用試探法，很容易就能試出只有B項能使等式成立。 本題考查的是無窮小量定義、變上限積分求導(dǎo)、洛必達(dá)法則三個知識點，從中可有收獲：，因為出題人不避諱在同一張試卷上出到幾次；求導(dǎo)時抓住公式即可：、?；旧吓c本題是一個題。這樣的點是“重點”范圍外的偏僻知識點，但正如前面討論“重點問題”時分析的那樣，這樣的非重點復(fù)習(xí)起來卻是非常劃算的，因為記住一個公式就能保證拿到一道填空題或選擇題的4分，而在重點內(nèi)容上花費很多功夫也未必能從大題中輕而易舉地拿到同樣的4分；特點之二是堅決不單獨考查一個公式，而是將其它知識點巧妙編制在題目中，這也正是考研試題不同于一般練習(xí)題的地方。1. 3 本題主考知識點是付立葉級數(shù)的系數(shù)公式，在求解過程中若用到定積分的對稱性可大大方便求解。除求導(dǎo)外，還常用到性質(zhì)，另有不常用的性質(zhì)：，且，則也是以為周期的周期函數(shù)；\偶函數(shù)，則為偶\奇函數(shù)。其實，數(shù)理統(tǒng)計就是一個先對隨機變量做實際觀測得到一系列具體數(shù)據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣本均值、方差等統(tǒng)計量，在此基礎(chǔ)上利用參數(shù)估計等方法推斷出隨機變量整體分布和數(shù)學(xué)特征的過程。對于參數(shù)估計部分，需要記清楚據(jù)估計和極大似然估計各自的步驟，然后通過足量做題來熟練掌握；對于樣本與抽樣分布，重要的是分布、t分布和F分布各自的條件和結(jié)論公式 ，在歷年真題中考察過； 對于假設(shè)檢驗，大綱要求為：“，掌握假設(shè)檢驗的基本步驟，了解假設(shè)檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤”。從另一方面說，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨立同分布且存在數(shù)學(xué)期望的條件下若干隨機變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。即便如此，以上的信息也還是不能成為放棄這一章的理由，因為對于這樣“又難、大綱要求又低”的知識點考試時出題的深度也會是最淺的。還有數(shù)學(xué)期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點，可由下表對比記憶：數(shù)學(xué)期望方差 （連續(xù)型） 若、相互獨立，則有、（歷年真題不止一次利用這個點作為填空和選擇題中的小陷阱，因為一不留神就會寫成，正如一樣，但實際上）若、相互獨立，則有無對應(yīng)性質(zhì)若、相互獨立則同時具有以下4條性質(zhì)：1. . 4. ，利用各式定義可以推導(dǎo)出來。本章的一維連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高，最?？挤植际蔷鶆颉⒅笖?shù)和正態(tài)分布。陳文燈復(fù)習(xí)指南概率第二、三章把知識點列成了大表格，所有東西一目了然，復(fù)習(xí)時用來記憶和對比很方便。 第二章《隨機變量及其分布》、第三章《隨機變量的數(shù)字特征》、第四章《大數(shù)定律和中心極限定理》對于這一部分的復(fù)習(xí)可說的東西不多，因為在考試中出現(xiàn)的概率題目其實有相當(dāng)大一部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走”了，既然理解、掌握和牢記公式本身就不容易，那么題目的結(jié)構(gòu)相對而言就要簡單一些，我們甚至?xí)l(fā)現(xiàn)歷年真題中的有的題就像是課本上的例題一樣。區(qū)別互斥、互逆、對立與不相容：事件與事件互斥也叫與不相容，即，事件與事件對立就是與互逆，即為與的關(guān)系。在“概率事件的關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比如事件若與事件有包含關(guān)系，則可作圖長方形內(nèi)的點都屬于的范圍，圓形則代表的范