【正文】 然涉及其它很多知識(shí)，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個(gè)“必考點(diǎn)”實(shí)際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點(diǎn)如曲線、曲面積分要容易的多，這一點(diǎn)也是前面說(shuō)復(fù)習(xí)線代這門(mén)課很劃算的原因之一。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。3. 矩陣可相似對(duì)角化的條件。 其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類(lèi)似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪作為思路的起點(diǎn)，直接乘來(lái)求比較困難，但如果有矩陣使得滿(mǎn)足（對(duì)角陣）的話就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)，而對(duì)角陣的冪就等于代如上式即得。以上思路在本章的地位并不重要，因?yàn)榕c第三、四章知識(shí)點(diǎn)的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時(shí)這條思路一般不會(huì)被用到。在理年真題中本章知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過(guò)大題。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時(shí)甚至被忽略。記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》中在每章開(kāi)始列出的那些大表格時(shí)，感覺(jué)其中必然會(huì)有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來(lái)復(fù)習(xí)時(shí)才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。雖然對(duì)于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時(shí)難題很少。對(duì)于其它的概率運(yùn)算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過(guò)作圖來(lái)得到答案。這三個(gè)公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件、同時(shí)發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率減去發(fā)生而不發(fā)生的概率；（2）式表示事件、同時(shí)發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率乘以在發(fā)生的條件下也發(fā)生的概率；當(dāng)、相互獨(dú)立時(shí)，也就是指事件與事件的發(fā)生互不影響，此時(shí)應(yīng)該有、所以由（2）式即可得出（3）式。而英國(guó)學(xué)生考“語(yǔ)文”時(shí)做的閱讀理解問(wèn)題肯定要比我們遇到的題目要復(fù)雜深入的多——因?yàn)榭疾斓闹攸c(diǎn)不一樣。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對(duì)比、隨機(jī)變量分布和隨機(jī)變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。陳文燈復(fù)習(xí)指南第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》也是用表格說(shuō)話的，同樣需要認(rèn)真記好。這三個(gè)“了解”在歷年真題中的體現(xiàn)就是本章內(nèi)容幾乎是不考的，只出現(xiàn)過(guò)直接考察公式定義的小題。所以花時(shí)間記住這幾個(gè)公式其實(shí)是比較劃算的，因?yàn)槿绻荚嚦鲆坏烙嘘P(guān)的填空題，4分的得失將完全取決于記沒(méi)記住公式。通過(guò)以上的分析可以減少一些死記硬背的難度。概率這門(mén)課的全稱(chēng)是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)概率論的實(shí)際應(yīng)用，而概率論則充當(dāng)了理論基礎(chǔ)的角色。分析理解一下概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的前后聯(lián)系可以起到“在大腦中進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮”的作用，而且這兩部分的題目應(yīng)該可以相互結(jié)合，從近年來(lái)的真題中可以隱隱約約感受到這種趨勢(shì)。1. 2 本題代表了考研真題對(duì)于像“旋轉(zhuǎn)曲面方程”這樣的知識(shí)點(diǎn)的普遍考察深度——主要就是一個(gè)公式（下面的填空題第4題也是這樣的例子）；但也不是僅僅考查一個(gè)求旋轉(zhuǎn)曲面的公式，而是引入了“用偏導(dǎo)數(shù)求法向量”這個(gè)點(diǎn)。1. 4本題主考的是公式，同時(shí)很自然地考到了多元函數(shù)求偏導(dǎo)。相比之下，一些市場(chǎng)上的模擬套題雖然也將幾個(gè)點(diǎn)放在一題中考查，但“編制工藝”要粗糙的多，常常有生拉硬湊的感覺(jué)。1. 5 各行元素之和均等于零的矩陣屬于特殊矩陣，做過(guò)一個(gè)這樣的題后如再見(jiàn)到“矩陣各行元素質(zhì)和均為零”就會(huì)想到對(duì)應(yīng)齊次方程有解。、低階、等價(jià)無(wú)窮小的定義式要避免混淆。3. 5 在秩的部分多記一些性質(zhì)、結(jié)論有時(shí)會(huì)很方便，比如本題用“”可迅速求解。，用到了六大公式、逐項(xiàng)積分和四則運(yùn)算法則，其中需要注意的是對(duì)于級(jí)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用。所以我們?cè)谧鲱}時(shí)必須要有變形的意識(shí)，并不斷在做題中積累經(jīng)驗(yàn)。主要應(yīng)用的是：，其中為二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值；。十一. 這個(gè)題考查了期望、方差、協(xié)方差和隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定，考查面很廣。5 1994年數(shù)學(xué)一評(píng)題1. 1本題是應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換球極限的好例子。1. 5本題題眼在于等于常數(shù)這一性質(zhì)，同類(lèi)性質(zhì)我有一個(gè)小總結(jié)：，向量是n維列向量，則得到一個(gè)常數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)“橫豎數(shù)”；b. 條件如上，得到一個(gè)矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個(gè)s維列向量，稱(chēng)之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個(gè)s維列向量，稱(chēng)之為“陣豎數(shù)”。 陳文燈復(fù)習(xí)指南《向量》那一章引用本題作為一個(gè)例題，提供了兩種解法。五. 全微分方程是唯一有條件的常微分方程類(lèi)型，其求解的公式不對(duì)稱(chēng)容易記錯(cuò)；除此之外本題還考查了二階常系數(shù)非齊次方程的解法。八. 求齊次線性方程組（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解可用以下三種方法：（Ⅱ）的通解后代入方程組（Ⅰ）得到公共解；（Ⅰ）與齊次方程（Ⅱ）的通解相等而得到公共解；，即，其解即為兩方程組的公共解。、協(xié)方差性質(zhì)及正態(tài)分布的獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)的性質(zhì)?！胺謩e服從正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布”叫做正態(tài)分布的可加性，二項(xiàng)分布和泊松分布也有類(lèi)似性質(zhì)：若、且與相互獨(dú)立，則；若、且與相互獨(dú)立，則。這種題的題眼單一，比較典型，做兩次應(yīng)該就能記住了。 雖然本題的求解過(guò)程不算麻煩，但還是可以用試探法。同時(shí)還考了判定函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)性的方法“在處連續(xù)的充要條件是有”。這個(gè)小知識(shí)點(diǎn)在歷年真題中出現(xiàn)過(guò)不止一次，可以簡(jiǎn)記為“左乘行變、右乘列變”以避免混淆，弄不清楚的時(shí)候還可以用簡(jiǎn)單矩陣演算一下來(lái)確定。這些技巧在求解二重積分的題目中必有涉及，故本題可作為復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)參考的典型題。同樣，在第2問(wèn)中想到應(yīng)用輔助函數(shù)法也是建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上；不僅如此，在積累了一定的練習(xí)量之后應(yīng)該還能看出條件中的就是，也就是。十. ，但是如果按照題目“則的數(shù)學(xué)期望”的暗示，用求一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的步驟求出的分布之后再求期望的話就上了出題人的當(dāng)；“”看起來(lái)也有點(diǎn)莫名其妙，很容易唬住人，但經(jīng)過(guò)冷靜分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)考點(diǎn)其實(shí)就是概率部分的公式。95年這一年的概率部分考查了一、二、三章的內(nèi)容，沒(méi)有涉及數(shù)理統(tǒng)計(jì)。：原式；同時(shí)有原式。其它解法包括利用性質(zhì)“在矩陣可逆時(shí)有，在矩陣可逆時(shí)有”，因?yàn)轭}目中有，所以可逆，故；也可以利用性質(zhì)“矩陣右乘可逆矩陣等價(jià)于對(duì)其進(jìn)行一系列初等行變換”，而初等變換不改變矩陣的秩，故對(duì)矩陣來(lái)說(shuō)有。這幾個(gè)題目所用知識(shí)點(diǎn)之間有相互聯(lián)系，但介于考試時(shí)的深度要求，沒(méi)有必要去一一推導(dǎo)，只用放在一起對(duì)比記憶即可——“全微分方程5式統(tǒng)一”：是函數(shù)的梯度243。 96年這套題整體風(fēng)格有點(diǎn)散亂，有的題出的并不慎重，與前幾年試卷的相似之處偏多，而本題的這種出法也有點(diǎn)無(wú)厘頭。八. 本題如果一見(jiàn)到條件“是維非零列向量，是的轉(zhuǎn)置”和就想到可能用上性質(zhì)“橫豎數(shù)、數(shù)橫陣”（，向量是n維列向量，則得到一個(gè)常數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)“橫豎數(shù)”；b. 條件如上，得到一個(gè)矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個(gè)s維列向量，稱(chēng)之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個(gè)s維列向量，稱(chēng)之為“陣豎數(shù)”）。解這兩個(gè)題的難點(diǎn)在于對(duì)| |號(hào)的處理，需要利用數(shù)學(xué)期望的定義式和定積分的對(duì)稱(chēng)性來(lái)消絕對(duì)值號(hào)。8 1997年數(shù)學(xué)一評(píng)題 本題較有新意，通過(guò)題設(shè)條件中的極坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式導(dǎo)出曲線的參數(shù)方程，然后將求切線斜率轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)方程的求導(dǎo)。另一種解法是利用性質(zhì)“則有”。93年第十題第一小題是“一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為”同樣也可用這兩種方法求解。好題就是“做對(duì)了理直氣壯、問(wèn)心無(wú)愧，做錯(cuò)了也獲益匪淺、心服口服”的題；壞題給人的不良反應(yīng)常常是“做對(duì)了心存僥幸，做錯(cuò)了也不服氣”、“不管做對(duì)做錯(cuò)都?！岸瘮?shù)在某點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)連續(xù)的“即非充分又非必要條件”也考察了二元函數(shù)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性無(wú)關(guān)的性質(zhì)。由此可見(jiàn)，對(duì)于矩陣秩部分多記一些性質(zhì)公式常常很好用，線代中其它知識(shí)點(diǎn)也存在類(lèi)似的現(xiàn)象。 本題條件中有，故有（為的列向量），即的列向量是齊次線性方程組的解；同時(shí)條件中又指出是非零矩陣，故的列向量中必有非零向量，即必有非零解，其等價(jià)于。十一. 本題求的是兩個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的極大、極小值的聯(lián)合分布，屬于二維離散分布。本題第一問(wèn)的問(wèn)法“證明的充分條件是”不就是“若，試證明”嗎。 本題的形式比較新穎，考點(diǎn)是求多元符合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，具體是將、視為多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)的中間變量、為自變量，應(yīng)用多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)法則將、和轉(zhuǎn)化為、和的組合來(lái)求解。是全微分方程243。”；98年的第四題利用一個(gè)向量為某二元函數(shù)的梯度的充要條件來(lái)引出；94年的第五題利用判定一個(gè)微分方程為全微分方程的的充要條件來(lái)引出。經(jīng)過(guò)類(lèi)似的推理印證可以找出很多類(lèi)似知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，有時(shí)還能夠?qū)蓚€(gè)易混淆的點(diǎn)化為一個(gè)點(diǎn)來(lái)掌握，事半功倍。,其解法與本題基本相同。我們有必要對(duì)這些“出題技巧”有充分的心理準(zhǔn)備，或者，精讀《孫子兵法》。八. 本題考察了實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化。貝努利方程的出現(xiàn)增加了一些難度，但只要辨明貝努利方程的形式以后就好辦了，出此之外本題的難度分布基本均勻。本題中的看似是二元函數(shù)的隱函數(shù)，但由于存在而實(shí)際上是關(guān)于的一元復(fù)合函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)可得；函數(shù)是多元復(fù)合函數(shù)，對(duì)可求全導(dǎo)數(shù)。極限、連續(xù)和可導(dǎo)性的判定條件之間有混淆的可能，當(dāng)遇到分段函數(shù)時(shí)更容易弄錯(cuò)，故有必要區(qū)分清楚。解選擇題時(shí)試探法應(yīng)該是當(dāng)之無(wú)愧的第一選擇，因?yàn)橛挚煊直ｋU(xiǎn)。矢量數(shù)積滿(mǎn)足交換律、分配律和與數(shù)乘矢量的結(jié)合律，矢積與之不同之處是滿(mǎn)足反交換律，即、就是由這條特殊性質(zhì)推出的。這樣的x應(yīng)視為被積函數(shù)中的參數(shù)，而由于對(duì)變上限積分求導(dǎo)要求被積函數(shù)中不含參數(shù)，故須先通過(guò)變形將參數(shù)x轉(zhuǎn)移到積分上下限中或移到積分號(hào)之外。對(duì)于正態(tài)分布有下列性質(zhì)：若隨機(jī)變量分別服從正態(tài)分布、則服從二維正態(tài)分布，同時(shí)也服從正態(tài)分布，故上述三種分布其實(shí)是一回事，因?yàn)榉催^(guò)來(lái)也成立。、。六. 本題中由條件推出、其實(shí)對(duì)于任意a都有、在題目中出現(xiàn)類(lèi)似形式時(shí)需想到這一點(diǎn)。三. 本題求參數(shù)方程的一、二階導(dǎo)數(shù)，在求解過(guò)程中使用了一些常用技巧，如將變形為，則有、。 本題有明顯的誤導(dǎo)傾向，一元函數(shù)有性質(zhì)“可導(dǎo)一定連續(xù)、連續(xù)不一定可導(dǎo)”，而對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)連續(xù)性與可偏導(dǎo)性之間沒(méi)有任何聯(lián)系。另外，看起來(lái)很容易拆開(kāi)變?yōu)?，但?jīng)驗(yàn)告訴我們，看起來(lái)越好拆的就越不能拆，起碼也要先試試不拆能否做出來(lái)，因?yàn)榭佳蓄}很多都有誤導(dǎo)傾向。證與相互獨(dú)立有以下等價(jià)條件：；；；。 十. ，可直接應(yīng)用“抽簽原理”：若共有a支簽，其中b支是好簽，則任意抽取不放回時(shí)抽到好簽的概率與抽簽的先后次序無(wú)關(guān)，都等于b/a。七. 線代部分出題的特點(diǎn)是“深度不大但涉及知識(shí)點(diǎn)多，思路簡(jiǎn)單但十分靈活”。因?yàn)槌鲱}老師編制題目時(shí)，在加入各種考點(diǎn)并使題目基本成型后往往還要通過(guò)四則運(yùn)算來(lái)使題目形式變得更為復(fù)雜。，第1小題是冪指函數(shù)求極限，方法固定；第2小題的題眼在于變量替換“”，類(lèi)似的題目都需使用這樣的代換；第3小題主考知識(shí)點(diǎn)是伯努利方程，將其轉(zhuǎn)化為一階線性方程后按照“辨明類(lèi)型——〉套用求解方法”的流程操作就行了。本題如果直接做的話比較復(fù)雜，需求偏導(dǎo)和求解微分方程，但是如果在由條件“積分與路徑無(wú)關(guān)”得到后就運(yùn)用試探法，很容易就能試出只有B項(xiàng)能使等式成立。 本題考查的是無(wú)窮小量定義、變上限積分求導(dǎo)、洛必達(dá)法則三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從中可有收獲：，因?yàn)槌鲱}人不避諱在同一張?jiān)嚲砩铣龅綆状?；求?dǎo)時(shí)抓住公式即可：、?；旧吓c本題是一個(gè)題。這樣的點(diǎn)是“重點(diǎn)”范圍外的偏僻知識(shí)點(diǎn)，但正如前面討論“重點(diǎn)問(wèn)題”時(shí)分析的那樣，這樣的非重點(diǎn)復(fù)習(xí)起來(lái)卻是非常劃算的，因?yàn)橛涀∫粋€(gè)公式就能保證拿到一道填空題或選擇題的4分，而在重點(diǎn)內(nèi)容上花費(fèi)很多功夫也未必能從大題中輕而易舉地拿到同樣的4分；特點(diǎn)之二是堅(jiān)決不單獨(dú)考查一個(gè)公式，而是將其它知識(shí)點(diǎn)巧妙編制在題目中，這也正是考研試題不同于一般練習(xí)題的地方。1. 3 本題主考知識(shí)點(diǎn)是付立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式，在求解過(guò)程中若用到定積分的對(duì)稱(chēng)性可大大方便求解。除求導(dǎo)外，還常用到性質(zhì)，另有不常用的性質(zhì)：，且，則也是以為周期的周期函數(shù)；\偶函數(shù)，則為偶\奇函數(shù)。其實(shí)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)先對(duì)隨機(jī)變量做實(shí)際觀測(cè)得到一系列具體數(shù)據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣本均值、方差等統(tǒng)計(jì)量，在此基礎(chǔ)上利用參數(shù)估計(jì)等方法推斷出隨機(jī)變量整體分布和數(shù)學(xué)特征的過(guò)程。對(duì)于參數(shù)估計(jì)部分，需要記清楚據(jù)估計(jì)和極大似然估計(jì)各自的步驟，然后通過(guò)足量做題來(lái)熟練掌握；對(duì)于樣本與抽樣分布，重要的是分布、t分布和F分布各自的條件和結(jié)論公式 ，在歷年真題中考察過(guò)； 對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)，大綱要求為：“，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類(lèi)錯(cuò)誤”。從另一方面說(shuō)，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨(dú)立同分布且存在數(shù)學(xué)期望的條件下若干隨機(jī)變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。即便如此，以上的信息也還是不能成為放棄這一章的理由，因?yàn)閷?duì)于這樣“又難、大綱要求又低”的知識(shí)點(diǎn)考試時(shí)出題的深度也會(huì)是最淺的。還有數(shù)學(xué)期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點(diǎn)，可由下表對(duì)比記憶：數(shù)學(xué)期望方差 （連續(xù)型） 若、相互獨(dú)立，則有、（歷年真題不止一次利用這個(gè)點(diǎn)作為填空和選擇題中的小陷阱，因?yàn)橐徊涣羯窬蜁?huì)寫(xiě)成，正如一樣，但實(shí)際上）若、相互獨(dú)立，則有無(wú)對(duì)應(yīng)性質(zhì)若、相互獨(dú)立則同時(shí)具有以下4條性質(zhì)：1. . 4. ，利用各式定義可以推導(dǎo)出來(lái)。本章的一維連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高，最常考分布是均勻、指數(shù)和正態(tài)分布。陳文燈復(fù)習(xí)指南概率第二、三章把知識(shí)點(diǎn)列成了大表格，所有東西一目了然，復(fù)習(xí)時(shí)用來(lái)記憶和對(duì)比很方便。 第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》、第四章《大數(shù)定律和中心極限定理》對(duì)于這一部分的復(fù)習(xí)可說(shuō)的東西不多，因?yàn)樵诳荚囍谐霈F(xiàn)的概率題目其實(shí)有相當(dāng)大一部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走”了，既然理解、掌握和牢記公式本身就不容易，那么題目的結(jié)構(gòu)相對(duì)而言就要簡(jiǎn)單一些，我們甚至?xí)l(fā)現(xiàn)歷年真題中的有的題就像是課本上的例題一樣。區(qū)別互斥、互逆、對(duì)立與不相容：事件與事件互斥也叫與不相容，即，事件與事件對(duì)立就是與互逆，即為與的關(guān)系。在“概率事件的關(guān)系及運(yùn)算”部分有很多公式可以借助畫(huà)集合運(yùn)算圖來(lái)輔助做題，比如事件若與事件有包含關(guān)系，則可作圖長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn)都屬于的范圍，圓形則代表的范