【正文】 ? 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 13 例 2．設(shè) 0?a ， 1?r ，當(dāng) ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： ? ? rarraarara nnnn ????????????? 111limlim 1? 特例（ 1）求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232lim 132 ? 解：例 2 中取 32?a ， 32??r ，可知原式5232132?????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 例 4．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 特例：（ 1） ? ? 111lim 1 ?????? nkn kk （ 2） ? ?4321lim 1 ?????? nkn kk 例 5．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ?? ????? ??nkn lkklkl1 222lim 特例：（ 1?l ） ? ? 1112lim 1 22 ???????nkn kkk （ 2?l ） ? ?? ?452112222lim 21 22 ????????? nkn kk k 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 14 例 6．設(shè) 0?d 為常數(shù)，求 ? ? ?????? ???????? 222 1111lim n dnn dnn ? 例 7．求下列各極限 （ 1） x xxx????11lim0 （ 2） x xxx33011lim ???? （ 3）xx xxx ??? ???? 11 11lim330 （ 4） ? ?xxxxx 3lim 22 ?????? 二．用兩個(gè)重要公式 例 1．求 xxx ?? ?? sinlim 例 2．求 ? ?xx xxx c os1 s in1t a n1lim0 ? ???? 解一：原式 ? ? ? ?? ?? ?xxxx xxx s in1t a n1c o s1 1s in1t a nlim 0 ???? ???? ? ? ?? ?21t anlim21co s1 co s1t anlim21 00 ??? ?? ?? x xxx xx xx 解二：原式 ? ? ? ?? ? ? ?xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3．求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4．求下列極限 （ 1） 1021lim ??? ?????? ? xx x （ 2） xx xx 10 11lim ?????? ??? （ 3） xx xx ?????? ???? 11lim （ 4） 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 15 例 5．求下列極限 （ 1） ? ? xx x cottan1lim ??? （ 2） 141lim ?? xx x （ 3） ? ? xx x 2cot0 coslim? （ 4） ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 例 2．求?????????????? xxeexxxs in12lim410 七．求極限的反問題 例 1．設(shè) ? ? 31s inlim 221 ????? xbaxxx 求 a 和 b 例 2．設(shè) 1s in1lim 0 20 ??? ?? xx dttatxbx，求 a 和 b 。 定義 2．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi) 有定義，如果當(dāng) 0xx? 時(shí)，函數(shù) ??xf 的極限值存在，且等于 0x 處的函數(shù)值 ? ?0xf ，即 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，此時(shí)有 ? ? ? ? ? ?000 limlim xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 并且有 ? ? ? ? ? ?00 limlim 0 xxxx xfxfxf ?? ?? 即如果函數(shù)在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，則在點(diǎn) 0x 處可以交換極限號(hào)和函數(shù)號(hào)的順序。 如果 ? ?xfy? 在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn) a 右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn) b 左連續(xù)，則稱 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。 三．初等函數(shù)的連續(xù)性 1．在區(qū)間 I 連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間 I 仍是連續(xù)的。 5．初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M和最小值 m 。對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。 二．已知函數(shù)的連 續(xù)性求未知參數(shù) 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 22 例 1．設(shè) ? ?????????0 0s inxkxx xxf 在 0?x 處連續(xù) 求常數(shù) k 例 2．如果函數(shù) ? ?????????????0 1s in0 0 s in1xqxxxpxxxxf 在 0?x 處連續(xù)，求常數(shù) p 和 q 。 當(dāng) 0?x 時(shí)，由于 1tanlim0 ?? xxx，所以 0?x 是第一類間斷點(diǎn)，且是可去間斷點(diǎn)。 例 1．求 ? ?xx sin2lnlim2 ??? 解： ? ?xsin2ln ? 是初等函數(shù)， 2??x 是它的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，所以 ? ? 3ln2s in2lns in2lnlim 2 ??????? ???? ?? xx 2．如果 ? ? axgxx ?? 0lim，而函數(shù) ? ?ufy? 在點(diǎn) au? 連續(xù)， 則 ? ?? ? ? ? ? ?afxgfxgfxxxx ???????? ?? 00 limlim 例 2．求 ??????? x xx sinarctanlim0 解：因 1sinlim0 ?? xxx，而函數(shù) uy arctan? 在點(diǎn) 1?u 連續(xù)，所以 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 24 41a r c ta ns i nlima r c ta ns i na r c ta nlim 00 ???????????????? ?? x xx x xx 例 3．求 xxx12lim0?? 例 4．設(shè) ??xf 在 2?x 處連續(xù)，且 ? ? 32 ?f ，求 ? ? ?????? ???? 4421lim 22 xxxfx 五．利用介值定理的推論判斷方程的根 例 1．證明五次代數(shù)方程 0155 ??? xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內(nèi)至少有一個(gè)根。 并稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)。 2．導(dǎo)數(shù)的 幾何意義與物理意義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處導(dǎo)數(shù) ? ?0xf? 存在，則在幾何上 ? ?0xf? 表示曲線 ? ?xfy ? 在點(diǎn) ? ?? ?00, xfx 處的切線的斜率。 4．微分的定 義 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處有增量 x? 時(shí)，如果函數(shù)的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 有下面的表達(dá)式 ? ? ? ?xxxAy ????? 00 ? ?0??x 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 26 其中 ? ?0xA 為與 x? 無(wú)關(guān)， ? ?x?0 是 0??x 時(shí)比 x? 高階的無(wú)窮小。 且 ? ? ? ?dxxfxxAxxdy 000 ????? 一般地， ? ?xfy? 則 ? ?dxxfdy ?? 所以導(dǎo)數(shù) ? ? dxdyxf ?? 也稱為微商，就是微分之商的含義。因此稱為一階微分形式不變性。 乙 典型例題 一．用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 例 1．設(shè) ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在點(diǎn) a 處連續(xù)，求 ??af? 。（見上圖） 例 2．討論函數(shù) ? ? 3 2?? xxf 在點(diǎn) 2?x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 例 6．設(shè) ? ???????????,0 ,0 ,0,0 ,22xexxexfxx ? ? ? ?dttfxxF???? 0，求 ??xF? 。 有一些常用的初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)公式 （ 1） xey? ? ? xn ey ? （ 2） ? ?1,0 ??? aaay x ? ? ? ?nxn aay ln? （ 3） xy sin? ? ? ??????。 例 2．求下列函數(shù)的微分 （ 1） xey x sin2? ； （ 2） x xxy sincotln ?? ； （ 3） 1lna r c ta n 22 ??? xxy 。 例 4．設(shè) ? ? ? ?? ? 1lim 112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf 問 a 和 b 為何值時(shí)， ??xf 可導(dǎo)，且求 ??xf? 。 二．分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 31 例 1．討論函數(shù) ? ? ??? ?????? 00xx xxxxfy 在 00?x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于： ①冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù) ②多個(gè)函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù) 關(guān)于冪指函數(shù) ? ?? ? ? ?xgxfy? 常用的一種方法 ? ? ? ?xfxgey ln? 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。 如果 ? ?xfy? 的 1?n 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為 ? ?xfy? 的 n 階導(dǎo)數(shù)記以 ??ny ， ? ???xf n ，nndxyd 等，這時(shí)也稱? ?xfy? 是 n 階可導(dǎo)。 5．微分的幾何意義 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 是曲線 ? ?fy? 在點(diǎn) 0x 處相應(yīng)于自變量增量 x? 的縱坐標(biāo) ? ?0xf 的增量，微分0xxdy ? 是曲線 ? ?xfy? 在點(diǎn) ? ?? ?000 , xfxM 處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見圖）。 3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)