【正文】 4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%89/2020%E5%B9%B4%E8%80%83%E7%A0%94%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%89%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC%88%E6%89%93%E5%BC%80%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%98%AF%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC% 2020 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 三 試題 一、選擇題： 1～ 8 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在 答題紙 ． ． ． 指定位置上 . （ 1） 曲線 22 1xxy x ?? ?漸近線的條數(shù)為（） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 2） 設(shè)函數(shù) 2( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )x x n xf x e e e n? ? ? ?，其中 n 為正整數(shù)，則 39。 （ 14） 設(shè) ,ABC 是隨機(jī)事件， ,AC互不相容， 1()2P AB ?, 1()3PC?,則()P ABC? ? ________。 3）求總產(chǎn)量為 50 件時(shí)且總成本最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。 ??? xfxfxf 及xexfxf 2)()(39。 （ 22） （ 本題滿分 10 分） 已知隨機(jī)變量 ,XY以及 XY 的分布律如下表所示， X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（ 1） ? ?2P X Y? ； （ 2） ? ?cov ,X Y Y? 與 XY? . （ 23） （ 本題滿分 10 分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布，? ? ? ?m i n , , m a x ,V X Y U X Y??. 求（ 1）隨機(jī)變量 V 的概率密度； （ 2） ? ?EU V? . 以下是答案 。 （ 21）（ 本題滿分 10 分） 三階矩陣 1 0 10 1 110Aa????????， TA 為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置，已知 ( ) 2Tr A A ? ，且二次型 TTf x A Ax? 。39。 （ 17） （ 本題滿分 10 分）某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的產(chǎn)品，投入的固定成本為 10000（萬(wàn)元） ，設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x（件）和（ y 件），且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為 220x? （萬(wàn)元 /件）與 y?6 （萬(wàn)元 /件）。 （ 10） 設(shè)函數(shù) ? ?l n , 1( ) , ( )2 1 , 1xxf x y f f xxx? ?????????，求0xdydx?________。 求： (Ⅰ )求 a ； (Ⅱ )將 1? ， 2? ， 3? 由 1? ， 2? ， 3? 線性表出 . (21) (本題滿分 11 分 ) 已知 A 為三階實(shí)矩陣， ( ) 2RA? ，且 1 1 1 10 0 0 01 1 1 1A?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， 求： (Ⅰ ) 求 A 的特征值與特征向量； (Ⅱ ) 求 A (22) (本題滿分 11 分 ) 已知 X ， Y 的概率分布如下： X 0 1 Y 1 0 1 P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3 且 22P( ) 1XY??， 求： (Ⅰ )()XY， 的分布； (Ⅱ )Z XY? 的分布； (Ⅲ ) XY? . (23) (本題滿分 11 分 ) 設(shè) ( , )XY 在 G 上服從均勻分布， G 由 0xy??， 2xy??與 0y? 圍成。求 2 (1,1)|zxy??? . (17) (本題滿分 10 分 ) 求 arcsin lnxxdxx ?? (18) (本題滿分 10分 ) 證明 44 a r c t a n 3 03xx ?? ? ? ?恰有 2實(shí)根。(0)f (D) 0 (3) 設(shè) ??nu 是數(shù)列，則下列命題正確的是 (A) 若1 nn u???收斂，則2 1 21 ()nnn uu??? ??收斂 (B) 若2 1 21 ()nnn uu??? ??收斂，則1 nn u???收斂 (C) 若1 nn u???收斂，則2 1 21 ()nnn uu??? ??收斂 (D) 若2 1 21 ()nnn uu??? ??收斂，則1 nn u???收斂 (4) 設(shè) 40 ln(sin )I x dx??? , 40 ln(cot )J x dx??? , 40 ln(cos )K x dx?? ? 則 I ,J ,K 的大小關(guān)系是 (A) I J K?? (B) I K J?? (C) J I K?? (D) K J I?? (5) 設(shè) A 為 3階矩陣，將 A 的第 2列加到第 1 列得矩陣 B ，再交換 B 的第 2 行與第 3行得單位矩陣記為11 0 01 1 00 0 1P???????，21 0 00 0 10 1 0P???????，則 A? (A) 12PP (B) 112PP? (C) 21PP (D) 121PP? (6) 設(shè) A 為 43? 矩陣 ,1? , 2? , 3? 是非齊 次線性方程組 Ax?? 的 3 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解， 1k , 2k 為任意常數(shù)，則 Ax?? 的通解為 (A) 231 2 1()2 k?? ??? ?? (B) 232 2 1()2 k?? ??? ?? (C) 231 3 1 2 2 1( ) ( )2 kk?? ? ? ? ?? ? ? ? ? (D) 232 2 1 3 3 1( ) ( )2 kk?? ? ? ? ?? ? ? ? ? (7) 設(shè) 1()Fx, 2()Fx為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率 密度 1()fx, 1()fx是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是 (A) 12( ) ( )f x f x (B) 212 ( ) ( )f x F x (C) 12( ) ( )f x F x (D) 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x F x f x F x? (8) 設(shè)總體 X 服 從參數(shù) ? ( 0)?? 的泊松分布， 11, , ( 2)nX X X n ?為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨即樣本，則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量1 11niiTXn ?? ?， 12 1111niniT X Xnn????? ? (A) 1 2 1 2,ET ET DT DT?? (B) 1 2 1 2,ET ET DT DT?? (C) 1 2 1 2,ET ET DT DT?? (D) 1 2 1 2,ET ET DT DT?? 二、填空題： 9~14小題，每小題 4分，共 24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上 . (9) 設(shè)0( ) lim (1 3 )xttf x x t???，則 39。請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。( ) 0fa? （ B） 39。則 1) 若 1 0a??? ，則 2 20? ?? ? ， 3 1?? ，不符題意 2) 若 2 0?? ，即 2a? ，則 1 20??? ， 3 30??? ，符合 3) 若 3 0?? ，即 1a?? ，則 1 10? ?? ? ， 2 30? ?? ? ，不符題意 綜上所述，故 2a? （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的概率密度為 0( , )0xe y xf x y ?? ??? ?? 其 他 ① 求條件概率密度 ()YXf yx ② 求條件概率 11P X Y? ? ? ? ??? 【解析】 （ I）由 0( , )0x yxef x y ? ???? ??????? 其 它 得其邊緣密度函數(shù) 0( ) 0x xxxf x e d y xe x??? ? ???? ?? 故 | ( , ) 1( | ) 0()yx xf x yf y x y xf x x? ? ????? ? ? 即 |1( | )0yxyxf y x x? ???????? ? ? ??? ?? ???????????????? 其 它 （ II） [ 1 , 1 ][ 1 | 1 ][ 1 ]P X YP X Y PY??? ? ? ? 而 1110 0 011[ 1 , 1 ] ( , ) 1 2x xxxyP X Y f x y dx dy dx e dy x e dx e? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ( ) | , 0x x yY yf y e d x e e yy?? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? ?? 1 1101[ 1 ] | 1 10yyP Y e dy e e e? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 111 2 2[ 1 | 1 ] 11eeP X Y????? ?? ? ? ? ? （ 23）（本題滿分 11 分） 袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個(gè)，求以 X 、Y 、 Z 分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個(gè)數(shù)。 （ 20）（本題滿分 11 分） 設(shè) 1 1 1A = 1 1 10 4 2???????????,1112???????????? ① 求滿足 21A??? ， 2 31A??? 的所有向量 2? ， 3? . ② 對(duì) ① 中的任意向量 2? , 3? 證明 1? , 2? , 3? 線性無(wú)關(guān)。39。(0)f? 存在，且 39。0limx f x A?? ?，對(duì)上式（ *式）兩邊取 0 0x ?? 時(shí)的極限可得： ? ? ? ? 00000039。 ( ) 0??? ，即 39。 (0)fA? ? . 【解析】（Ⅰ）作輔助函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ax f x f a x aba? ?? ? ? ??，易驗(yàn)證 ()x? 滿足： ( ) ( )ab??? ； ()x? 在 閉 區(qū) 間 ? ?,ab 上 連 續(xù) ， 在 開(kāi) 區(qū) 間 ? ?,ab 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且39。 【解析】 2( , ) 2 ( 2 ) 0xf x y x y? ? ? ? 2( , ) 2 ln 1 0yf x y x y y? ? ? ? ? 故 10,xye? ? ? 22 12 ( 2 ) , 2 , 4x x y y x yf y f x f x yy?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? 則 1 2( 0 , )1( 0 , )1( 0 , )12(2 )0xxexyeyyefeffe?? ???? ??? ? 0xxf?? ? 而 2( ) 0xy xx yyf f f?? ?? ???? ?二元函數(shù)存在極小值 11(0, )f ee?? （ 16）（本題滿分 10 分） 計(jì)算不定積分 1ln(1 )x dxx??? ( 0)x? 【解析】 令 1 x tx? ?得2 2 212,1 ( 1)td tx dxtt?? ? ???