【正文】 有一些常用的初等函數的 n 階導數公式 （ 1） xey? ? ? xn ey ? （ 2） ? ?1,0 ??? aaay x ? ? ? ?nxn aay ln? （ 3） xy sin? ? ? ??????。 例 2．求下列函數的微分 （ 1） xey x sin2? ； （ 2） x xxy sincotln ?? ； （ 3） 1lna r c ta n 22 ??? xxy 。 例 6．設 ? ???????????,0 ,0 ,0,0 ,22xexxexfxx ? ? ? ?dttfxxF???? 0，求 ??xF? 。 例 4．設 ? ? ? ?? ? 1lim 112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf 問 a 和 b 為何值時， ??xf 可導，且求 ??xf? 。（見上圖） 例 2．討論函數 ? ? 3 2?? xxf 在點 2?x 處的連續(xù)性與可導性。 二．分段函數在分段點處可導性 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 31 例 1．討論函數 ? ? ??? ?????? 00xx xxxxfy 在 00?x 處的連續(xù)性與可導性。 乙 典型例題 一．用導數定義求導數 例 1．設 ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在點 a 處連續(xù)，求 ??af? 。 對數求導法主要用于： ①冪指函數求導數 ②多個函數連乘除或開方求導數 關于冪指函數 ? ?? ? ? ?xgxfy? 常用的一種方法 ? ? ? ?xfxgey ln? 這樣就可以直接用復合函數運算法則進行。因此稱為一階微分形式不變性。 如果 ? ?xfy? 的 1?n 階導數的導數，稱為 ? ?xfy? 的 n 階導數記以 ??ny ， ? ???xf n ，nndxyd 等，這時也稱? ?xfy? 是 n 階可導。 且 ? ? ? ?dxxfxxAxxdy 000 ????? 一般地， ? ?xfy? 則 ? ?dxxfdy ?? 所以導數 ? ? dxdyxf ?? 也稱為微商，就是微分之商的含義。 5．微分的幾何意義 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 是曲線 ? ?fy? 在點 0x 處相應于自變量增量 x? 的縱坐標 ? ?0xf 的增量，微分0xxdy ? 是曲線 ? ?xfy? 在點 ? ?? ?000 , xfxM 處切線的縱坐標相應的增量（見圖）。 4．微分的定 義 設函數 ? ?xfy? 在點 0x 處有增量 x? 時，如果函數的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 有下面的表達式 ? ? ? ?xxxAy ????? 00 ? ?0??x 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 26 其中 ? ?0xA 為與 x? 無關， ? ?x?0 是 0??x 時比 x? 高階的無窮小。 3．函數的可導性與連續(xù)性之間的關系 如果函數 ? ?xfy? 在點 0x 處可導，則 ??xf 在點 0x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數 ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)，卻不一定在點 0x 處可導。 2．導數的 幾何意義與物理意義 如果函數 ? ?xfy? 在點 0x 處導數 ? ?0xf? 存在，則在幾何上 ? ?0xf? 表示曲線 ? ?xfy ? 在點 ? ?? ?00, xfx 處的切線的斜率。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 25 導數定義的另一等價形式，令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ， 則 ? ? ? ? ? ?0000lim xxxfxfxfxx ????? 我們也引進單側導數概念。 并稱函數 ? ?xfy? 在點 0x 處可導。 2． 1 導數與微分 甲 內容要點 一．導數與微分概念 1．導數的定義 設函數 ? ?xfy? 在點 0x 的某鄰域內有定義，自變量 x 在 0x 處有增量 x? ，相應地函數增量? ? ? ?00 xfxxfy ????? 。 例 1．求 ? ?xx sin2lnlim2 ??? 解： ? ?xsin2ln ? 是初等函數， 2??x 是它的定義區(qū)間內的一點，所以 ? ? 3ln2s in2lns in2lnlim 2 ??????? ???? ?? xx 2．如果 ? ? axgxx ?? 0lim，而函數 ? ?ufy? 在點 au? 連續(xù)， 則 ? ?? ? ? ? ? ?afxgfxgfxxxx ???????? ?? 00 limlim 例 2．求 ??????? x xx sinarctanlim0 解：因 1sinlim0 ?? xxx，而函數 uy arctan? 在點 1?u 連續(xù)，所以 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 24 41a r c ta ns i nlima r c ta ns i na r c ta nlim 00 ???????????????? ?? x xx x xx 例 3．求 xxx12lim0?? 例 4．設 ??xf 在 2?x 處連續(xù)，且 ? ? 32 ?f ，求 ? ? ?????? ???? 4421lim 22 xxxfx 五．利用介值定理的推論判斷方程的根 例 1．證明五次代數方程 0155 ??? xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內至少有一個根。 例 4．求函數 ? ????????????0,1ar c t an0,001xxxxexfx 的間斷點，并確定其類型。 當 0?x 時，由于 1tanlim0 ?? xxx，所以 0?x 是第一類間斷點，且是可去間斷點。 例 3．求函數 ? ? xxxf tan? 的間斷點，并確定其類型。 二．已知函數的連 續(xù)性求未知參數 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 22 例 1．設 ? ?????????0 0s inxkxx xxf 在 0?x 處連續(xù) 求常數 k 例 2．如果函數 ? ?????????????0 1s in0 0 s in1xqxxxpxxxxf 在 0?x 處連續(xù)，求常數 p 和 q 。 解： 因 ? ? ? ? 0limlim00 100 ???? ?? ?? xxx exff ? ? ? ? 01s inlimlim00 00 ???? ?? ?? xxxff xx ? ? 00 ?f 即有 ? ? ? ? ? ?00000 fff ???? ，故 ??xf 在點 0?x 連續(xù)。對于分段函數在分段點處的連續(xù)性，若函數在分段點兩側表達式不同時，需根據函數在一點連續(xù)的充要條件進行討論。同樣可以定義最小值 m 。 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函數 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值 M和最小值 m 。這些性質以后都要用到。 5．初等函數在它的定義區(qū)間內是連續(xù)的。 3．在區(qū)間 I 連續(xù)且單調的函數的反函數，在對應區(qū)間仍 連續(xù)且單調。 三．初等函數的連續(xù)性 1．在區(qū)間 I 連續(xù)的函數的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間 I 仍是連續(xù)的。 常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。 第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。 2．函數的間斷點的分類 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 20 函數的間斷點分為兩類： （ 1）第一類間斷點 設 0x 是函數 ? ?xfy? 的間斷點。 如果 ? ?xfy? 在開區(qū)間內連續(xù)，在區(qū)間端點 a 右連續(xù)，在區(qū)間端點 b 左連續(xù)，則稱 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)。 由上述定義 2 可知，如果函數 ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)，則 ??xf 在 0x 處既左連續(xù)也右連續(xù)。 定義 2．設函數 ? ?xfy? 在點 0x 的某個領域內 有定義，如果當 0xx? 時，函數 ??xf 的極限值存在，且等于 0x 處的函數值 ? ?0xf ，即 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? 則稱函數 ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)，此時有 ? ? ? ? ? ?000 limlim xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 并且有 ? ? ? ? ? ?00 limlim 0 xxxx xfxfxf ?? ?? 即如果函數在點 0x 處連續(xù)，則在點 0x 處可以交換極限號和函數號的順序。 1． 3 連續(xù) 甲 內容要點 一． 函數連續(xù)的概念 1．函數在點 0x 處連續(xù) 定義 1．設函數 ? ?xfy? 在點 0x 的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量 x? （初值為 0x ）趨近于 0 時，相應的函數改變量 y? 也趨近于 0 ，即 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 19 0lim0 ???? yx 或 ? ? ? ?? ? 0lim 000 ?????? xfxxfx 則稱函數 ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)。 例 2．求?????????????? xxeexxxs in12lim410 七．求極限的反問題 例 1．設 ? ? 31s inlim 221 ????? xbaxxx 求 a 和 b 例 2．設 1s in1lim 0 20 ??? ?? xx dttatxbx，求 a 和 b 。 例 1．求 ?????? ??? 111lim0 xx ex 例 2．求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 例 3．求 xxx lnsinlim 20 ??? 例 4．設 0?a ， 0?b 常數，求 ???????? ???? xxx bax11lim 3．“ ?1 ”型，“ 0 ”型和“ 0? ”型 這類都是 ? ?? ? ? ?xgxflim 形式，可化為 ? ? ? ?? ?xfxge lnlim 而 ? ? ? ?? ?xfxg lnlim 都是“ ??0 ”型 ，按 2 的情形處理 例 1．求 xx x 2sin0lim?? 例 2．求 ? ? xx x 2cot0 coslim? （前面已用重要公式的方法） 解：令 ? ? xxy 2cotcos? ， xxy co slnco tln 2? 2020200 c o slnl i mt a nc o slnl i mc o slnc o tl i mlnl i m x xxxxxy xxxx ???? ??? （“ 00 ”型） = 212tanlim0 ???? x xx， ? 210lim?? ?eyx 例 3．求 xx xx ?????? ???1c o s1s inlim 五．用無窮小重要性質和等價無窮小代換 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 17 例 1．求 1s in13 1lim 23 2 ?? ???? nnnnn 解： ? 013111lim13 1lim3 323 2?????? ?? ????nnnnnnnnn， 11sin 2 ??n ， 根據有界變量