【正文】 后余；而的展開式對應(yīng)的是奇數(shù)項，的展開式對應(yīng)的是偶數(shù)項，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。在已知冪級數(shù)求和函數(shù)時，最佳途徑是根據(jù)各個公式右端的形式來選定公式：第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘，其中只有的展開式不是交錯級數(shù)；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘，其中只有的展開式不是交錯級數(shù)。對于函數(shù)的冪級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。對于數(shù)項級數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造冪級數(shù)法，即利用變換求得冪級數(shù)的和函數(shù)以后代入極限式即可。這些經(jīng)驗在做一定量的題目后就會得到。函數(shù)的付立葉級數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一個復(fù)雜周期運(yùn)動看作是若干個正余弦運(yùn)動的疊加。對于形狀類似上圖的函數(shù)，展開以后級數(shù)中既有正弦級數(shù)也有余弦級數(shù)；若為奇函數(shù)如，則展開后只有正弦級數(shù)；若為偶函數(shù)則展開后只有余弦函數(shù)；2. 題目給出函數(shù)后沒有說明周期，則需要根據(jù)題目要求進(jìn)行奇開拓或偶開拓。 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時需要重點(diǎn)考慮的問題。同時，知識點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。這個聯(lián)系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時二矢量的數(shù)積為0，若直線方程為，平面方程為，則有。b) 數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。舉例來說，設(shè)直線，直線，則二直線夾角，其中、分別是兩條直線的方向矢量。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過）。直線方程的參數(shù)形式（是平面上已知點(diǎn)，為方向矢量）可變形為，即為標(biāo)準(zhǔn)式；標(biāo)準(zhǔn)式若變形為則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。d) 空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián)系。在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如可視為是由空間曲面——柱面與特殊的空間曲面——坐標(biāo)平面相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所以也就是圖中的柱面準(zhǔn)線。 高數(shù)第十章《多元函數(shù)微分學(xué)》復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時可以先將多元函數(shù)各知識點(diǎn)與一元函數(shù)對應(yīng)部分作對比，這樣做即可以將相似知識點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對比來促進(jìn)對二元函數(shù)某些地方的理解。如果沿不同路徑的不相等，則可斷定不存在。二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性判斷條件為：存在且等于相似一元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性判斷條件為且等于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義相似一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的全微分：簡化定義為：對于函數(shù)，若其在點(diǎn)處的增量可表示為，其中為的高階無窮小，則函數(shù)在處可微，全微分為，一般有相似一元函數(shù)的全微分：簡化定義為：若函數(shù)在點(diǎn)處的增量可表示為，其中是的高階無窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即，一般有二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo) 可微不同二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo) 可微多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)設(shè)，且都可導(dǎo)，則對的全導(dǎo)數(shù)不同一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個概念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的角度理解。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來。對于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在考研真題中有一個百出不厭的點(diǎn)就是函數(shù)對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)、仍是以為中間變量的復(fù)合函數(shù)，此時在求偏導(dǎo)數(shù)時還要重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。相似一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中與的不同即可多元隱函數(shù)微分法求由方程確定的隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式：，對于由方程組確定的隱含數(shù)、可套用方程組一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法對一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方法：，在方程兩邊同時對求導(dǎo)一元參數(shù)方程微分法：若有則關(guān)于這一部分，多元與一元的聯(lián)系不僅是“形似”，而且在相當(dāng)大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是本章的兩個出題熱點(diǎn)，屢屢出現(xiàn)相關(guān)題目，在后面的評題中有更多討論。相似一元函數(shù)的極值極值定義：函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義且對于其中異于該點(diǎn)的任一點(diǎn)恒有或，則稱為的極小/大值，方程的解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。大綱對于多元函數(shù)條件極值的要求為“會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”，是一種比較簡單而且程式化的方法。相似取極值的充分條件函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足、則：若，則為極小值；若，則為極小值 高數(shù)第十章《重積分》大綱對于本章的要求只有兩句：、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。這一部分在歷年真題中直接考到的情況很少，但卻經(jīng)常涉及，尤其是在關(guān)于曲線、曲面積分的題中，一般都需要將曲線、曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分來計算結(jié)果。在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧，這一點(diǎn)在后面評題時會有針對性的討論。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點(diǎn)在于知識點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。歷年考研真題中線代部分的題目都很靈活，在一道大題甚至小題中就可以考察到多個知識點(diǎn)，而且過渡自然、結(jié)構(gòu)巧妙；有相當(dāng)一部分題目可以找出多種解法。所以我們在復(fù)習(xí)線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫通”。這樣做的目的就在于——當(dāng)看到題目的條件和結(jié)論、推測出其中涉及到的知識點(diǎn)時立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識點(diǎn)隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。以第三章《向量》、第四章《線性方程組》為例，“線性相關(guān)”、“線性表示”的概念與線性方程組的某些性質(zhì)定理之間存在著相互推導(dǎo)和相互印證的關(guān)系；出題專家在編制題目時常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結(jié)合起來出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是否有零解對應(yīng)于A的列向量組是否線性相關(guān)；非齊次方程組Ax=b是否有解對應(yīng)于向量b是否可由A的列向量線性表示”。|A|=0243。r(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無關(guān)和矩陣秩兩個知識點(diǎn)間的聯(lián)系。正是因為具有這樣的特點(diǎn)，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會變得特別容易”的科目，所以實際上把時間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認(rèn)為自己的線代水平還不好，那么也不應(yīng)該有放棄線代的打算，因為，在一門“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時間的效果肯定要比投入等量時間在一門“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說，試圖把一門滿分是100分、現(xiàn)在水平是80分的課提高到85分，一般要比把一門滿分100現(xiàn)在只能拿40分的課提高10分、20分還要難得多。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體（數(shù)字型）行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和n階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式按行\(zhòng)列展開定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（n階行列式的值為取自不同行、不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和）、性質(zhì)（其中為矩陣A的特征值）、行列式的性質(zhì)（如“數(shù)乘行列式等于用此數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列”）。第二章矩陣中的知識點(diǎn)很細(xì)碎，但好在每個小知識點(diǎn)包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評題中會有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)以供區(qū)別記憶：行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（為矩陣的特征值）運(yùn)算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣有特征值、三者之間有一個即好記又好用的性質(zhì)數(shù)乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若是可逆矩陣則有；同樣，若可逆則有 線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨(dú)立， 可以看作是對第三、四章核心內(nèi)容的擴(kuò)展。復(fù)習(xí)這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。線性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,；另一種是向量形式，其中 。先討論其次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：；。線性相關(guān)的定義為：設(shè)為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)使得等式成立，則稱向量組線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng)時成立，則稱向量組線性無關(guān)。（這些聯(lián)系肯定不是簡單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說不定線性相關(guān)\無關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問題的過程中發(fā)現(xiàn)的。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”，向量組組成的矩陣有說明向量組的極大線性無關(guān)組中有n個向量，即線性無關(guān)，也即等式只有0解。當(dāng)時，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有nr個線性無關(guān)的解向量。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時有mn；因為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根據(jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。線性表示的定義為：對于向量組若存在一組數(shù)使等式成立，則稱向量可由向量組線性表示。當(dāng)非齊次線性方程組與對應(yīng)齊次線性方程組滿足時，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點(diǎn)，更是為了有效應(yīng)對考試題。線代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，出題老師可以借助各知識點(diǎn)之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識點(diǎn)，那怕對這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。每們科目都有其自身的特點(diǎn)，出題老師和我們考生都可以加以利用——出題專家們利用線性代數(shù)“知識點(diǎn)間聯(lián)系復(fù)雜”的特點(diǎn)可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系來進(jìn)行歸納、對比和總結(jié)，從而深化對知識點(diǎn)的掌握程度。其含金量之高不僅在線代中是獨(dú)一無二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識點(diǎn)中也很少見，希望你能重視：三個雙重定義：1. 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)\無關(guān)的定義：a. 對于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)全為0時才成立。向量組中至少存在一個向量可由其余n1個向量線性表出；線性無關(guān)243。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：：方陣可逆243。243。243。對于一般矩陣則有：243。僅有零解，有唯一解。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁：性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|≠0243。A的列向量組線性無關(guān)”秩 以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識點(diǎn)時的必經(jīng)之路——“兵家必爭之地”，怎么重視都不為過。如果向量組可由向量組線性表示，則有。2. 常見的線性無關(guān)組：齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對應(yīng)的特征向量。非齊次線性方程組有唯一解則對應(yīng)齊次方程組僅有零解，若有無窮多解則有非零解；若有兩個不同的解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當(dāng)時是唯一解，當(dāng)時是無窮多解，而若則沒有解或有唯一解。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動全身”；著重考察這樣的知識點(diǎn)，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。本章知識要點(diǎn)如下：1. 特征值和特征向量的定義及計算方法。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若階矩陣有個特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、且對應(yīng)特征向量等于所對應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣與矩陣等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣可通過初等變換化為矩陣，并有；當(dāng)中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時滿足、并且、有相同的特征值。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若與合同或相似則與必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件1是階矩陣有個線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對應(yīng)有個線性無關(guān)的特征向量；充分條件1是有個互不相同的特征值；充分條件2是為實對稱矩陣。階實對稱矩陣必可正交、相似于對角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對應(yīng)的幾個正交的特征向量組成。而矩陣相似對角化的定義式正是。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且中的、也分別是由的特征向量和特征值決定的。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話。 線代第六章《二