高考數(shù)學(xué)立體幾何大題30題(存儲版)
【正文】 C…………1分，又∠BCA=90176。（1） 設(shè)，依題意有： 因?yàn)镸、N分別為的重心．所以 ∵ ∴（2） 因?yàn)槠矫鍭BC的法向量， 設(shè)平面ABD的法 向量 令，設(shè)二面角C—AB—D為，則由因此 設(shè)平面A1B1D的法向量為，則設(shè)C1到平面A1B1D的距離為，則（3）若點(diǎn)C在平面ABD上的射影正好為M，則. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點(diǎn)BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM （I）求二面角P—CD—A的正切值； （II）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。又AC⊥BC，∴BC⊥平面A1ACC1（II）過D作DH⊥AB于H，又A1D⊥平面ABC，∴AB⊥A1H∴A1H是H1到AB的距離∵BA1⊥AC1，BC⊥平面A1ACC1，由三垂線定理逆定理，得A1C⊥AC1∴ A1ACC1是菱形 ∴A1A=AC=a, A1D=.13．如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1B中點(diǎn)，異面直線CF與DE所成的角為90176。cos60.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=∴ 4．如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積；（Ⅲ）求二面角CBED 的正切值． 證：（Ⅰ）取CE中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM，則有．∴四邊形AFMB是平行四邊形．∴AF//BM，∵平面BCE，平面BCE，∴AF//平面BCE． （Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，則DE⊥AF．又△ACD是等邊三角形，則AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．又BM//AF，則BM⊥平面CDE．． （Ⅲ）設(shè)G為AD中點(diǎn)，連結(jié)CG，則CG⊥AD．由DE⊥平面ACD，平面ACD，則DE⊥CG，又AD∩DE=D，∴CG⊥平面ADEB．作GH⊥BE于H，連結(jié)CH，則CH⊥BE．∴∠CHG為二面角CBED的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，則，∴．不難算出．∴，∴．∴．5．已知：ABCD是矩形，設(shè)PA=a，PA⊥、N分別是AB、PC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大??；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求三棱錐D—AMN的體積.（Ⅰ）連結(jié)AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 則有BC⊥PB. 又BN是Rt△PBC斜邊PC的中線， 即. 由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，則AN是Rt△PAC斜邊PC的中線，即 又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)， （也可由三垂線定理證明） （Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC. 則∠PDA為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，設(shè)AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中點(diǎn)，則有DN⊥PC 又∵平面MND⊥平面PCD于ND， ∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，而N是PC中點(diǎn)，則必有PM=MC. 此時(shí).即二面角P—CD—A的大小為 （Ⅲ），∥＝連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)NO，則NO PA. 且NO⊥平面AMD，由PA=aABCDPA1B1C1D1第6題圖MN. 6．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DDAB、BC的中點(diǎn)。EB =33 = （10分） 解（Ⅲ）連CF， ∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂線定理知，CF⊥AE .于是，∠BFC為二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF =，在Rt△CBF中，tg∠BFC =， ∴∠BFC = arctg.ABCA1B1C1M第3題圖即二面角B—AE—C的大小為arctg. 3．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為1，點(diǎn)M在BC上，△AMC1是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形. （I）求證：點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)； （Ⅱ）求點(diǎn)B到平面AMC1的距離； （Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.答案：（I）證明：∵△AMC1是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形， ∴AM⊥MC1且AM=MC1 ∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中， 有CC1⊥底面ABC. ∴C1M在底面內(nèi)的射影為CM， 由三垂線逆定理，得AM⊥CM. ∵底面ABC是邊長為1的正三角形， ∴點(diǎn)M為BC中點(diǎn).（II）解法（一） 過點(diǎn)B作BH⊥C1M交其延長線于H. 由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB， ∴AM⊥平面C1CBB1. ∴AM⊥BH. ∴BH⊥平面AMC1. ∴BH為點(diǎn)B到平面AMC1的距離. ∵△BHM∽△C1CM. AM=C1M= 在Rt△CC1M中，可求出CC1 解法（二）設(shè)點(diǎn)B到平面AMC1的距離為h.則由（I）知 AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1，BM= （III）過點(diǎn)B作BI⊥AC1于I，連結(jié)HI. ∵BH⊥平面C1AM，HI為BI在平面C1AM內(nèi)的射影.∴HI⊥AC1，∠BIH為二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BHM中，∵△AMC1為等腰直角三角形，∠AC1M=45176。AE⊥平面DMN，又因?yàn)锳E平面AC，則AC⊥平面DMN． （Ⅰ）在平面DMN內(nèi)，作DO⊥MN于O，∵平面AC⊥平面DMN，∴DO⊥平面AC．連結(jié)OE，DO⊥OE，∠DEO為DE與平面AC所成的角．如圖1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，如圖2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，則∴DE與平面AC所成的角為 （Ⅱ）如圖2，在平面AC內(nèi)，作OF⊥EC于F，連結(jié)DF，∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO為二面角D－EC－B的平面角．如圖1，作OF⊥DC于F，則Rt△EMD∽Rt△OFD，∴如圖2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM（I）求證：BC⊥平面A1ACC1； （II）求點(diǎn)A1到AB的距離（III）求二面角B—AA1—C的正切值 解：（1）由題意，A1D⊥平面AB
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