【正文】 5 對坐標的曲面積分 一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì) 有向曲面: 通常我們遇到的曲面都是雙側的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分為上側與下側. 設n=(cosa, cosb, cosg)為曲面上的法向量, 在曲面的上側cosg0, 在曲面的下側cosg0. 閉曲面有內(nèi)側與外側之分. 類似地, 如果曲面的方程為y=y(z, x),則曲面分為左側與右側, 在曲面的右側cosb0, 在曲面的左側cosb0. 如果曲面的方程為x=x(y, z), 則曲面分為前側與后側, 在曲面的前側cos a0, 在曲面的后側cosa0. 設S是有向曲面. 在S上取一小塊曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影區(qū)域, 這投影區(qū)域的面積記為(Ds)(即cosg都是正的或都是負的). 我們規(guī)定DS在xOy面上的投影(DS)xy為 , 其中cosg186。(DSi)yz , cosbiDSi187。0時, 總存在, 則稱此極限為函數(shù)R(x, y, z)在有向曲面S上對坐標x、y的曲面積分:, 記作,即 . 類似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 定義 設S是空間內(nèi)一個光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的單位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是確在S上的向量場. 如果下列各式右端的積分存在, 我們定義 , , . 并稱為P在曲面S上對坐標y、z的曲面積分, 為Q在曲面S上對坐標z、x的曲面積分, 為R在曲面S上對坐標y、z的曲面積分. 其中P、Q、R叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分. 對坐標的曲面積分的存在性: 對坐標的曲面積分的簡記形式: 在應用上出現(xiàn)較多的是 . 流向S指定側的流量F可表示為 F. 一個規(guī)定: 如果是分片光滑的有向曲面, 我們規(guī)定函數(shù)在S上對坐標的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和. 對坐標的曲面積分的性質(zhì): 對坐標的曲面積分具有與對坐標的曲線積分類似的一些性質(zhì). 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 則 . (2)設S是有向曲面, S表示與S取相反側的有向曲面, 則 . 這是因為如果n=(cosa , cosb , cosg)是S的單位法向量, 則S上的單位法向量是 n =( cosa , cosb , cosg). 二、對坐標的曲面積分的計算法 將曲面積分化為二重積分: 設積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù), 則有, 其中當S取上側時, 積分前取“+”。z163。 S2: z=0 (0163。z163。x163。 除SS4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影為零, 因此 =a2bc . 類似地可得 , . 于是所求曲面積分為(a+b+c)abc. 例2 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外側在x179。0, y179。y163。x163。0)的下側. S1和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxy : x2+y2163。z163。c)的后側。y163。y163。y163。 令l174。 (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對面積的曲面積分的計算 面密度為f(x, y, z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為 . 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為D , 那么 曲面的面積元素為,質(zhì)量元素為. 根據(jù)元素法, 曲面的質(zhì)量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 例1 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2163。0, 167。D時, 由格林公式得 . 當(0, 0)206。y2(y), c163。 (3)從O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折線OAB . 解 (1)L: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)L: x=y2, y從0變到1. 所以 . (3)OA: y=0, x從0變到1。t163。10. 2 對坐標的曲線積分 一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點A=A0, A1, A2, , An1, An=B把L分成n個小弧段, 設Ak=(xk , yk), 有向線段的長度為Dsk, 它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, , n1). 顯然, 變力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 。t163。x163。g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對弧長的曲線積分的計算法 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構件L的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a163。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}174。6． 會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。10曲線積分與曲面積分第十章 曲線積分與曲面積分教學目的：1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系。167。 在每一弧段Dsi上任取一點(xi, hi), 作和。t163。b), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(c163。1), 因此 . 例2 計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度為m=1). 解 取坐標系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (a163。 變力在L上所作的功近似為: 。(t), y162。y163?！碧枺?) 例3. 計算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)為頂點的三角形閉區(qū)域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 則. 因此, 由格林公式有 . 例4 計算, 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向. 解: 令, . 則當x2+y2185。 219。 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值). 定義 設曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(xi, hi, zi ), 如果當各小塊曲面的直徑的最大值l174。0也就是(Ds)xy=0的情形. 類似地可以定義DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一側的流量: 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z))給出, S是速度場中的一片有向曲面, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上連續(xù), 求在單位時間內(nèi)流向S指定側的流體的質(zhì)量, 即流量F. 如果流體流過平面上面積為A的一個閉區(qū)域, 且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速為(常向量)v, 又設n為該平面的單位法向量, 那么在單位時間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個底面積為A、斜高為|v|的斜柱體. 當(v,^n)時, 這斜柱體的體積為 A|v|cosq=A vn. 當(v,^n)時, 顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側的流量F為零, 而Avn=0, 故F=Avn。(DSi)zx , cosgiDSi187。 當S取下側時, 積分前取“”. 這是因為, 按對坐標的曲面