【正文】 2 ??? ? 令 Re[G(j?)] = Re[?1/N(A)] ? = ? 22 4 ?A? 得 A= 故自振蕩的振幅 A=，頻率 ? =4rad/s。 圖 74 例 71 系統(tǒng)的G(j?)和 ?1/N(A)曲線 圖 75 典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 2．斜坡響應(yīng) 設(shè)輸入信號為 r(t)=vt， t 0 時(shí)， 0,0 ??? rvr ??? ，代入系統(tǒng)的誤差方程，得斜坡輸入下的誤差方程為 vKeeeT ?????? 它可以寫成 0)( ???? KveKeeT ??? 作變量置換 e?=e?v/K 則誤差 e?的方程為 0?????? eKeeT ??? 與階躍輸入的誤差方程相同。 （ a）欠阻尼 （ b）過阻尼 圖 76 階躍輸入時(shí)的相平面圖 （ a）欠阻尼 （ b）過阻尼 圖 77 斜坡輸入時(shí)的相平面圖 圖 78 采用非線性反饋校正的二階隨動系統(tǒng) 解 由圖可知，非線性反饋校正裝置為死區(qū)特性 ???????????????????ccccctx 0)( 即在輸出 c(t)信號較小時(shí)沒有局部反饋，只在輸出 c(t)較大時(shí)才接入局部。 綜上所述，在多數(shù)情況下，控制系統(tǒng)中存在的非線性因素，對系統(tǒng)的控制性能會產(chǎn)生不利的影響。當(dāng)輸出足夠大時(shí)（ cΔ），局部反饋投入， c(t)按曲線 2 的規(guī)律繼續(xù)上升，從而形成響應(yīng)曲線 3，即快速又平穩(wěn)的響應(yīng)。 應(yīng)當(dāng)特別指出，由于在非線性系統(tǒng)中，其非線性特性往往可以分段加以線性化，而在每一個(gè) 分段中，系統(tǒng)都可以用線性微分方程描述，因此線性系統(tǒng)在相平面分析是非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。若具有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)（過阻尼），則其相軌跡如圖 76(b)，分析相平面圖即可了解系統(tǒng)響應(yīng)的性質(zhì)。 由結(jié)構(gòu)圖知，非線性特性是滯環(huán)繼電特性： M=1， h=,故 )(14 4)(14)(2222????????hAAjAAAMhjAhAMAN???? 圖 72 例 72 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 （ a） （ b） 圖 73 例 71 結(jié)構(gòu)圖變換 畫出 ?1/N(A)曲線與 G(j?)曲線如圖 74 所示， ?1/N(A)曲線是一條虛部為?j?h/4M=? 的直線。 系統(tǒng)線性部分的頻率特性為： ] 0 0 [)]([))(()(242????????? ??????? ?jksskjGjs 令 Im[G(j?)]=0 即 1??2=0，得 G(j?)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的 頻率為： sra d / 1 ??? 代 Re[G(j?)]，可求得 G(j?)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為： )]([ kkjGR e ?????? ????? (1) 將 K=15 代入上式，得 Re[G(j?)]= ?1。 設(shè) 1 )1()( 111 ??? s sTksGc 當(dāng) ?c = 5 時(shí)， ?c1(?c) = arctan(T1?c) ? arctan(?c) jTjkL cc 51 )15(lg20)( 111 ? ??? 由 ?c1(?c)= ?(?c) ? 45? 可得 arctan(T1?c)= arctan(?c) ? 45? 即 T1 = 另外，在增大 ? 的同時(shí)，要 Gc (s)?s=j? 保持的幅值不變，才能不改變系統(tǒng)截止頻率，因此 Lc1(?c) = Lc (?c) jjjTjk 51 )(10lg2051 )15(lg20 11 ? ??? ? 從而解出 k1 = 。若使校正后相位裕度 ?*不低于 45?，截止頻率 ?c* 2(rad/s)，試設(shè)計(jì)校正系統(tǒng)。作虛圓弧如圖 572 所示。 解 由題給傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的交接頻率依次為 1， 2， 10， 20。 例 55 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )( 10)( 2 ???? ssssG 試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 因此系統(tǒng)的傳遞函 數(shù)具有下述形式 )1/)(1/)(1/)(1/( )(( 4321 ???? ?? ???? ssss sKsG ） 式中 K， ?1， ?2， ?3， ?4 待定。 解 01)(lg20)(22 ???ccaL ??? ?c4 = a2?c 2 + 1 ??????? 451 8 0)a r c ta n (1 8 0 ca ?? a?c = 1 聯(lián)立求解得 4 2?c? ??a 例 53 最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖 565 所示，請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 （ 5）確定根軌跡的分離點(diǎn)。 （ 2）軸上的根軌跡區(qū)間為 [－ 4， 0]。 圖 42 例 42 系統(tǒng)的根軌跡 圖知，待求代數(shù)方程根的初始試探點(diǎn)可在實(shí)軸區(qū)間 [－ 4， － 3]和 [－ 2，－ 1]內(nèi)選擇。 根軌跡有兩條漸近線，且 σ a=1， φ a=177。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為ω =。 60176。 （ 2）確定根軌跡的漸近線 漸近線的傾斜角為 03 180)12()12( ? ??????? KmnKa ?? 取式中的 K=0， 1， 2， 得 φ a=π /3， π ， 5π /3，或177。 因本系統(tǒng)特征方程式的三個(gè)根之和為 － 2K，利用這一關(guān)系，可確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的 K 值。 （ 5）確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 方法一 利用勞斯判據(jù)確定 勞斯行列表為 3s 1 2 2s 3 2K 1s 326 K? 0 0s 2K 由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K 的極限值為 3。 解 根據(jù)繪制根軌跡的法則，先確定根軌跡上的一些特殊點(diǎn)，然后繪制其根軌跡圖。 解 實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號的組合。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于 %15 ，峰值時(shí)間等于 ，試確定增益 K1 和速度 反饋系數(shù) Kt 。 （ 4） 用梅遜公式求出： ? ?????? 33221112 GGGUU sCsCRsCsCRRsCR sCsCsCR sCsCR212121212121212111111111?????????? 1)( 1)( 11122122121 12122121???? ???? sCRCRCRsCCRR sCRRsCCRR 例 已知系統(tǒng)的信號流圖如圖 所示，試求傳遞函數(shù) C(s)/ R(s)。 運(yùn)動方程可直接用復(fù)阻抗寫出： ???????????????????)()()]()([1)()]()([()]()([1)()(2220201121sEsCsIsEsERsIsEsEsCsEsERsIsIsICciii 整理成因果關(guān)系： 圖 25 機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 ???????????????)()()(1)()]()()[(1()(22022011sEIRsEsISCsEsEsEsCRsICci 畫結(jié)構(gòu)圖如圖 26 所示： 求傳遞函數(shù)為： SCRsCRSCRSCRSCRSCRSCRSCRsCRsEsEi 2122112211221122110)1)(1()1)(1( )1)(11(1)1)(1()()(???????????? 對上述兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出。 (1) 用復(fù)阻抗寫電路方程式： sCSISVRSUSUSIsCSISISURSUSUSIccccCr222221212111111)()(1)]()([)(1)]()([)(1)]()([)(?????????? (2) 將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得 RC 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見圖 2－ 3（ a）。 第二章習(xí)題及答案 例 21 已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖 21 所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動方程。 C，熱電偶的輸出電壓 fu 正好等于給定電壓 ru 。反之，當(dāng)合上關(guān)門開關(guān)時(shí)，電動機(jī)帶動絞盤使大門關(guān)閉，從而可以實(shí)現(xiàn)大門遠(yuǎn)距離開閉自動控制。 解 （ 1）負(fù)反饋連接方式為： da? ， cb? ； （ 2）系統(tǒng)方框圖如圖解 11 所示。分析系統(tǒng)的工作原理，指出被控對象、被控量和給定量，畫出系統(tǒng)方框圖。 當(dāng)爐膛溫度 T 176。 （ 3）整理成標(biāo)準(zhǔn)形為 fMfdtdJ ?? ?? 此為一階線性微分方程，若輸出變量改為 ?，則由于 dtd??? 代入方程得二階線性微分方程式 fMdtdfdtdJ ?? ??22 22 已知在零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 tt eetc ?? ??? 221)( ，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。 ? ??? KGG K 獨(dú)立回路有三個(gè)： SCRSCRL 1111 111 ????? SCRSCRL 22222 111 ????? SCRRSCL 12213 111 ????? 回路相互不接觸的情況只有 L1 和 L2 兩個(gè)回路。 表 21 相似量 機(jī)械系統(tǒng) xi x0 y F F1 F2 K1 1/K2 f1 f2 電氣系統(tǒng) ei e0 ec2 i i i 1/R R C1 C2 例 2． 5RC 網(wǎng)絡(luò)如圖 所示，其中 u1 為網(wǎng)絡(luò)輸入量， u2 為網(wǎng)絡(luò)輸出量。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解 勞斯表為 4s 1 18 5 3s 8 16 0 2s 16