【正文】 的力相加，平行移動，位移相同，串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對位移之和。兩個系統(tǒng)是相似的。 解：（ 1） 用復阻抗寫出原始方程組。 解： 單獨回路 4 個，即 ? ????? 21321 GGGGGL a 兩個互不接觸的回路有 4 組，即 ? ???? 321323121 GGGGGGGGGLL cb 圖 網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖 圖 信號流圖 三個互不接觸的回路有 1 組，即 ? ?? 321 GGGLLL fed 于是，得特征式為 321323121321 221 1 GGGGGGGGGGGG LLLLLL fedcba ???????? ????? ? ?? 從源點 R 到阱節(jié)點 C 的前向通路共有 4 條，其 前向通路總增益以及余因子式分別為 KGGGP 3211 ? 11?? KGGP 322 ? 12 1 G??? KGGP 313 ? 23 1 G??? KGGGP 3214 ?? 14?? 因此，傳遞函數(shù)為 ? ???????? 44332211)( )( PPPPsR sC 321323121321 231132 221)1()1( GGGGGGGGGGGG GKGGGKGG ??????? ???? 第三章習題及答案 例 某系統(tǒng)在輸入信號 r(t)=(1+t)1(t)作用下，測得輸出響應為： tettc )()( ???? （ t≥ 0） 已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )(s? 。系統(tǒng)模型為 2222 3)( nnn sss ????? ??? 然后由響應的 %pM 、 pt 及相應公式，即可換算出 ? 、 n? 。同時，確定在此 K1和 Kt 數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間。 解 根據(jù)誤差系數(shù)公式，有 位置誤差系數(shù)為 ??????? ?? )1)(1(lim)(lim 200 csbsass KsGK ssp 速度誤差系數(shù)為 Kcsbsass KsssGK ssv ??????? ?? )1)(1(lim)(lim 200 加速度誤差系數(shù)為 0)1)(1(lim)(lim 22020 ??????? ?? csbsass KssGsK ssa 對應于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。此時，輸入信號的一般形式可表示為 2210 21)( trtrrtr ??? 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應用疊加原理求出， 即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差的總和。 解 閉環(huán)特征方程為 02 22 ??? nn ss ??? 由已知誤差響應表達式，易知，輸入必為單位階躍函 1(t)，且系統(tǒng)為過阻尼二階系統(tǒng)。 （ 1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0 ， 1? ， 2? 是根軌 跡各分支的起點。 （ 3）實軸上的根軌跡位于原點與 － 1 點之間以及 － 2 點的左邊，如圖 413中的粗實線所示。相應于 K=3 的頻率可由輔助方程 06323 22 ???? sKs 確定。 由（ 4）知，前兩條根軌跡分支離開實軸時的相應根值為 － 177。 現(xiàn)在已知根軌跡的分離點分別為 － 177。 解 （ 1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0， － 3， (－ 1＋ j)和 (－ 1－ j),它們是根軌跡上各分支的起點。 60176。 漸近線與實軸的交點為 114 )2()1130(1 11 ??? ?????????????? ??? ?? ?? jjzpmn mi inj ja? （ 3）實軸上的根軌跡位于原點與零點 － 2 之間以及極點 － 3 的左邊，如圖42 中的粗線所示。 漸近線趨向無窮遠處。 相應于 K= 的頻率由輔助方程 ? ? )(40 2 ?????? s 確定。 （ 6）確定根軌跡的出射角 根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，自復數(shù)極點 p1=（－ 1＋ j） 出發(fā)的根軌跡的出射角為 j)(p)(pp)(p)k(θ ?????????????? 13212180 1111? 將由圖 42 中測得的各向量相角的數(shù)值代入并取 k=0，則 得到 ??? ? 系統(tǒng)的根軌跡如圖 42所示。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(3( )4)(2()()( 2 ?? ??? sss ssKsHsG g 因為 Kg0, 先做出常規(guī)根軌跡。 90176。 45176。確定了實根以后，運用長除法可確定其余根。 設 0)())(()( ????? sBsssD 運用多項式的長除法得 8 1 9 )( 2 ??? ssB 解得 3 ,3 js ?? 例 44 已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )204)(4()()( 2 ???? ssss KsHsG g 試概略繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 （ 3）根軌跡的漸近線有四條，與實軸的交點及夾角分別為 σ a=－ 2； φ a=177。 （ 4）復數(shù)開環(huán)極點 p3,4=－ 2177。由分離點方程 0421421411 ????????? jdjddd 解得 21 ??d ， 623,2 jd ??? 因為 21 ??d 時， 064??gK 623,2 jd ??? 時， 0100??gK S 平面 j ω σ 0 1 2 3 4 圖 43 例 43 系統(tǒng)的根軌跡 所以， d d d3 皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點。概略繪制 系統(tǒng)根軌跡如圖 44 所示。 解 由圖知在低頻段漸近線斜率為 0，故系統(tǒng) 為 0 型系統(tǒng)。 在 ? = ?2 處，斜率從 0 dB/dec 變?yōu)??20 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 由 20lgK = 30 得 K = 。 (3) 將系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，可得系統(tǒng)新的開環(huán)傳遞函數(shù) )1200)(1(1000(1??? ssssG ） 其截止頻率 ?c1 =10?c =10 而 ???????? r c t a na r c t a n90)( 1111 ccc ???? ? 1 =180?+ ?1(?c1) = ? ? 1 = ? 系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變。 解 將傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解 )1)(( 10)( ????? ssssG ))(1( )]([10)( 22 2??? ??? ?? ???? jjG 幅相曲線的起點和終點 ?????? 2 7 0)(lim 0 ?? jG ?????? 2 7 00)(lim ?? jG 8)]([lim 0 ??? ?? jGR e 當 ?為有限值時， Im[G(j?)] ? 0，幅相曲線與負實軸無交點。由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知， s 右半平面系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù) p =1，而幅相 曲線起于負實軸，且當 ? 增大時間上離開負實軸，故為半次負穿越， N = ?1/2。低頻段漸近線斜率為 ?20，且過 (1， 40dB)點。 ?????? 90)(lim 0 ?? jG ?????? 3600)(lim ?? jG ??????? 5 3)(lim 2 ?? jG ??????? 3 3)(lim 2 ?? jG 系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖 572 所示。 因為 p = 0，由開環(huán)幅 相曲線知 N = ?1， s 右半平面閉環(huán)極點的個數(shù) z = p ?2N = 2 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 解 (1) sseRk? 容許的位置誤差希望的輸出速度? 62 60/3602 ????? 故 ))(( 6)( ??? ssssG ????????????????????6lg206lg206lg20)(L 5522??????? 令 L(?)=0，可得 ?c = ??????????? ) rc t a n () rc t a n (90180 cc ??? 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 解 ??ke 16?k ????????????????????6lg206lg2016lg20)(L 10010011??????? 令 L(?)=0 ，可得 ?c = 4 ?????????? 4512) r c t a n (a r c t a n90180 cc ??? 不滿足性能要求，需加以校正。 令 ??????? 455*)( ??? c 得 ?????????? 45) r c t a n (a r c t a n90 cc ?? ??????? 45) rc t a n (a rc t a n cc ?? 所以 ??c? 根據(jù) 0)(lg20 ???? cLb ? 得 b = 再由 cbT ???? 得 T = 故選用的串聯(lián)遲后校正網(wǎng)絡為 ssTsb T ssG c )( ?????? 驗算 )()(1 8 0 ccc ????? ?????????? ) r c t a n (a r c t a n90) r c t a n () r c t a n (180 cccc ???? ???????????????? = ? ? 40? 驗證 h 校正后系統(tǒng)滿足 h* =10dB 時所對應的頻率為 ?1 = ，則 ?(?1)= ?? ? ?180? 滿足幅值裕度條件，所以 ssssssGsGsG c ))(1( 5)()()( ???????? 例 64 在圖 628 所示系統(tǒng)中 ，當 k =10， T = 時，截止頻率 ?c = 5。 例 65 設復合控制系統(tǒng)如圖 629 所示，圖中 Gn(s)為順饋傳遞函數(shù)， Gc(s)=kt?s為測速電機及分壓器的傳遞函數(shù)， G1(s)和 G2(s)為前向通路中環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)， N(s)為可測量的干擾。 (2) 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩， K 的臨界穩(wěn)定值是多少。圖 71 繪出了 K=15 時的 G(j?)曲線與 ?1/N(A)曲線，兩曲線交于（ ?1， j0）點。 解： 由圖 72 可知，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖不是描述函數(shù)應用時的典型結(jié)構(gòu)，因此首先變換成典型結(jié)構(gòu)。顯然兩曲線的交點處決定了一個穩(wěn)定的自振蕩。代入上式，得階躍輸入下系統(tǒng)的誤差方程： 0??? KeeeT ??? 由此繪制相軌跡曲線，奇點為（ 0， 0）。例如穩(wěn)態(tài)誤差為零，當 R=1 時，超調(diào)量如圖所示等。圖 77(a)、 (b)分別對于欠阻尼和過阻尼情況，給出了系統(tǒng)在初始狀態(tài) c(0)=0， c? (0)=0 下斜坡響應的相平面圖。 [例 74] 采用非線性反饋校正的二階隨動系統(tǒng)如圖 78 所示，試分析線性反饋校正在改善系統(tǒng)動態(tài)性能方面的作用。當系統(tǒng)沒有局部反饋時， 212/1 KTK?? ，阻尼比顯然較小，階躍響應曲線如圖 79 中的曲線 1，超調(diào)量很大。該例題中的死區(qū)特性可以用如圖 710 所示的線路