【正文】 解 (1) 由系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可知，系統(tǒng)存在兩個(gè)交接頻率 和20，故 )120/)((( ??? sss ksG ） 且 010lg20 ?k 得 k = 10 所以 )120/)(( 10( ??? ssssG ） (2) 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為 ??????????3220lg201lg2010lg20(????）L 20??????? 從而解得 ?c = 1 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性為 20a r c t a r c t a n90)( ???? ????? ?(?c) = ?? ? =180? ? ?(?c) = ? 故系統(tǒng)穩(wěn)定。 例 55 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )( 10)( 2 ???? ssssG 試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于 ? =1，故需從幅相曲線上 ? = 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)起，逆時(shí)針補(bǔ)畫半徑為無窮大的 ?/2 圓弧。 解 由題給傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的交接頻率依次為 1， 2， 10， 20。 解 開環(huán)系統(tǒng)有虛極點(diǎn) s = ?j2。作虛圓弧如圖 572 所示。 (2) 前向通路中串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò) Gc (s)=(1+)/(1+)，試計(jì)算相位裕度。若使校正后相位裕度 ?*不低于 45?，截止頻率 ?c* 2(rad/s)，試設(shè)計(jì)校正系統(tǒng)。 解 選 k = 5 對(duì)于校正前的系統(tǒng) ????????????????????5lg205lg205lg20)(L 2211?????? 令 L(?)=0 ，可得 ?c = ? = 180? ? 90? ? arctan?c ? arctan(?c) = ??? ? * 不滿足性能要求，選用遲后校正網(wǎng)絡(luò)加以校正。 設(shè) 1 )1()( 111 ??? s sTksGc 當(dāng) ?c = 5 時(shí)， ?c1(?c) = arctan(T1?c) ? arctan(?c) jTjkL cc 51 )15(lg20)( 111 ? ??? 由 ?c1(?c)= ?(?c) ? 45? 可得 arctan(T1?c)= arctan(?c) ? 45? 即 T1 = 另外，在增大 ? 的同時(shí)，要 Gc (s)?s=j? 保持的幅值不變，才能不改變系統(tǒng)截止頻率，因此 Lc1(?c) = Lc (?c) jjjTjk 51 )(10lg2051 )15(lg20 11 ? ??? ? 從而解出 k1 = 。 (1) K=15 時(shí)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 系統(tǒng)線性部分的頻率特性為： ] 0 0 [)]([))(()(242????????? ??????? ?jksskjGjs 令 Im[G(j?)]=0 即 1??2=0，得 G(j?)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的 頻率為： sra d / 1 ??? 代 Re[G(j?)]，可求得 G(j?)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為： )]([ kkjGR e ?????? ????? (1) 將 K=15 代入上式，得 Re[G(j?)]= ?1。 （ 2）欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩，由于 G(s)極點(diǎn)均在左半 s 平面，故根據(jù)奈氏判據(jù)知，應(yīng)使 G(j?)曲線不包圍 ?1/N(A)曲線，即 ??? k 故 K 的臨界穩(wěn)定值為： ???M A XK [例 72] 非線性系統(tǒng)如圖 72 所示，試用描述函數(shù)法分析周期運(yùn)動(dòng) 的穩(wěn)定性，并確定自振蕩的振幅和頻率。 由結(jié)構(gòu)圖知，非線性特性是滯環(huán)繼電特性： M=1， h=,故 )(14 4)(14)(2222????????hAAjAAAMhjAhAMAN???? 圖 72 例 72 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 （ a） （ b） 圖 73 例 71 結(jié)構(gòu)圖變換 畫出 ?1/N(A)曲線與 G(j?)曲線如圖 74 所示， ?1/N(A)曲線是一條虛部為?j?h/4M=? 的直線。 解 由于是用相平法求 r(t)作用下的系統(tǒng)的響應(yīng)，故相平面取為 e— e? 平面，由結(jié)構(gòu)圖可寫出系統(tǒng)的微分方程為： KeccT ????? 因 e=r?c，有 rrTKeeeT ?????? ???? 1．階躍響應(yīng) 此時(shí) r(t)=R?1(t)，則當(dāng) t0 時(shí)，有 r(t)=R ，0??rr ??? 。若具有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)（過阻尼），則其相軌跡如圖 76(b)，分析相平面圖即可了解系統(tǒng)響應(yīng)的性質(zhì)。由此可知此時(shí)相軌跡的奇點(diǎn)為（ v/K， 0）。 應(yīng)當(dāng)特別指出，由于在非線性系統(tǒng)中，其非線性特性往往可以分段加以線性化，而在每一個(gè) 分段中，系統(tǒng)都可以用線性微分方程描述，因此線性系統(tǒng)在相平面分析是非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。 這時(shí)的阻尼比 ? 較大，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 79 中的曲線 2，無超調(diào)，但響應(yīng)速度很慢。當(dāng)輸出足夠大時(shí)（ cΔ），局部反饋投入， c(t)按曲線 2 的規(guī)律繼續(xù)上升，從而形成響應(yīng)曲線 3，即快速又平穩(wěn)的響應(yīng)。 圖 79 例 74 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 圖 710 死區(qū)非線性特性的實(shí)現(xiàn) 。 綜上所述，在多數(shù)情況下，控制系統(tǒng)中存在的非線性因素，對(duì)系統(tǒng)的控制性能會(huì)產(chǎn)生不利的影響。 接入非線性反饋校正之后，它的階躍響應(yīng)曲線如圖 79 中的曲線 3，響應(yīng)快，又沒有超調(diào)。 （ a）欠阻尼 （ b）過阻尼 圖 76 階躍輸入時(shí)的相平面圖 （ a）欠阻尼 （ b）過阻尼 圖 77 斜坡輸入時(shí)的相平面圖 圖 78 采用非線性反饋校正的二階隨動(dòng)系統(tǒng) 解 由圖可知，非線性反饋校正裝置為死區(qū)特性 ???????????????????ccccctx 0)( 即在輸出 c(t)信號(hào)較小時(shí)沒有局部反饋，只在輸出 c(t)較大時(shí)才接入局部。由于 e? (0)= r? (0) ?c? (0)=v，故相軌跡的起點(diǎn)為（ 0， v）。 圖 74 例 71 系統(tǒng)的G(j?)和 ?1/N(A)曲線 圖 75 典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 2．斜坡響應(yīng) 設(shè)輸入信號(hào)為 r(t)=vt， t 0 時(shí)， 0,0 ??? rvr ??? ，代入系統(tǒng)的誤差方程，得斜坡輸入下的誤差方程為 vKeeeT ?????? 它可以寫成 0)( ???? KveKeeT ??? 作變量置換 e?=e?v/K 則誤差 e?的方程為 0?????? eKeeT ??? 與階躍輸入的誤差方程相同。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 c(0)=0， c? (0)=0，則誤差的初始條件為 e(0)=R， e? (0)=0。 )1(10110 )1(10)(22 ?????????????jjjjG? 令 )1( 10)]([ 2 ????? ???jGI m，試探法解下列方程： ?(1+?2)=1 得 ? ≈ 4（ rad/s） 將 ?=4 代入 Re[G(j?)]： 1 10 2 ??? ? 令 Re[G(j?)] = Re[?1/N(A)] ? = ? 22 4 ?A? 得 A= 故自振蕩的振幅 A=，頻率 ? =4rad/s。由于在用描述函數(shù)分析穩(wěn)定性和自振蕩時(shí)，不考慮 r(t)的作用，故設(shè) r(t)=0。顯然，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是下一個(gè)穩(wěn)定的自振蕩，根據(jù)交點(diǎn)處的幅值相等， 即： 圖 71 例 71 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 圖 71 例 71 系統(tǒng)的G(j?)和 ?1/N(A)曲線 1)1(111[a rc s in4 2?????AAA? 求得與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振幅 A=。 解 查表 71 可知飽和非線性特性的描述函數(shù)為 )( ])(1[ ar cs i n2)( 2 aAAaAaAakAN ???? ? 其中 k=2， a=1，于是 ???????????????????21111a r cs in4)(1AAAAN? 起點(diǎn) A=1 時(shí) ， ?1/N(A)=?。若 G1(s)= k， G2(s)=1/s2，試確定 Gn(s)， Gc(s)和 k1，使 系統(tǒng)輸出量完全不受干擾 n(t)的影響，且單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量等于 25%，峰值時(shí)間為 2s。若要求?c 不變，如何選擇 k ， T 值，才能使系統(tǒng)相位裕度提高 45?。 系統(tǒng)中頻段以斜率 ?40dB/dec 穿越 0dB 線，故選用超前網(wǎng)絡(luò)校正。 (2) 串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò) Gc (s) = (1+) / (1+) ssssssG ))(( 6)( ?????? ??????????????????????????????????????????lg20lg20lg206lg206lg20)(L 3????????????? 令 L(?)=0，可得 ?c = ) rc t a n () rc t a n (90180 cc ??? ?????? ?????? ) rc t a n () rc t a n ( cc ?? 可見串入超前校正網(wǎng)絡(luò)后， ? 增大，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。 第六章習(xí)題及答案 例 61 設(shè)火炮指揮系統(tǒng)如圖 61 所示，其開環(huán)傳遞函數(shù) ))(()( ??? sss ksG 系統(tǒng)最大輸出速度為 2r/min ，輸出位置的容許誤差小于 2?。 由于 ? =1，從幅相曲線上對(duì)應(yīng) ? = 0 的點(diǎn)起逆時(shí)針補(bǔ)作 90?且半徑為無窮大的虛圓弧。 系統(tǒng)相頻特性按下式計(jì)算 20a r c t a n10a r c t a na r c t a n2a r c t a n90)( ?????? ??????? 作系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性于圖 571。于是 s 右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù) z = p ?2N = 2 表明系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。由于慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) T1 = ，小于不穩(wěn)定性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) T2 = 1，故