【正文】 , 2 ) , ( 7 , 2 ) , ( 8 , 2 ) ( 4 , 3 ) , ( 5 , 3 ) , ( 6 , 3 ) , ( 7 , 3 ) , ( 8 , 3 )B??? ????230 , 8 8 8 56BSnn? ? ? ? ?不過由于 S2有較多的元素，不宜一一列出，故可用以下兩方法計算 P(B) ? ? 3 5 5 3 158 7 8 7 28PB? ? ? ? ? ?紅 白 白 紅分 步 法 計 算 ：? ? 1/ 3 / 8 ,ASP A n n??? ?23 0 1 5,5 6 2 8BSnPBn? ? ?32 例 2： 從一副撲克牌（ 52張）中任取 13張牌，設 A=“13張牌中恰有2張紅桃、 3張方塊” B=“13張牌中至少有 2張紅桃” C=“13張牌中缺紅桃” D=“13張牌中缺紅桃但不缺方塊”，求以上事件的概率。 167。求該廠產(chǎn)品的報廢率。 1()njjP A B?? ?不 相 容50 * 全概率公式可由以下框圖表示： 設 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,?,n 易知： 11njjp???S P1 P2 . . . B2 B1 Bn . . . q2 q1 qn A ? ? ? ? ? ?1|n jjjP A P B P A B?? ?Pn ? ? ? ?|jjP B P B A稱 為 先 驗 概 率 ， 而 稱 為 后 驗 概 率 。從中取 2 次 ,每次取 1件，設 Ai={第 i次取到正品 }， i=1,2 2 1 27( | ) ( )9P A A P A? ? ?2 1 28( | ) ( )10P A A P A??不放回抽樣時， 放回抽樣時， 即放回抽樣時， A1的發(fā)生對 A2的發(fā)生概率不影響 同樣， A2的發(fā)生對 A1的發(fā)生概率不影響 稱 A1與 A2是獨立的 81057 注意： 1 兩 兩 獨 立 不 能 推 出 相 互 獨 立1 2 1 21 2 1 2, , , , , ,2 , ( ) ( ) ( ) ( )kknni i i i i iA A A A A A nk n P A A A P A P A P A? ? ?相 互 獨 立 定 義 ： 設 為 個 隨 機 事 件 ，若 對 均 有 ：3 實 際 問 題 中 ， 常 常 不 是 用 定 義 去 驗 證 事 件 的 獨 立 性 ， 而 是 由 實 際 情 形 來 判 斷 其 獨 立 性 。 4. 甲、乙兩人同時猜一謎，設 A={甲猜中 }， B={乙猜中 }， 則 A∪ B={甲、乙兩人至少有 1人猜中 }。 。 此結論成立嗎？1.“ 事件 A不發(fā)生，則 A=Ф” ,對嗎？試舉例證明之。 解：一般把試驗的最后結果先用事件表示出來，故設 A=“有放回地取 k次，沒有取到黑球” ,再考慮引起 A發(fā)生的前導事件組，設 Bi=“盒中裝有 i只白球”， i=0， 1， 2， … ，n 1() 1iPB n? ?則0( ) ( ) ( )niiiP A P B P A B?? ?由 全 概 率 公 式 ：1 [01n???? ?1/ kn ? ? ?2/ kn ?? ? ?/]knn0( ) ( )()12( ) ( )knnn n kkiiiP B P A B nP B AnP B P A B??????由 貝 葉 斯 公 式 ：? ?01 /1n kiinn?? ? ?01 ()1niiP A Bn?? ? ?55 例 5：甲袋中裝有 10只球，其中 7只紅球， 3只白球，而乙袋中原來是空的，現(xiàn)從甲袋中任取三球放入乙袋，求以下概率： （ 1）從乙袋中任取一球是紅球 （ 2）從乙袋中任取一球后，放回，再取一球是紅球 （ 3）從乙袋中任取一球后，不放回，再取一球是紅球 （ 4）從乙袋中任取一球是紅球，不放回，再取一球是紅球 解 ： （ 1）（ 2）（ 3）都可以用全概率公式求解，但注意本題乙袋原來是空的 就是說乙袋中紅球比例成份同甲袋！ 所以 （ 1）（ 2）（ 3）的答案均為 (4) 設 Ai=“第 i次從乙袋中取得紅球”， i=1,2 P(A1)= Bi=“從甲袋中取的 3球中有 i只紅球”， i=0,1,2,3 3110( ) ( ) ( )iiiP A P B P A B????3073310CCC ?0373310CCC ?1273310CCC ?2173310CCC ?0? 13? 23?71 10?31 2 1 20( ) ( ) ( )iiiP A A P B P A A B????3073310CCC ?0373310CCC ?1273310CCC ?2173310CCC ?0? 0? 2132?? 7115?12211()( ) ?()P A AP A APA??217 1 2()10 1 3P A A????其 實 也 可 以 按 前 面 的 方 法 解 ： 因 為 甲 乙 兩 袋 中 的 紅 球 比 例 一 樣 的 ，所 以 可 以 直 接 從 甲 袋 中 考 慮 ：2356 167。 49 定理：設試驗 E的樣本空間為 S， A為 E的事件。 條件概率的計算有兩種方法 1. 樣本空間改變法，直接計算 2. 利用定義公式， P(AB)/P(A) 如前例中， ? ? a a 1，P A B = a + b a + b 1? ? aP A = a + b( ) 1()( ) 1P A B aP B AP A a b?? ? ???41 解：設 A=“所取 13張牌中至少有一張紅桃”， Ｂ =“所取 13張牌中恰有兩張紅桃” ? ? ? ?? ?P A BP B A PA?寫 難 慮由 于 直 接 出 所 求 概 率 有 度 ， 考 用 公 式 ：例：從一副 52張的撲克牌中任取 13張，若已知這 13張牌中已知至少有一紅桃，問恰有兩張紅桃的概率多少？ ? ?PA ?其 中 ， 133913521CC?2 1113 391352CCC? ? ?P A B ?那 么 ，? ? ? ?A B , P A B P B? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 11 3 3 91 3 1 35 2 3 9P A B P B CCP B AP A P A C C? ? ? ??42 二、概率的乘法公式 對條件概率公式變換一下就可得到下面的乘法公式（假設條件概率都有意義）： ( ) ( ) ( | ) ( | )P ABC P A P B A P C AB?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | )P A B P A P B A P A B P B P A B? ? ? ?或( ) ( ) ( | )( ) ( ) ()(( ) ) )(P AB C P A P BC AP A P B AP A P BP C B APAA CB???()( ) ( | )( ) ( ) ( )P A B CP A B P C A BP A P B A P C A B??注 意 ：43 例 1：設袋中有 r只紅球， t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入 a只與所取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。 k =1,2,… ,a+b． 解 1： kA k a b n? ? ?設 “ 第 個 人 取 到 紅 球 ” 記① ② … n ① —— a , , , ,12 kn???? ???① ② … n ( 1 ) !()( ) !ka a b aPAa b a b??????號球為紅球，將 n個人也編號為 1,2,?, n． 與 k無關 可設想將 n個球進行編號： 其中 視 的任一排列為一個樣本點，每點出現(xiàn)的概率 相等。 30 注意判斷等可能概型的兩個條件 E1：拋兩枚硬幣，觀察正反面情況 E2：拋兩枚硬幣，觀察正面向上數(shù) S1={正正，正反，反正，反反 } S2={0， 1， 2} 可見，兩者樣本空間中樣本點均有限 S1中的 4個樣本點是等可能發(fā)生的，易知為 1/4 S2中的 3個樣本點發(fā)生的可能性是不同的，其中“ 1”發(fā)生的概率為 2/4 31 例 1：一袋中有 8個球，其中 3個為紅球， 5個為白球，求任取一球是紅球（ A）的概率。 2 ( ) 1PS ?。 3 頻率與概率 (一 )頻率 定義：記 其中 — A發(fā)生的次數(shù) (頻數(shù) )； n— 總試驗次 數(shù)。 隨機事件 (一 )樣本空間 定義：隨機試驗 E的所有結果構成的集合稱為 E的 樣本空 間 ，記為 S={e}， 稱 S中的元素 e為 樣本點 ，一個元素的單點集稱為 基本事件 ． S={0,1,2,?} S={正面，反面 } S={ x|a≤x≤b } ?某公交站每天 10時候車人數(shù) ?記錄一批產(chǎn)品的壽命 x 例： ? 一枚硬幣拋一次 ?一口袋中有 10個大小相同的球，其編號為1～ 10，若取一球后，放回，再取一球，則取球情況如何？ S={(i,j)|i,j=1,2, ?10} 9 (二 ) 隨機事件 一般我們稱 S的子集 A為 E的 隨機事件 A，當且僅當 A所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件 A發(fā)生。 2 樣本空間 12 S A B { | }A A B x x A x B? ? ? ?與 B 的 差 事 件 且?