【正文】 A BC45 35108 3 530? ?P A B C ?28 例 5：已知 P(A)=P(B)=P(C)=,且 A、 B、 C至少有兩個發(fā)生的概率為 ， A、 B、 C都發(fā)生的概率為 ，求以下概率（ 1） A、 B、 C至少有一個不發(fā)生 （ 2） A、B、 C不多于一個發(fā)生（ 3） A、 B、 C不發(fā)生。若從袋中不放回取兩球，求兩種顏色的球都被取到（ B）的概率。 對 第 一 個 球 來 說 可 以 投 入 個 盒 子 中 ，有 種 方 法 ， 同 樣 對 其 余 的 球 ， 每 球 均 有 種 方 法 ， 故 nsNN N n N?? ?( 1 ) 2 ,3 ,. .. , 1個 球 放 入 第 個 盒 子 中 共 有 nn N N? ? ? ?1 nAnSNnPAnN???? ? ? ? ? ?12 1( 2 ) = ,niNA i i A A P AN???? ? ? ????設 “ 第 盒 為 空 ” , = 1 , 2 , 則 PP? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2P B P A A P A P A P A A? ? ? ?12 nNN?????????( 3 ) 1 2 1 .. . + 1N N n N n第 個 球 有 種 落 法 ， 第 個 球 有 種 落 法 ， ， 第 個 球 有 種 落 法 , 故? ? ? ? ? ?1 2 1 nCNn N N N N n A? ? ? ? ? ?? ? nCN nSnAPCnN??50 :個 兩利 用 此 模 型 可 求 出 人 中 至 少 有 人 生 日 相 同 的 概 率2 nNN???????5 0 5 0365= 3 6 5 = 5 0 / 3 6 5 9 7 %N n A ?設 ， 則 所 求 概 率 為 : 134 解：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么， 12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 = 000 3. 例 4：某接待站在某一周曾接待 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的 ? 人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的” (稱之為實際推斷原理 )。 可以是①，② …中的任意一球 a ?36 解 3： 將第 k次摸到的球號作為一樣本點： , , , ,12 kn???? ???11( ) /aak n naP A C Cab??? ? ? ?( ) 1 2kPA??()k aaPA n a b? ? ? ?此值不僅與 k無關，且與 a，b都無關，若 a＝ 0呢？對嗎？ 為什么？ 原來這不是等可能概型 11anC ??anCkA總樣本點數(shù)為 ，每點出現(xiàn)的概率相等，而其中有 個 樣本點使 發(fā)生， ① ，②， … ， n S＝ { }， kA ?① ，②， … ， a { } kA ?{紅色 } 解 2： 視哪幾次摸到紅球為一樣本點 ： 解 4： 記第 k次摸到的球的顏色為一樣本點： S＝ {紅色 ,白色 }， ? 結論：以上概率與第幾次取球無關，也與放回、不放回取球無關，其概率均為原來紅球的比例。 ? ? aP A = a + b ? ? aP B =a + b解：由前面的知識得 A， B發(fā)生的概率為： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?()PB不 相 容實 際 上 我 們 也 可 以 通 過 以 下 方 法求 得P B = P B A A = P A B A B = P A B + P A Ba a 1 b a a= + =a + b a + b 1 a + b a + b 1 a + b??38 B A S 當首次摸到紅球后，袋中各色球比例發(fā)生了變化， 即有 a1個紅球， b個白球，此時摸到紅球的概率 應不同于 P(B)，因為當 A發(fā)生后樣本空間發(fā)生了變化。 =iiA i iAi解 ： 設 “ 第 次 取 到 紅 球 ” ， =1,2,3,4則 就 表 示 “ 第 次 取 到 白 球 ”1 2 3 4 1P ( A A A A ) = P ( A )21P ( A A ) 13 2P ( A AA ) 1243P ( A AAA )r + ar + t + a?tr + t + 2 a ?t + ar + t + 3 ar=r + t?由 乘 法 公 式 ，44 例 2：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為 70%，余下 的 30%的產(chǎn)品要調試后再定，已知調試后有 80%的產(chǎn)品可以出廠， 20%的產(chǎn)品要報廢。 1 1 2 1 2 3A A A A A A A?1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A P A A A? ? ?1 1 2 1 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? 0 92? ? ? ? ? ?＋1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? ?1 0. 4 0. 2 0. 1 0. 99 2? ? ? ? ?2121( | )1 ( | )1 0 .8 0 .2P A AP A A??? ? ?解：設 Ai={ 這人第 i次通過考核 }， i=1,2,3 A={ 這人通過考核 }， 亦可： 1 2 3A A A?可 證46 1 2 3 1 1 2 1 1 3A A A A A A A A A?證 明 ：1 2 3A A A ? 1A 1 1 2()A A A 1 2 1 2 1 2 1 2 3()A A A A A A A A A1 2 11 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32A A A AA A A A A A A A A A A A A?1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3( ) ( )A A A A A A A A A A A A A A A A A?1 1 2 1 2 3A A A A A A?47 例 4： 100個零件中有 10個次品，現(xiàn)無放回地取出，求： （ 1）第 1次取得正品后，第 2次取得正品的概率 （ 2）第 2次均取得正品的概率 （ 3）第 3次才取得正品的概率 （ 4）第 2次取得正品的概率 iAi設解 ： = {第 i次 取 得 正 品 }, = 1, 2, 321(1 ) ( )P A A ?899912( 2 ) ( )P A A ?1 2 1( ) ( )P A P A A1 2 3( 3 ) ( )P A A A ? 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( ) ?P A P A A P A A A ?3 1 2( ) ?P A A1 2 1( 4 ) ( ) ( ) 0 .9 ,A P A P A??由 于 不 知 道 是 否 已 發(fā) 生 ， 由 前 面 所 學 知 識 ， 或2 2 1 1 1 2 1 2( ) ( ( ) ) ( )P A P A A A P A A A A? ? ?不 相 容1 2 1 2( ) ( )P A A P A A?1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )P A P A A P A P A A? ? ?9 0 8 9 1 0 9 0 0 . 91 0 0 9 9 1 0 0 9 9? ? ? ?9 0 8 9 0 .8 0 91 0 0 9 9? ? ?48 三、全概率公式與 Bayes公式 定義：設 S為試驗 E的樣本空間， B1,B2,?,B n 為 E的一組事件。 B1,B2,?,B n為 S的一個劃分， P(Bi)0， i=1,2,?,n ； 則稱： 1( ) ( ) ( | )( | )() ( ) ( | )i i ii njjjP B A P B P A BP B APA P B P A B????1( ) ( ) ( | )njjjP A P B P A B????為 全概率公式 12( ) ( ) ( ( ) )nP A P A S P A B B B? ? ? ? ?證 明 ：1( ) ( | )njjjP B P A B????乘 法 公 式B1 B2 Bn S A 定理：接上定理條件， 一般取 B1,B2,…,B n為 A的前導事件組 稱此式為 貝葉斯公式。 ? ?1 ( ) ( ( ) )P A P A B B?( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A B P B P A B??0 .8 0 .2 0 .2 0 .9 3 4 %? ? ? ? ?? ? ( ) ( )( ) 82 ( | ) ( ) ( ) 1 7P B P A BP A BP B A P A P A? ? ?全概率公式 ( ) ( )P A B P A B??解：設 A ={乙出差 }， B ={甲出差 } A B A B與 不 相 容SBB與 組 成 的 一 個 劃 分 。 6 獨立性 例：有 10件產(chǎn)品，其中 8件為正品， 2件為次品。 ( ) ( ) ( ) ( )C A B P C P A P B P A B? ? ? ?則 ： ，( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 . 7 0 . 8 0 . 7 * 0 . 8 0 . 9 4P C P A P B P A P B? ? ? ?? ? ? ? 解： 設 A={甲擊中 },B={乙擊中 } C={目標被擊中 } ∵ 甲、乙同時射擊，其結果互不影響， ∴ A， B相互獨立 62 例：有 4個獨立元件構成的系統(tǒng) (如圖 )，設每個元件 能正常運行的概率為 p，求系統(tǒng)正常運行的概率。 2. “ 兩事件 A和 B為互不相容，即 AB=Ф,則 A和 B互逆”，對嗎？ 反之成立嗎？試舉例說明之。 A和 B相互獨立？ 什么條件下稱 n個事件 A1,A2,?, An相互獨立？ A和 B為兩事件，且 P(A)≠0,P(B)≠0,問 A和 B相互獨立、 A和 B互不相容能否同時成立？試舉例說