【正文】 第 i次取到正品 }， i=1,2 2 1 27( | ) ( )9P A A P A? ? ?2 1 28( | ) ( )10P A A P A??不放回抽樣時， 放回抽樣時， 即放回抽樣時， A1的發(fā)生對 A2的發(fā)生概率不影響 同樣， A2的發(fā)生對 A1的發(fā)生概率不影響 稱 A1與 A2是獨立的 81057 注意： 1 兩 兩 獨 立 不 能 推 出 相 互 獨 立1 2 1 21 2 1 2, , , , , ,2 , ( ) ( ) ( ) ( )kknni i i i i iA A A A A A nk n P A A A P A P A P A? ? ?相 互 獨 立 定 義 ： 設 為 個 隨 機 事 件 ，若 對 均 有 ：3 實 際 問 題 中 ， 常 常 不 是 用 定 義 去 驗 證 事 件 的 獨 立 性 ， 而 是 由 實 際 情 形 來 判 斷 其 獨 立 性 。52 例 2：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有 5% 的假陽性及 5%的假陰性：若設 A={試驗反應是陽性 }， C={被診斷患有癌癥 } 則有： 已知某一群體 P(C)=，問這種方法能否用于普查？ ( | ) 5 % , ( | ) 5 % ,P A C P A C??()( | )()P A CP C APA?( ) ( | ) 0 . 0 8 7( ) ( | ) ( ) ( | )P C P A CP C P A C P C P A C????若 P(C)較大，不妨設 P(C)= 推出 P(C|A)= 說明這種試驗方法可在醫(yī)院用 解：考察 P(C|A)的值 若用于普查， 100個陽性病人中被診斷患有癌癥的 大約有 ，所以不宜用于普查。 1()njjP A B?? ?不 相 容50 * 全概率公式可由以下框圖表示： 設 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,?,n 易知： 11njjp???S P1 P2 . . . B2 B1 Bn . . . q2 q1 qn A ? ? ? ? ? ?1|n jjjP A P B P A B?? ?Pn ? ? ? ?|jjP B P B A稱 為 先 驗 概 率 ， 而 稱 為 后 驗 概 率 。若： 則稱 B1,B2,?,B n為 S的 一個劃分 ,或稱為 一組完備事件組 。求該廠產(chǎn)品的報廢率。 ? ? ? ?,. 1= 1aP B A P B A ab ???把 這 樣 的 概 率 記 為 顯 然 一 般 地 ， 由 下 圖 得? ? ? ?? ?A B SABA A SP A Bn / nnP B A = = =n n / n P A39 定義： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P BC A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??P ( A B )P ( B | A ) =P ( A )( ) 0PA ?一、條件概率 由上面討論知， P(B|A)應具有前面所述概率的所有性質(zhì)。 167。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。 解： ? ? ? ?1 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 1 , 2 , 3 ,SA??()PB? 超 幾 何 分 布 概 率 公 式 ：113528CC 15==C 2 8( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 1 , 7 ) , ( 1 , 8 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 2 , 8 ) ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 3 , 7 ) , ( 3 , 8 )( 4 , 1 ) , ( 5 , 1 ) , ( 6 , 1 ) , ( 7 , 1 ) , ( 8 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 2 ) , ( 7 , 2 ) , ( 8 , 2 ) ( 4 , 3 ) , ( 5 , 3 ) , ( 6 , 3 ) , ( 7 , 3 ) , ( 8 , 3 )B??? ????230 , 8 8 8 56BSnn? ? ? ? ?不過由于 S2有較多的元素，不宜一一列出，故可用以下兩方法計算 P(B) ? ? 3 5 5 3 158 7 8 7 28PB? ? ? ? ? ?紅 白 白 紅分 步 法 計 算 ：? ? 1/ 3 / 8 ,ASP A n n??? ?23 0 1 5,5 6 2 8BSnPBn? ? ?32 例 2： 從一副撲克牌（ 52張）中任取 13張牌，設 A=“13張牌中恰有2張紅桃、 3張方塊” B=“13張牌中至少有 2張紅桃” C=“13張牌中缺紅桃” D=“13張牌中缺紅桃但不缺方塊”，求以上事件的概率。 解 ： (1) ()P A B C 1 ( )P ABC?? 1 ? ? ?(2) P(A、 B、 C不多于一個發(fā)生 )=1P(至少有兩個發(fā)生 ) = = (3) 0. 3 ( )P AB AC BC?( ) ( ) ( ) 2 ( )P AB P AC P BC P AB C? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 * AB P AC P BC? ? ? ? ? ?( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A BC P A B C P A P B P CP A B P A C P B C P A B C? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 0. 4 0. 4 0. 4 0. 4 0. 05 0. 15? ? ? ? ? ? ?29 167。 , . . . , , . . . ,22 概率的性質(zhì)： ( 1 , 2 , ...),nAn? ? ?證 ： 令1, , .n i jnA A A i j??? ? ? ? ? ?111( ) ( ) ( )nnnnnP P A P A P? ???????? ? ? ? ? ????? ??1 ( ) 0P ??( ) 0. ( ( ) 0)PP? ? ? ? ?( ) 0( ) 1P A AP B B S? ? ? ?? ? ?注 意 ： 不 能 ；同 理 ： 不 能 .112 , , 1 , 2 , . . . , , , ( ) ( )n ni j i iiiA A i j n i j P A P A???? ? ? ? ?。 若 ,? , 兩兩互不相容，則 試驗 序號 n =5 n =50 n =500 nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 表 1 例：拋硬 幣 出 現(xiàn) 的正面的 頻 率 20 表 2 實驗者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12022 6019 K?皮爾遜 24000 12022 羅曼諾夫斯基 80640 39699 21 (二 ) 概率 定義 1： 的穩(wěn)定值 p定義為 A的概率，記為 P(A)=p 定義 2：將概率視為測度，且滿足： 稱 P(A)為事件 A的 概率 ，以上為概率的三個公理 。 An() AnfAn n? ；()nfA1n；( ) 2 8 25%nfA ??()nfA?某人一共聽了 8次“概率論”課，其中有 2次遲到，記 A={聽課遲到 }，則 頻率 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度。? 當 AB= Φ時，稱事件 A與 B不相容或互斥。 為方便起見，記 Φ 為 不可能事件 ， Φ 不包含 任何樣本點。 它具有以下特性： 1. 可以在相同條件下重復進行 2. 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 3. 進行試驗前并不知道哪個試驗結(jié)果會發(fā)生 例： ? 拋一枚硬幣，觀察試驗結(jié)果； ? 對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)； ? 對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓； ? 對聽課人數(shù)進行一次登記； 8 167。 1 隨機試驗 ?確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定 ?不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定 確定性現(xiàn)象 不確定性現(xiàn)象 —— 確定 —— 不確定 —— 不確定 自然界與社會生活中的兩類現(xiàn)象 例： 向上拋出的物體會掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會中獎 7 概率統(tǒng)計中研究的對象：隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗。 S={0,1,2,?} ； 例： 觀察 89路公交車浙大站候車人數(shù)， 如果將 S亦視作事件，則每次試驗 S總是發(fā)生， 故又稱 S為 必然事件 。121121,ninininiA A A AA A A A????????： 至少有一發(fā)生： 同時發(fā)生S B A S A B S B A AB?? A與 B的和事件，記為 ,A B A B A B??? A與 B的積事件，記為 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?且 ： 與 同時發(fā)生。稱 為 A在這 n次試驗中發(fā)生的 頻率 。 。 12113 , , ( ) ( )k i j i iiiA A A A A P A P A? ???? ? ?? ?。