【正文】 ( ) 0. ( ( ) 0)PP? ? ? ? ?( ) 0( ) 1P A AP B B S? ? ? ?? ? ?注 意 ： 不 能 ；同 理 ： 不 能 .112 , , 1 , 2 , . . . , , , ( ) ( )n ni j i iiiA A i j n i j P A P A???? ? ? ? ?。 2 ( ) 1PS ?。 若 ,? , 兩兩互不相容，則 試驗 序號 n =5 n =50 n =500 nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 表 1 例：拋硬 幣 出 現(xiàn) 的正面的 頻 率 20 表 2 實驗者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12022 6019 K?皮爾遜 24000 12022 羅曼諾夫斯基 80640 39699 21 (二 ) 概率 定義 1： 的穩(wěn)定值 p定義為 A的概率，記為 P(A)=p 定義 2：將概率視為測度，且滿足： 稱 P(A)為事件 A的 概率 ，以上為概率的三個公理 。 。 An() AnfAn n? ；()nfA1n；( ) 2 8 25%nfA ??()nfA?某人一共聽了 8次“概率論”課，其中有 2次遲到，記 A={聽課遲到 }，則 頻率 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度。 3 頻率與概率 (一 )頻率 定義：記 其中 — A發(fā)生的次數(shù) (頻數(shù) )； n— 總試驗次 數(shù)。? 當 AB= Φ時，稱事件 A與 B不相容或互斥。10 例： ?記 A={明天天晴 }， B={明天無雨 } ?記 A={至少有 10人候車 }， B={至少有 5人候車 } ?一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } 2 ABAB BA??? ? ??＝1 A B A B??： 事 件 發(fā) 生 一 定 導 致 發(fā) 生 ( 韋 恩 圖 )BA??BA??BA??S A B (三 ) 事件的關(guān)系及運算 ? 事件的關(guān)系（包含、相等） 11 事件的關(guān)系 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?或 ： 與 至少有一發(fā)生。 為方便起見，記 Φ 為 不可能事件 ， Φ 不包含 任何樣本點。 隨機事件 (一 )樣本空間 定義：隨機試驗 E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為 E的 樣本空 間 ，記為 S={e}， 稱 S中的元素 e為 樣本點 ，一個元素的單點集稱為 基本事件 ． S={0,1,2,?} S={正面，反面 } S={ x|a≤x≤b } ?某公交站每天 10時候車人數(shù) ?記錄一批產(chǎn)品的壽命 x 例： ? 一枚硬幣拋一次 ?一口袋中有 10個大小相同的球，其編號為1～ 10，若取一球后，放回，再取一球，則取球情況如何？ S={(i,j)|i,j=1,2, ?10} 9 (二 ) 隨機事件 一般我們稱 S的子集 A為 E的 隨機事件 A，當且僅當 A所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件 A發(fā)生。 它具有以下特性： 1. 可以在相同條件下重復進行 2. 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 3. 進行試驗前并不知道哪個試驗結(jié)果會發(fā)生 例： ? 拋一枚硬幣，觀察試驗結(jié)果； ? 對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)； ? 對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓； ? 對聽課人數(shù)進行一次登記； 8 167。2022/2/16 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2 課程相關(guān) ? 課件 校外： 校內(nèi)： 帳號及密碼均為 wgzstu ? 作業(yè) 每周交一次，由助教批閱，平時成績（ 20～ 30%）依據(jù) ? 答疑 時間：第二周起的每周六上午 8:30～ 10:50 地點：東 1B東 2間長廊東 2－ 205 （教師休息室） ? 聯(lián)系 任課教師： 助教教師：李曉明 , 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機試驗 ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨立性 ?第二章 隨機變量及其分布 ? 隨機變量 ? 離散型隨機變量及其分布 ? 隨機變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 ? 隨機變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機變量及其分布 ? 二維隨機變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨立的隨機變量 ? 兩個隨機變量的函數(shù)的分布 4 ?第四章 隨機變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ?第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 5 關(guān)鍵詞： 隨機現(xiàn)象 隨機試驗 樣本空間 隨機事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨立性 第一章 概率論的基本概念 6 167。 1 隨機試驗 ?確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定 ?不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定 確定性現(xiàn)象 不確定性現(xiàn)象 —— 確定 —— 不確定 —— 不確定 自然界與社會生活中的兩類現(xiàn)象 例： 向上拋出的物體會掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會中獎 7 概率統(tǒng)計中研究的對象：隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗。 2 樣本空間 S={0,1,2,?} ； 例： 觀察 89路公交車浙大站候車人數(shù)， 如果將 S亦視作事件，則每次試驗 S總是發(fā)生， 故又稱 S為 必然事件 。 ? ? ? ? A 1 0 1 0 , 1 1 , 1 2 , ,AAS? ? ? ?記 至 少 有 人 候 車為 隨 機 事 件 ， 可 能 發(fā) 生 ， 也 可 能 不 發(fā) 生 。121121,ninininiA A A AA A A A????????： 至少有一發(fā)生： 同時發(fā)生S B A S A B S B A AB?? A與 B的和事件，記為 ,A B A B A B??? A與 B的積事件，記為 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?且 ： 與 同時發(fā)生。 12 S A B { | }A A B x x A x B? ? ? ?與 B 的 差 事 件 且? B = , B,=, A A S A B SA A A BAAA A ABA? ?? ????????? ???逆 事 件 互 逆的 記 、為 對 立此 時, 若 ,: 稱有 ? AB A B A B A B B A A B? ? ? ? ? ?則 與 的 差 事 件 可 以 表 示 為 AS A13 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12111211nni i niinni i niiA B B AA B B AA B C A B CA B C A B CA B C A B A CA B C A B A CA B A BA B A BA A A A AA A A A A???????????????交 換 律 ：結(jié) 合 律 ：分 配 律 ：對 偶 律 ：對 偶 律 推 廣 ： ；＝ ； 事件的運算 14 AB?AB?A B AB??A B AB??例：設(shè) A={ 甲來聽課 }， B={ 乙來聽課 } ，則： {甲、乙至少有一人來 } {甲、乙都來 } {甲、乙都不來 } {甲、乙至少有一人不來 } ={甲、乙中最多有一人來 } 15 實 際 上 兩 者 有 關(guān) 系 ：? ? ? ??A B C A B C? ? ?可 以 用 韋 恩 圖 作 驗 證 事 件 等 式 是 否 成 立 ， 如AB AB另 外 ， 也 要 注 意 與 的 區(qū) 別 ：AB 是 表 示A B 是 表 示AB、 不 同 時 發(fā) 生AB、 都 不 發(fā) 生AA B B A B A B?A BC? ?ABA BC? ?A B C?A BC? ?BC?A BC? ?A B C?? ?? ? ? ?A B C A C A B C? ? ?根 據(jù) 以 上 圖 示 ， 我 們 容 易 得 到16 A CB 或A B C例 ： 用 、 、 三 個 事 件 關(guān) 系 及 運 算 表 示 下 列 各 事 件A B C? 發(fā) 生 ， 、 都 不 發(fā) 生 :? ?A BC?至 少 有 一 個 發(fā) 生 :AB AC BC 或A B C A B C A B C A BC A B C AB C ABC? 恰 有 一 個 發(fā) 生 : A B C AB C A BC? 至 少 有 兩 個 發(fā) 生 :A BC 或A BC A B C AB C ABC? 至 少 有 一 個 不 發(fā) 生 ( 最 多 有 兩 個 發(fā) 生 ) ：A B C A B C??A BC A B C AB C A B C A B C A B C A B C17 167。稱 為 A在這 n次試驗中發(fā)生的 頻率 。 例： ?中國國家足球隊，“沖擊亞洲”共進行了 n次，其中成功了一次，則在這 n次試驗中