【正文】 A和 B相互獨(dú)立？ 什么條件下稱 n個(gè)事件 A1,A2,?, An相互獨(dú)立？ A和 B為兩事件，且 P(A)≠0,P(B)≠0,問 A和 B相互獨(dú)立、 A和 B互不相容能否同時(shí)成立？試舉例說明之。 ( ) ( ) ( ) ( )C A B P C P A P B P A B? ? ? ?則 ： ，( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 . 7 0 . 8 0 . 7 * 0 . 8 0 . 9 4P C P A P B P A P B? ? ? ?? ? ? ? 解： 設(shè) A={甲擊中 },B={乙擊中 } C={目標(biāo)被擊中 } ∵ 甲、乙同時(shí)射擊，其結(jié)果互不影響， ∴ A， B相互獨(dú)立 62 例：有 4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng) (如圖 )，設(shè)每個(gè)元件 能正常運(yùn)行的概率為 p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率。 ? ?1 ( ) ( ( ) )P A P A B B?( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A B P B P A B??0 .8 0 .2 0 .2 0 .9 3 4 %? ? ? ? ?? ? ( ) ( )( ) 82 ( | ) ( ) ( ) 1 7P B P A BP A BP B A P A P A? ? ?全概率公式 ( ) ( )P A B P A B??解：設(shè) A ={乙出差 }， B ={甲出差 } A B A B與 不 相 容SBB與 組 成 的 一 個(gè) 劃 分 。 1 1 2 1 2 3A A A A A A A?1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A P A A A? ? ?1 1 2 1 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? 0 92? ? ? ? ? ?＋1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? ?1 0. 4 0. 2 0. 1 0. 99 2? ? ? ? ?2121( | )1 ( | )1 0 .8 0 .2P A AP A A??? ? ?解：設(shè) Ai={ 這人第 i次通過考核 }， i=1,2,3 A={ 這人通過考核 }， 亦可： 1 2 3A A A?可 證46 1 2 3 1 1 2 1 1 3A A A A A A A A A?證 明 ：1 2 3A A A ? 1A 1 1 2()A A A 1 2 1 2 1 2 1 2 3()A A A A A A A A A1 2 11 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32A A A AA A A A A A A A A A A A A?1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3( ) ( )A A A A A A A A A A A A A A A A A?1 1 2 1 2 3A A A A A A?47 例 4： 100個(gè)零件中有 10個(gè)次品，現(xiàn)無放回地取出，求： （ 1）第 1次取得正品后，第 2次取得正品的概率 （ 2）第 2次均取得正品的概率 （ 3）第 3次才取得正品的概率 （ 4）第 2次取得正品的概率 iAi設(shè)解 ： = {第 i次 取 得 正 品 }, = 1, 2, 321(1 ) ( )P A A ?899912( 2 ) ( )P A A ?1 2 1( ) ( )P A P A A1 2 3( 3 ) ( )P A A A ? 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( ) ?P A P A A P A A A ?3 1 2( ) ?P A A1 2 1( 4 ) ( ) ( ) 0 .9 ,A P A P A??由 于 不 知 道 是 否 已 發(fā) 生 ， 由 前 面 所 學(xué) 知 識(shí) ， 或2 2 1 1 1 2 1 2( ) ( ( ) ) ( )P A P A A A P A A A A? ? ?不 相 容1 2 1 2( ) ( )P A A P A A?1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )P A P A A P A P A A? ? ?9 0 8 9 1 0 9 0 0 . 91 0 0 9 9 1 0 0 9 9? ? ? ?9 0 8 9 0 .8 0 91 0 0 9 9? ? ?48 三、全概率公式與 Bayes公式 定義：設(shè) S為試驗(yàn) E的樣本空間， B1,B2,?,B n 為 E的一組事件。 ? ? aP A = a + b ? ? aP B =a + b解：由前面的知識(shí)得 A， B發(fā)生的概率為： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?()PB不 相 容實(shí) 際 上 我 們 也 可 以 通 過 以 下 方 法求 得P B = P B A A = P A B A B = P A B + P A Ba a 1 b a a= + =a + b a + b 1 a + b a + b 1 a + b??38 B A S 當(dāng)首次摸到紅球后，袋中各色球比例發(fā)生了變化， 即有 a1個(gè)紅球， b個(gè)白球，此時(shí)摸到紅球的概率 應(yīng)不同于 P(B)，因?yàn)楫?dāng) A發(fā)生后樣本空間發(fā)生了變化。 對(duì) 第 一 個(gè) 球 來 說 可 以 投 入 個(gè) 盒 子 中 ，有 種 方 法 ， 同 樣 對(duì) 其 余 的 球 ， 每 球 均 有 種 方 法 ， 故 nsNN N n N?? ?( 1 ) 2 ,3 ,. .. , 1個(gè) 球 放 入 第 個(gè) 盒 子 中 共 有 nn N N? ? ? ?1 nAnSNnPAnN???? ? ? ? ? ?12 1( 2 ) = ,niNA i i A A P AN???? ? ? ????設(shè) “ 第 盒 為 空 ” , = 1 , 2 , 則 PP? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2P B P A A P A P A P A A? ? ? ?12 nNN?????????( 3 ) 1 2 1 .. . + 1N N n N n第 個(gè) 球 有 種 落 法 ， 第 個(gè) 球 有 種 落 法 ， ， 第 個(gè) 球 有 種 落 法 , 故? ? ? ? ? ?1 2 1 nCNn N N N N n A? ? ? ? ? ?? ? nCN nSnAPCnN??50 :個(gè) 兩利 用 此 模 型 可 求 出 人 中 至 少 有 人 生 日 相 同 的 概 率2 nNN???????5 0 5 0365= 3 6 5 = 5 0 / 3 6 5 9 7 %N n A ?設(shè) ， 則 所 求 概 率 為 : 134 解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么， 12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 = 000 3. 例 4：某接待站在某一周曾接待 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的 ? 人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的” (稱之為實(shí)際推斷原理 )。 A BC45 35108 3 530? ?P A B C ?28 例 5：已知 P(A)=P(B)=P(C)=,且 A、 B、 C至少有兩個(gè)發(fā)生的概率為 ， A、 B、 C都發(fā)生的概率為 ，求以下概率（ 1） A、 B、 C至少有一個(gè)不發(fā)生 （ 2） A、B、 C不多于一個(gè)發(fā)生（ 3） A、 B、 C不發(fā)生。 。121121,ninininiA A A AA A A A????????： 至少有一發(fā)生： 同時(shí)發(fā)生S B A S A B S B A AB?? A與 B的和事件，記為 ,A B A B A B??? A與 B的積事件，記為 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?且 ： 與 同時(shí)發(fā)生。 1 隨機(jī)試驗(yàn) ?確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定 ?不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定 確定性現(xiàn)象 不確定性現(xiàn)象 —— 確定 —— 不確定 —— 不確定 自然界與社會(huì)生活中的兩類現(xiàn)象 例： 向上拋出的物體會(huì)掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會(huì)中獎(jiǎng) 7 概率統(tǒng)計(jì)中研究的對(duì)象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 為方便起見，記 Φ 為 不可能事件 ， Φ 不包含 任何樣本點(diǎn)。 An() AnfAn n? ；()nfA1n；( ) 2 8 25%nfA ??()nfA?某人一共聽了 8次“概率論”課，其中有 2次遲到，記 A={聽課遲到 }，則 頻率 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度。 , . . . , , . . . ,22 概率的性質(zhì)： ( 1 , 2 , ...),nAn? ? ?證 ： 令1, , .n i jnA A A i j??? ? ? ? ? ?111( ) ( ) ( )nnnnnP P A P A P? ???????? ? ? ? ? ????? ??1 ( ) 0P ??( ) 0. ( ( ) 0)PP? ? ? ? ?( ) 0( ) 1P A AP B B S? ? ? ?? ? ?注 意 ： 不 能 ；同 理 ： 不 能 .112 , , 1 , 2 , . . . , , , ( ) ( )n ni j i iiiA A i j n i j P A P A???? ? ? ? ?。 解： ? ? ? ?1 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 1 , 2 , 3 ,SA??()PB? 超 幾 何 分 布 概 率 公 式 ：113528CC 15==C 2 8( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 1 , 7 ) , ( 1 , 8 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 2 , 8 ) ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 3 , 7 ) , ( 3 , 8 )( 4 , 1 ) , ( 5 , 1 ) , ( 6 , 1 ) , ( 7 , 1 ) , ( 8 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6