理論力學(xué)13—?jiǎng)幽芏ɡ?存儲(chǔ)版)
【正文】 作的功為 2212 1 2221( c os 30 ) ( )2 2 2 3 110 ( ) 360( )2 2 2 2 N mllW m g k dd? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???1212 WTT ???由 得 2 ??所以 1 . 4 61 . 5 6 r a d s0 . 6? ???30B A C mg 30 cm 167。工件的直徑 d＝ 100 mm。 12 1W V V??3. 機(jī)械能守恒定律 ● 保守系統(tǒng) — 僅在有勢(shì)力作用下的系統(tǒng)。 下面就只用一個(gè)定理就能求解的題目，如何選擇定理，說(shuō)明如下： (1 )與路程有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)能定理，與時(shí)間有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理。 (4) 如果問(wèn)題是要求加速度或角加速度，可用動(dòng)能定理求出速度 (或角速度 ) ，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速度 (或角加速度 ) 。 普遍定理綜合應(yīng)用 例 14 如圖 ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m， 長(zhǎng)為 l， 可繞距端點(diǎn) l/3的轉(zhuǎn)軸 O轉(zhuǎn)動(dòng) ， 求桿由水平位置靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度 、 角加速度以及軸承 O的約束反力 。 分別以物塊 A、 B和滑輪為研究對(duì)象 ， 受力如圖 。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 16 如圖所示 ， 均質(zhì)圓盤(pán)可繞 O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) ， 圓盤(pán)的質(zhì)量為 m， 半徑為 R。 當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí) ， 求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力 。 求圓柱體的動(dòng)量需要用 O點(diǎn)的絕對(duì)速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn) D為基點(diǎn) ，分析圓柱體中心 O點(diǎn)的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復(fù)合運(yùn)動(dòng)法：取圓柱體中心 O為動(dòng)點(diǎn) ， 動(dòng)系與三棱柱固連 ， 則 O點(diǎn)的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動(dòng)量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo)得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒 。 再由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。 對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用 。若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力的作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解。 但應(yīng)注意 ， 在有些情況下質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力也要作功 ， 應(yīng)用時(shí)要具體分析 。 如果物體在某力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為 —— 勢(shì)力場(chǎng)（保守力場(chǎng)）。 —— 功率方程 無(wú)用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無(wú)用P—— 輸入功率 —— 有用功率，輸出功率 —— 無(wú)用功率，損耗功率 3. 機(jī) 械 效 率 輸入功率有效功率??dtdTP ??有用有效功率n???? ???? ?21—— 系統(tǒng)的總效率 例 題 19 車(chē)床電動(dòng)機(jī)的功率 P輸入＝ kW 。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長(zhǎng)為 20 cm。 A ? C B O D vA vD vB F ?BC ?AB 解： AB桿作平面運(yùn)動(dòng) ， BC桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 找出 AB桿的速度瞬心在 O點(diǎn) ， 由幾何關(guān)系知 OB＝ BC＝ l， 因此由 B A B B Cv O B B C??? ? ? ?得 AB BC? ? ???同時(shí)還可以得出結(jié)論 ， 當(dāng) θ＝ 0186。 設(shè)連桿長(zhǎng)均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為 m1， 且作純滾動(dòng) 。 j C FN mg vC ? F 解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)圓盤(pán)中心向下產(chǎn)生位移 s時(shí)速度達(dá)到 vc。 ? 滑動(dòng)摩擦力作負(fù)功 。 由余弦定理 2 2 222 11222 2 2142 c os( 18 0 )( ) 2 c osc osC A CA A CAAAAAv v v v vv l v lv l l vj? ? j? ? j? ? ? ?? ? ?? ? ?則桿的動(dòng)能 2211222 2 2 2 21 1 1 12 4 2 122 2 21123( c os ) ( )( c os )CCAAAAT m v Jm v l l v m lm v l l v?? ? j ?? ? j??? ? ? ?? ? ?vA ? j B A l vA vCA vC vA ? 1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式 ddm t ?v F在方程兩邊點(diǎn)乘 dr， 得 d dddm t ? ? ?v r F r因 dr＝ v dt， 于是上式可寫(xiě)成 ddm ? ? ?v v F r或 21d( ) δ2 m v W? 動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的元功 。 v A B ? C 解： I I 為 AB桿的瞬心 234AT M v???? ?? s inlv 222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ?21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為 v，桿與水平線(xiàn)的夾角 ?=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。 解：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖 。 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱(chēng)為 矢徑法表示的功的計(jì)算公式 。 在介紹動(dòng)能定理之前 ， 先介紹有關(guān)的物理量：功與動(dòng)能 。功率方程 在國(guó)際單位制中 ， 功的單位為： J (焦耳 ), 1J＝ 1 N 建立如圖坐標(biāo) ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達(dá)式得
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