【正文】 的解析式． 第 34 頁（共 60 頁） 21．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC， AE 是 ∠ BAC 的平分線， ∠ ABC 的平分線 BM 交AE 于點 M，點 O 在 AB 上，以點 O 為圓心， OB 的長為半徑的圓經過點 M，交BC 于點 G，交 AB 于點 F． （ 1）求證： AE 為 ⊙ O 的切線； （ 2）當 BC=4， AC=6 時，求 ⊙ O 的半徑； （ 3）在（ 2）的條件下，求線段 BG 的長． 22．如 圖，拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）與 y 軸交于點 C（ 0， 4），與 x 軸交于點 A和點 B，其中點 A 的坐標為（﹣ 2， 0），拋物線的對稱軸 x=1 與拋物線交于點 D，與直線 BC 交于點 E． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點 F 是直線 BC 上方的拋物線上的一個動點，是否存在點 F 使四邊形 ABFC的面積為 17，若存在，求出點 F 的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）平行于 DE 的一條動直線 l 與直線 BC 相交于點 P，與拋物線相交于點 Q，若以 D、 E、 P、 Q 為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 P 的坐標． 第 35 頁（共 60 頁） 第 36 頁（共 60 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，其中 18 小題每小題 3 分， 912 小題每小題 3分，共 40 分） 1．從下列四張卡片中任取一張，卡片上的圖形既是軸對稱又是中心對稱圖形的概率是（ ） A． B． C． D． 1 【考點】 概率公式；軸對稱圖形；中心對稱圖形． 【分析】 根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點： ① 符合條件的情況數目； ②全部情況的總數．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小． 【解答】 解： ∵ 四張卡片中任取一張既是軸對稱又是中心對稱圖形的有 2 張， ∴ 卡片上的圖形既是軸對稱又是中心對稱圖形的概率是 = ， 故選： B． 2．方程（ x﹣ 1）（ x+2） =x﹣ 1 的解是（ ） A．﹣ 2 B． 1，﹣ 2 C．﹣ 1， 1 D．﹣ 1， 3 【考點】 解一元二次方程 因式分解法． 【分析】 移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】 解：移項得：（ x﹣ 1）（ x+2）﹣（ x﹣ 1） =0， （ x﹣ 1） [（ x+2）﹣ 1]=0， x﹣ 1=0， x+2﹣ 1=0， x=1 或﹣ 1， 故選 C． 3．由二次函數 y=3（ x﹣ 4） 2﹣ 2，可知（ ） A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線 x=﹣ 4 C．其最小值為 2 D．當 x＜ 3 時， y 隨 x 的增大而減小 第 37 頁（共 60 頁） 【考點】 二次函數的性質；二次函數的最值． 【分析】 由拋物線解析式可求得其開口方向、對稱軸、最值及增減性，可求得答案． 【解答】 解： ∵ y=3（ x﹣ 4） 2﹣ 2， ∴ 拋物線開口向上，故 A 不正確； 對稱軸為 x=4，故 B 不正確； 當 x=4 時， y 有最小值﹣ 2，故 C 不正確； 當 x＜ 3 時， y 隨 x 的增大而減小，故 D 正確； 故選 D． 4．二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則反比例函數 與一次函數 y=bx+c在同一坐標系中的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 【考點】 二次函數的圖象；一次函數的圖象；反比例函數的圖象． 【分析】 先根據二次函數的圖象開口向下可知 a＜ 0，再由函數圖象經過原點可知 c=0，利用排除法即可得出正確答案． 【解答】 解： ∵ 二次函數的圖象開口向下， ∴ 反比例函數 y= 的圖象必在二、四象限，故 A、 C 錯誤； ∵ 二次函數的圖象經過原點， ∴ c=0， ∴ 一次函數 y=bx+c 的圖象必經過原點，故 B 錯誤． 第 38 頁（共 60 頁） 故選 D． 5．如圖， C， D 是以線段 AB 為直徑的 ⊙ O 上兩點，若 CA=CD，且 ∠ ACD=30176。 ∴∠ ABC=∠ ADC=75176。 ∴∠ A′OB=90176。 ∴∠ PCQ=∠ PQC， ∴ PC=PQ， ∴ AP=PQ，即 P 為 Rt△ ACQ 斜邊 AQ 的中點， ∴ P 為 Rt△ ACQ 的外心，故 ③ 正確； ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。﹣ 40176。 AC= ，以點 C 為圓心， CB 的長為半徑畫弧，與 AB 邊交于點 D，將 繞點 D 旋轉 180176?；?110176。﹣ 90176。 ∴∠ ACE=∠ ABC， 又 ∵ C 為 的中點， ∴ = ， ∴∠ CAP=∠ ABC， ∴∠ ACE=∠ CAP， ∴ AP=CP， ∵∠ ACQ=90176。 ∴∠ A′ON=60176。由此即可解決問題． 【解答】 解： ∵∠ ACD=30176。則 ∠ ACB 的度數是 ． 15．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ∴∠ RAD=∠ CDS， ∴△ ARD∽△ DSC， ∴ = = = = ， ∴ DR= x， DS= （ x+3）， 在 Rt△ ARD 中， ∵ AD2=AR2+DR2， ∴ =（ x+3） 2+（ x） 2， 整理得 13x2+24x﹣ 189=0，解得 x=3 或﹣ ， ∴ AR=6， AB=RS= ， ∴ = = ． 第 29 頁（共 60 頁） 九年級（上）期末數學試卷 一、選擇題（本大題共 12 小題，其中 18 小題每小題 3 分， 912 小題每小題 3分，共 40 分） 1．從下列四張卡片中任取一張，卡片上的圖形既是軸對稱又是中心對稱圖形的概率是（ ） A． B． C． D． 1 2．方程（ x﹣ 1）（ x+2） =x﹣ 1 的解是（ ） A．﹣ 2 B． 1，﹣ 2 C．﹣ 1， 1 D．﹣ 1， 3 3．由二次函數 y=3（ x﹣ 4） 2﹣ 2，可知（ ） A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線 x=﹣ 4 C．其最小值為 2 D．當 x＜ 3 時， y 隨 x 的增大而減小 4．二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則反比例函數 與一次函數 y=bx+c在同一坐標系中的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 5．如圖， C， D 是以線段 AB 為直徑的 ⊙ O 上兩點，若 CA=CD，且 ∠ ACD=30176。 ∴∠ CBQ=∠ BAT， 在 △ ABP 和 △ BCQ 中， ， ∴△ ABP≌△ BCQ， ∴ AP=BQ， ∴ EF=GH， 故答案為 =． 第 27 頁（共 60 頁） （ 2）過點 A 作 AP∥ EF，交 CD 于 P，過點 B 作 BQ∥ GH，交 AD 于 Q，如圖 2， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB∥ DC， AD∥ BC． ∴ 四邊形 AEFP、四邊形 BHGQ 都是平行四邊形， ∴ AP=EF， GH=BQ． 又 ∵ GH⊥ EF， ∴ AP⊥ BQ， ∴∠ QAT+∠ AQT=90176。 6=5+5 ≈ ， ∵ 60 千米 /時 ≈ 米 /秒， ∴ ＜ ∴ 不會超速． 21．如圖，直線 y=mx+n 與雙曲線 y= 相交于 A（﹣ 1， 2）、 B（ 2， b）兩點，與y 軸相交于點 C． （ 1）求 m， n 的值； （ 2）若點 D 與點 C 關于 x 軸對稱，求 △ ABD 的面積； （ 3）在坐標軸上是否存在異于 D 點的點 P，使得 S△ PAB=S△ DAB？若存在，直接寫出 P 點坐標；若不存在，說明理由． 【考點】 反比例函數與一次函數的交點問題． 【分析】 （ 1）利用待定系數法求出 m， n 的值； （ 2）根據關于 x 軸對稱的點的坐標特征求出點 D 的坐標，利用三角形面積公式計算即可； （ 3）分點 P 在 x 軸上和點 P 在 y 軸上兩種情況，利用三角形面積公式計算即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點 A（﹣ 1， 2）在雙曲線 y= 上， ∴ 2= ， 解得， k=﹣ 2， 第 23 頁（共 60 頁） ∴ 反比例函數解析式為： y=﹣ ， ∴ b= =﹣ 1， 則點 B 的坐標為（ 2，﹣ 1）， ∴ ， 解得， m=﹣ 1， n=1； （ 2）對于 y=﹣ x+1，當 x=0 時， y=1， ∴ 點 C 的坐標為（ 0， 1）， ∵ 點 D 與點 C 關于 x 軸對稱， ∴ 點 D 的坐標為（ 0，﹣ 1）， ∴△ ABD 的面積 = 2 3=3； （ 3）對于 y=﹣ x+1，當 y=0 時， x=1， ∴ 直線 y=﹣ x+1 與 x 軸的交點坐標為（ 0， 1）， 當點 P 在 x 軸上時，設點 P 的坐標為（ a， 0）， S△ PAB= |1﹣ a| 2+ |1﹣ a| 1=3， 解得， a=﹣ 1 或 3， 當點 P 在 y 軸上時，設點 P 的坐標為（ 0， b）， S△ PAB= |1﹣ b| 2+ |1﹣ b| 1=3， 解得， b=﹣ 1 或 3， ∴ P 點坐標為（﹣ 1， 0）或（ 3， 0）或（ 0，﹣ 1）或（ 0， 3）． 22．為了節(jié)省材料，某水產養(yǎng)殖戶利用水庫的一角 ∠ MON（ ∠ MON=135176。再利用特殊角的三角函數可得答案． 【解答】 解：（ 1） ∵ 直徑 CD 交弦 AB 于點 E，且 CD 平分弦 AB， ∴ OD⊥ AB， 設 AO=x，則 DO=x， ∵ DE=1， ∴ EO=x﹣ 1， 在 Rt△ AOE 中： AE2+EO2=AO2， ∴ （ ） 2+（ x﹣ 1） 2=x2， 解得： x=3， ∴ AO=3； （ 2） ∵ OA∥ BD， ∴∠ OAB=∠ EBD， ∵ 直徑 CD 交弦 AB 于點 E，且 CD 平分弦 AB， ∴ AE=BE， EO⊥ AB， 在 △ AOE 和 △ BDE 中 ， 第 21 頁（共 60 頁） ∴△ AEO≌△ BEO（ ASA）． ∴ EO=ED， ∵ AO=DO， ∴ OE= AO， ∴∠ OAE=30176。tan60176。 ∴ EC 是直徑， ∴ EC 與 OB 不垂直； 此選項的說法不正確； D、 sin∠ BOE=sin∠ BCE= = ， 所以此選項的說法正確， 因為本題選擇說法錯誤的， 故選 C． 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 第 14 頁（共 60 頁） 11．若 = ，則 = ． 【考點】 比例的性質． 【分析】 根據合比性質，可得答案． 【解答】 解： = ，則 = = ， 故答案為： ． 12．已知線段 AB=a， C、 C′是線段 AB 的兩個黃金分割點，則 CC′= （ ﹣ 2） a ． 【考點】 黃金分割． 【分析】 根據黃金分割點的定義，知較短的線段 =原線段的 倍，可得 BC的長，同理求得 AC′的長，則 CC′即可求得． 【解答】 解： ∵ 線段 AB=a， C、 C′是線段 AB 的兩個黃金分割點， ∴ 較小線段 AC′=BC= a， 則 CC′=AB﹣ AC′﹣ BC=a﹣ 2 a=（ ﹣ 2） a． 故答案是：（ ﹣ 2） a． 13．如圖，網格中的每一個正方形的邊長都是 1， △ ABC 的每一個頂點都在網格的交點處，則 sinA= ． 【考點】 銳角三角函數的定義． 【分析】 過 B 作 BD 垂直于 AC，利用面積法求出 BD 的長，在直角三角形 ABD 中，利用銳角三角函數定義求出 sinA 的值即可． 【解答】 解：過點 B 作 BD⊥ AC， ∵ AB= = ， BC=3， AC= =2 ， 第 15 頁（共 60 頁） ∴ S△ ABC= 3 2= 2 BD， 解得： BD= ， 在 Rt△ ABD 中， sinA= = = ， 故答案為： 14．如圖，直線 y=﹣ x+b（ b＞ 0）與雙曲線 y= （ x＞ 0）交于 A、 B 兩點，連接OA、 OB， AM⊥ y 軸于 M， BN⊥ x 軸于 N，現(xiàn)有以下結論： ① OA=OB； ②△ AOM≌△ BON； ③ 若 ∠ AOB=45176。+25176。再利用等腰三角形的性質和三角形外角性質可得 ∠ ODA= ∠ COD=25176。）的兩邊為邊，用總長為 120m 的圍網在水庫中圍成了如圖所示的 ①②③ 三塊區(qū)域，其中區(qū)域 ① 為直角三角形，區(qū)域 ②③ 為矩形，而且四邊形 OBDG 為直角梯形． （ 1）若 ①②③ 這塊區(qū)域的面積相等，則 OB 的長度為 m