【正文】 ④EF 一定平行 BC． 其中正確的是（ ） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④ 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 第 20 頁（共 36 頁） 【分析】由三角形 ABC 中， ∠ A 的平分線交 BC 于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 DE⊥ AC， DF⊥ AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得 DE=DF， ∠ ADE=∠ ADF，又由角 平分線的性質(zhì)，可得 AF=AE，繼而證得 ①∠AFE=∠ AEF；又由線段垂直平分線的判定，可得 ②AD 垂直平分 EF；然后利用三角形的面積公式求解即可得 ③ ． 【解答】解： ①∵ 三角形 ABC 中， ∠ A 的平分線交 BC 于點(diǎn) D， DE⊥ AC， DF⊥ AB， ∴∠ ADE=∠ ADF， DF=DE， ∴ AF=AE， ∴∠ AFE=∠ AEF，故正確； ②∵ DF=DE， AF=AE， ∴ 點(diǎn) D 在 EF 的垂直平分線上，點(diǎn) A 在 EF 的垂直平分線上， ∴ AD 垂直平分 EF，故正確； ③∵ S△ BFD= BF?DF， S△ CDE= CE?DE， DF=DE， ∴ ； 故正確； ④∵∠ EFD 不一定等于 ∠ BDF， ∴ EF 不一定平行 BC．故錯(cuò)誤． 故選 A． 【點(diǎn)評】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 12．如圖， AD 是 △ ABC 中 ∠ BAC 的角平分線， DE⊥ AB 于點(diǎn) E， S△ ABC=7， DE=2， AB=4，則 AC長是（ ） A． 3 B． 4 C． 6 D． 5 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 第 21 頁（共 36 頁） 【分析】過點(diǎn) D 作 DF⊥ AC 于 F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 DE=DF，再根據(jù)S△ ABC=S△ ABD+S△ ACD 列出方程求解即可． 【解答】解：如圖，過點(diǎn) D 作 DF⊥ AC 于 F， ∵ AD 是 △ ABC 中 ∠ BAC 的角平分線， DE⊥ AB， ∴ DE=DF， 由圖可知， S△ ABC=S△ ABD+S△ ACD， ∴ 4 2+ AC 2=7， 解得 AC=3． 故選： A． 【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 13．如圖，在 △ ABC 中， ∠ ABC=50176。 ∠ ACB=60176。 在 △ ABO 中， ∠ AOB=180176。） =60176。 故 D 選項(xiàng)正確． 故選： B． 【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵． 14．在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。﹣ 30176。 ∠ ABC 的平分線 BD 交 AC 于點(diǎn) D， AD=3， BC=10，則 △BDC 的面積是 15 ． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過 D 作 DE⊥ BC 于 E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 DE=3，根據(jù)三角形的面積求出即可． 【解答】解：過 D 作 DE⊥ BC 于 E， ∵∠ A=90176。． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷 OQ 是 ∠ AOB 的平分線，然后根據(jù)角平分線的定義解答即可． 第 29 頁（共 36 頁） 【解答】解： ∵ QC⊥ OA 于 C， QD⊥ OB 于 D， QC=QD， ∴ OQ 是 ∠ AOB 的平分線， ∵∠ AOB=70176。 在 △ DEC 和 △ DFC 中， （ AAS） ∴△ DEC≌△ DFC， ∴ DF=DE=2， ∴ S△ BCD=BC DF247。 ∴ 由勾股定理得： AC= =2 ， ∵ AD 平分 ∠ BAC， ∴∠ BAC=60176。 AD 平分 ∠ CAB， DE⊥ AB 于 E，若 AC=6， BC=8， CD=3． （ 1）求 DE 的長； （ 2）求 △ ADB 的面積． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（ 1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 CD=DE，代入求出即可； （ 2）利用勾股定理求出 AB 的長，然后計(jì)算 △ ADB 的面積． 【解答】解：（ 1） ∵ AD 平分 ∠ CAB， DE⊥ AB， ∠ C=90176。根據(jù)勾股定理求出 AC，再求出 AB=2AC，代入求 出即可． 【解答】解： ∵ 在 Rt△ ACD 中， ∠ C=90176。然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出 △ CED≌△ CFD，即可判斷出DF=DE；最后根據(jù)三角形的面積 =底 高 247。 AB=10， AD 是 △ ABC 的一條角平分線．若 CD=3，則 △ ABD的面積為 15 ． 第 28 頁（共 36 頁） 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】要求 △ ABD 的面積，現(xiàn)有 AB=10 可作為三角形的底，只需求出該底上的高即可，需作 DE⊥ AB 于 E．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得 DE 的長，即可求解． 【解答】解：作 DE⊥ AB 于 E． ∵ AD 平分 ∠ BAC， DE⊥ AB， DC⊥ AC， ∴ DE=CD=3． ∴△ ABD 的面積為 3 10=15． 故答案是： 15． 【點(diǎn)評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)；熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理，是很重要的，作出并求出三角形 AB 邊上的高時(shí)解答本題的關(guān)鍵． 22．如圖， ∠ AOB=70176。 AD 是 △ ABC 的角平分線， DC=3，則點(diǎn) D 到 AB 的距離是 3 ． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可 得 DE=DC 即可得解． 第 25 頁（共 36 頁） 【解答】解：作 DE⊥ AB 于 E， ∵ AD 是 ∠ CAB 的角平分線， ∠ C=90176。 ∠ A=30176。﹣ 70176。 故 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤； ∵ CD 平分 ∠ ACE， ∴∠ ACD= （ 180176。 故 A 選項(xiàng)正確， ∵ BD 平分 ∠ ABC， ∴∠ ABO= ∠ ABC= 50176。 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出 ∠ BAC=70176。． 故 ②正確； ③∵∠ 1=∠ B=30176。； ③點(diǎn) D 在 AB 的中垂線上； ④S△ DAC： S△ ABC=1： 3． 第 18 頁（共 36 頁） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖 —基本作圖． 【分析】 ①根據(jù)作圖的過程可以判定 AD 是 ∠ BAC 的角平分線； ②利用角平分線的定義可以推知 ∠ CAD=30176。 AD 是 △ ABC 的角平分線， ∴ DE=CD， 由勾股定理得， AB= = =5， S△ ABC= AB?DE+ AC?CD= AC?BC， 即 5?CD+ 3?CD= 3 4， 解得 CD= ． 故選 C． 【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，熟記性質(zhì)并根據(jù)三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵． 8．如圖 ， AD 是 △ ABC 的角平分線， DE， DF 分別是 △ ABD 和 △ ACD 的高，得到下列四個(gè)結(jié)論： ①OA=OD； ②AD⊥ EF； ③當(dāng) ∠ A=90176。又由含 30176。 ∴ BD=2DE=2， ∴ BC=CD+BD=1+2=3． 故選 C． 第 11 頁（共 36 頁） 【點(diǎn)評】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)， 30176。 AD 平分 ∠ CAB， AC=6， BC=8， CD= ． 24．已知 OC 是 ∠ AOB 的平分線，點(diǎn) P 在 OC 上， PD⊥ OA， PE⊥ OB，垂足分別為點(diǎn) D、 E， PD=10，則 PE 的長度為 ． 25．如圖， BD 是 ∠ ABC 的平分線， P 為 BD 上的一點(diǎn)， PE⊥ BA 于點(diǎn) E， PE=4cm，則點(diǎn) P 到邊 BC的距離為 cm． 第 7 頁（共 36 頁） 26．如圖，在 △ ABC 中， CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點(diǎn) D， DE⊥ AC 交于點(diǎn) E， DF⊥ BC 于點(diǎn) F，且BC=4， DE=2，則 △ BCD 的面積是 ． 27．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ∠ A=30176。； ③點(diǎn) D 在 AB 的中垂線上； ④S△ DAC： S△ ABC=1： 3． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4