【正文】 是 ∠ ABC 的平分線， 第 24 頁（共 36 頁） ∴∠ DBC= ∠ ABC=30176。=3 = ， ∵ BD 是 ∠ ABC 的平分線， 又 ∵ 角平線上點到角兩邊距離相等， ∴ 點 D 到 AB 的距離 =CD= ， 故答案為： ． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 16．在 △ ABC 中， AB=4， AC=3， AD 是 △ ABC 的角平分線，則 △ ABD 與 △ ACD 的面積之比是 4：3 ． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】估計角平分線的性質(zhì)，可得出 △ ABD 的邊 AB 上的高與 △ ACD 的 AC 上的高相等，估計三角形的面積公式，即可得出 △ ABD 與 △ ACD 的面積 之比等于對應(yīng)邊之比． 【解答】解： ∵ AD 是 △ ABC 的角平分線， ∴ 設(shè) △ ABD 的邊 AB 上的高與 △ ACD 的 AC 上的高分別為 h1， h2， ∴ h1=h2， ∴△ ABD 與 △ ACD 的面積之比 =AB： AC=4： 3， 故答案為 4： 3． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 17．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 ∴ DE=DC， ∵ DC=3， ∴ DE=3， 即點 D 到 AB 的距離 DE=3． 故答案為： 3． 【點評】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 18．如圖，在菱形 ABCD 中，點 P 是對角線 AC 上的一點， PE⊥ AB 于點 E．若 PE=3，則點 P 到AD 的距離為 3 ． 【考點】角平分線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】作 PF⊥ AD 于 D，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得 AC 平 分 ∠ BAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PF=PE=3． 【解答】解：作 PF⊥ AD 于 D，如圖， ∵ 四邊形 ABCD 為菱形， ∴ AC 平分 ∠ BAD， ∵ PE⊥ AB， PF⊥ AD， ∴ PF=PE=3， 即點 P 到 AD 的距離為 3． 故答案為： 3． 第 26 頁（共 36 頁） 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了菱形的性質(zhì)． 19．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ A=90176。 ∴ DA⊥ AB， ∵ BD 平分 ∠ ABC， ∴ AD=DE=3， ∴△ BDC 的面積是 DE BC= 10 3=15， 故答案為： 15． 【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 20．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ A=90176。 BD 平分 ∠ ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得 DE=AD，又由勾股定理求得 AD 的長，繼而求得答案． 【解答】解：過點 D 作 DE⊥ BC 于 E， ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∠ A=90176。 AB=4， BD=5， ∴ AD= =3， ∴ DE=AD=3， ∴ 點 D 到 BC 的距離是 3． 故答案為： 3． 【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用．此題難度不大，注 意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法． 21．如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。 QC⊥ OA 于 C， QD⊥ OB 于 D，若 QC=QD，則 ∠ AOQ= 35 176。 ∴∠ AOQ= ∠ A0B= 70176。． 故答案為： 35． 【點評】本題考查了角平分線的判定以及角平分線的定義，根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷 OQ 是 ∠ AOB 的平分線是解題的關(guān)鍵． 23．在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 AC=6， BC=8， ∴ AB= = =10， ∵ AD 平分 ∠ CAB， ∴ CD=DE， ∴ S△ ABC= AC?CD+ AB?DE= AC?BC， 即 6?CD+ 10?CD= 6 8， 解得 CD=3． 故答案為： 3． 第 30 頁（共 36 頁） 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵． 24．已知 OC 是 ∠ AOB 的平分線，點 P 在 OC 上， PD⊥ OA， PE⊥ OB，垂足分別為點 D、 E， PD=10，則 PE 的長度為 10 ． 【考點】角平分線的 性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得 PE=PD． 【解答】解： ∵ OC 是 ∠ AOB 的平分線， PD⊥ OA， PE⊥ OB， ∴ PE=PD=10． 故答案為： 10． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 25．如圖， BD 是 ∠ ABC 的平分線， P 為 BD 上的一點， PE⊥ BA 于點 E， PE=4cm，則點 P 到邊 BC的距離為 4 cm． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】 BD 是 ∠ ABC 的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到點 P 到 BC 的距離 ． 【解答】解： ∵ BD 是 ∠ ABC 的平分線， PE⊥ AB 于點 E， PE=4cm， 第 31 頁（共 36 頁） ∴ 點 P 到 BC 的距離 =PE=4cm． 故答案為 4． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)．由已知能夠注意到 P 到 BC 的距離即為 PE 長是解決的關(guān)鍵． 26．如圖，在 △ ABC 中， CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 D， DE⊥ AC 交于點 E， DF⊥ BC 于點 F，且BC=4， DE=2，則 △ BCD 的面積是 4 ． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù) CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 D，可得 ∠ DCE=∠ DCF；再根據(jù) DE⊥ AC， DF⊥ BC，可得 ∠ DEC=∠ DFC=90176。 2，求出 △ BCD 的面積是多少即可． 【解答】解： ∵ CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 D， ∴∠ DCE=∠ DCF， ∵ DE⊥ AC， DF⊥ BC， ∴∠ DEC=∠ DFC=90176。 2 =4 2247。 AD 平分 ∠ BAC 與 BC 相交于點 D，若 AD=4， CD=2，則AB 的長是 4 ． 【考點】角平分線的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形；勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】先求出 ∠ CAD=30176。 ∠ B=30176。 CD=2， AD=4， ∴∠ CAD=30176。 ∴∠ B=30176。注意：在直角三角形中，如果有一個角等于 30176。 BD 是 △ ABC 的一條角平分線．點 O、 E、 F 分別在 BD、 BC、AC 上，且四邊形 OECF 是正方形． （ 1）求證：點 O 在 ∠ BAC 的平分線上； （ 2）若 AC=5， BC=12，求 OE 的長． 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】（ 1）過點 O 作 OM⊥ AB，由角平分線的性質(zhì)得 OE=OM，由正方形的性質(zhì)得 OE=OF，易得 OM=OF，由角平分線的判定定理得點 O 在 ∠ BAC 的平分線上； （ 2）由勾股定理得 AB 的長，利用方程思想解得結(jié)果． 【解答】（ 1）證明：過點 O 作 OM⊥ AB， ∵ BD 是 ∠ ABC 的一條角平分線， ∴ OE=OM， ∵ 四邊形 OECF 是 正方形， ∴ OE=OF， ∴ OF=OM， ∴ AO 是 ∠ BAC 的角平分線，即點 O 在 ∠ BAC 的平分線上； （ 2）解： ∵ 在 Rt△ ABC 中， AC=5， BC=12， ∴ AB= = =13， 第 35 頁（共 36 頁） 設(shè) CE=CF=x， BE=BM=y， AM=AF=z， ∴ ， 解得： ， ∴ CE=2， ∴ OE=2． 【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及角平分線定理及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，運用方程思想是解本題的關(guān)鍵． 30．如圖， Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 ∴ CD=DE， ∵ CD=3， ∴ DE=3； 第 36 頁（共 36 頁） （ 2）在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得： AB= = =10， ∴△ ADB 的面積為 S△ ADB= AB?DE= 10 3=15． 【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運用，注意：角平分線上的點到 角兩邊的距離相等．