數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于和與積相等的矩陣對(duì)(存儲(chǔ)版)
【正文】 α α α α α,于是 B 相似于對(duì)角矩陣 . (3) A 有 n 個(gè)不同的特征值 ,故 A 可對(duì)角化 ,由 (2) 知 B 也可對(duì)角化 . 令? ?12, , , nC diag ? ? ?? ,取多項(xiàng)式 ??f? ,由于 i? 互不相同 ,根據(jù) Lagrange 插值定理可知 ,存在一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 1n? 的多項(xiàng)式 ? ?f ? ,使得 ? ?iif ??? ? ?1 in?? ,則 ? ?D f C? ,即有 ? ? ? ?1 1 1P B P f P A P P f A P? ? ???,從而 ? ?B f A? ,定理 1 得證 . 5 推論 設(shè) A ,B nnC?? 為正定的 Hermite 陣，且滿(mǎn)足條件 M ，則存在酉陣nnPC?? ，使得 HPAP 和 HPBP 同時(shí)為對(duì)角陣 . 定理 3 若 A ,B 都是數(shù)域 F 上滿(mǎn)足條件 M 的矩陣，若 A ,B 的特征值都在中，則存在上非奇異矩陣 P ，使得 1PAP? 及 1PBP? 都是上三角矩陣，即 A ， B 可同時(shí)上三角化 . 證明 對(duì)矩陣的階數(shù) n 用數(shù)學(xué)歸納法 .當(dāng) 1n? 時(shí)，結(jié)論顯然，假定對(duì) 1n? 階矩陣結(jié)論成立，因?yàn)?A ， B 滿(mǎn)足條件 M ，則 AB BA? ，且 A 與 B 有公共的特征量 α ，不妨 A ??α α ， B ??α α ，其中 ? ， ? 分別為 A ， B 的特征值， 則存在 F 上的 n 階非奇異矩陣 ? ?2, , , nQ ? α α α， 使得 110Q AQ A?? ???? ????， 110Q BQ B?? ???? ???? 其中向量 2, , , nn F?α α α ， 1A ， 1B 都是 1n? 階矩陣 .顯然 1 1 1 1AB BA? ，于是根據(jù)歸納假設(shè)，存在 F 上的 1n? 階非奇異矩陣 R ，使得 1 1RAR? 及 1 1RBR? 同時(shí)為上三角矩陣 . 令 100PQ R??? ????，則 1111 11 0 1 0 000P A P Q A Q R A RRR ????????? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ??為上三角陣 . 同理 1111 11 0 1 0 000P B P Q B Q R A RRR ????????? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ??也是上三角矩陣，定理 2 得證 . 推論 1 設(shè)矩陣對(duì) ? ?,AB 滿(mǎn)足條件 M ，若 A 是 Hermite 矩陣，則 B 也是Hermite 矩陣，且存在 n 階酉矩陣 U ，使得 HUAU 和 HUBU 為對(duì)角矩陣 . 證明 因?yàn)?A 是 n 階 Hermite 矩陣，所以存在 n 階酉矩陣 U ，使得 6 ? ?* 12, nU A U dia g ? ? ?? ，由定理 1 中（ 2）可知， ? ?* 12, , , nU B U diag ? ? ?? 顯然， B 也是 Hermite 矩陣，且可同時(shí)對(duì)角化，推論 1 得證 . 推論 2 設(shè) A ,B 是滿(mǎn)足條件 M 的正規(guī)矩陣，則 A ? B ， AB ， AB? ， AB都是正規(guī)矩陣，且存在酉矩陣 U ，使得 HUAU 和 HUBU 為對(duì)角矩陣 . 推論 3 若矩陣對(duì) ? ?,AB 滿(mǎn)足條件 M ，則下列條件等價(jià)： (i) A 非奇異，（ ii） B 非奇異，（ iii） AB? 或 AB 非奇異，（ iv） AB? 非奇異 . 推論 4 設(shè) A ， B 是滿(mǎn)足條件 M 的正定（或半正定）矩陣，則 AB? ， AB ，AB? 及 AB都是正定（或半正定）矩陣 . 兩個(gè) Hermite 矩陣積與其特征值之間的關(guān)系問(wèn)題有著名的 Neumann 不等式，兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和的特征值關(guān)系問(wèn)題有 Hoffman— wielandt 定理，故由引理 3，引理 4 及推論 1 和 4，有 推論 5 設(shè) A ， B 是滿(mǎn)足條件 M 的正定矩陣，則對(duì)任意正整數(shù) k ，有? ?( ) ( ) kktr AB tr AB? . 推論 6 若 A ， B 是滿(mǎn)足條件 M 的 Hermite 陣，設(shè) i? 為 A 的特征值，則1ii i?? ?? ?為 B 的特征值， i i i i? ? ???? ? ?1,2, ,in? 為 AB? 和 AB 的全體特征值 . 2 滿(mǎn)足 ABBA ?? 的矩陣對(duì)的一些性質(zhì) 性質(zhì) 1 如果 ABBA ?? ，則有 （ 1） ABAB mm ? ， kkk BAAB ?)( ， ll BABA ? ， klm, 均為正整數(shù)； （ 2） ABfBAf )()( ? ，其中 )(Bf 是 B 的多項(xiàng)式，即 A 與 B 的多項(xiàng)式可交換； （ 3） ))(( 121 ??? ?????? mmmmm BBAABABA ? ))(( 121 BABBAA mmm ????? ??? ?， m 為整數(shù)； （ 4） ????? mkkkmkmm BACBA0)(（矩陣二項(xiàng)式定理）， m 為整數(shù)； 7 （ 5） ???? mkkkmkmm BACAB0)(， m 為整數(shù)； 性質(zhì) 2 （ 1）若 ABBA ?? 且 A 是可逆的，則 1A? , B 可交換； （ 2）若 ABBA ?? 且 B 是可逆的，則 1B? , A 可交換 . 性質(zhì) 3 （ 1）若 ABBA ?? 且 A 是正交陣，則 TA , B 可交換； （ 2）若 ABBA ?? 且 B 是正交陣，則 TB , A 可交換 . 3 主要結(jié)論及證明 結(jié)論 1 A 是正定矩陣， A 、 B 都是對(duì)稱(chēng)矩陣且滿(mǎn)足 A B AB?? ，則 AB 是正定矩陣的充要條件是 ? ? 0B? . 證明 因?yàn)?A B AB?? ，由引理 5 得 AB BA? . 從而易得 ? ?? ? ? ? ? ?11T TA B B A A B B A???， 而 ? ?B? 為實(shí)數(shù)，由定理 1 即得結(jié)論 .
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