數(shù)量金融利率建模(存儲(chǔ)版)
【正文】 ( ) 2 ) ( ) .P N h o h??40 瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn) （ instantaneous risk of default） 如果在 t時(shí)刻公司未發(fā)生違約 ， 那么公司在 [t, t+dt]時(shí)間段內(nèi)發(fā)生違約的概率為 pdt， 其中 p稱為瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)（ 違約強(qiáng)度 ） 。 那么該公司在一年內(nèi)發(fā)生債券違約的概率為 0 . 0 1 11 1 . 1 1 % .e ???48 瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)是否為常數(shù) ？ 49 50 隨機(jī)違約風(fēng)險(xiǎn)模型 時(shí)間依賴的違約風(fēng)險(xiǎn) 假設(shè)公司的瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn) (違約強(qiáng)度 )為時(shí)間的函數(shù)，與隨機(jī)利率無(wú)關(guān) p(t), 那么有違約風(fēng)險(xiǎn)的在 T時(shí)刻支付 1的零息債券的（在 t時(shí)刻）價(jià)格為 如果有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券價(jià)格為 Q*，則 () .Tt pdeQ????*( ) l n ( ).Tt p d Q Q?? ??51 隨機(jī)違約風(fēng)險(xiǎn)模型 52 隨機(jī)違約風(fēng)險(xiǎn)模型 回收率 （ rate of recovery） 公司一旦發(fā)生違約，債券人能夠得到的補(bǔ)償比例。 解答： 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)零息債券的到期回報(bào)率 （ yield to maturity） 為%， 公司債券的到期回報(bào)率為 %。 ? ?21ln2Pr ( ) .tTAr T tDADTt?????? ??? ? ???????????? ? ? ??????35 期望違約頻率和對(duì)應(yīng)的評(píng)級(jí)類別 EDF Samp。 無(wú)套利要求此投資組合的回報(bào)率為 r， 故得到 終止條件為 F(S, r, T)=S。 T)。 ) .TtA t T s T s d s T tB t T T t??? ? ? ? ????21 常用的單因子利率模型 HullWhite單因子模型 其中 η(t)為時(shí)間的函數(shù) 。 ) ,A t T r B t TP r t T e ??19 常用的單因子利率模型 HoLee模型 其中 η(t)為時(shí)間的函數(shù) 。 ) ) ( ) ,241( 。 當(dāng)利率偏離 η/γ時(shí) ， 此模型會(huì)以 γ的速率將利率拉回 η/γ。 ) ( , 。 3 4 真實(shí)世界中利率的隨機(jī)模型 使用 It244。 T)， 構(gòu)造投資組合： 持有 1單位到期時(shí)間 T1的債券 V1(r, t。 2221 ,2 tV V V Vd V w u d t w d Zt r r r??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???( ) ,tVd V r V d t w d Z d tr ??? ? ??11 債券定價(jià)公式 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式 如果某利率產(chǎn)品在期末 T時(shí)刻的支付為 f， 即 V(r, T。 ) ( 。 此模型同樣具有均值回歸屬性 （ mean reverting） 。 1 / 2( ) ,td r t d t d Z????20 常用的單因子利率模型 HoLee模型下零息債券的價(jià)格 其中 ( 。 1 ,td S S d t S d Z????2( , ) ( , ) ,td r u r t d t w r t d Z??23 隨機(jī)利率下的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格 遠(yuǎn)期 假定基于資產(chǎn) S的 T時(shí)刻到期的遠(yuǎn)期合同的價(jià)值為 V(S, r, t)。 )SKP r T?2221( ) 0 ,2( , 。 )SF S r t q r t T?222221( ) 0 ,2( , 。 若以 P(t, T)表示在 t時(shí)刻公司未發(fā)生違約的前提下 ， 知道公司知道 T時(shí)刻仍未發(fā)生違約的概率 ， 則 ( , ) ( , ) ( , ) ,P t d t T P t T p d t P t d t T? ? ? ?()( , ) .p T tP t T e ???41 風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格 如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是確定性的 ， 那么有違約風(fēng)險(xiǎn)的在 T時(shí)刻支付 1的零息債券的 （ 在 t時(shí)刻 ） 價(jià)格為 其中 Q為無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)的有著相同到期期限的零息債券的價(jià)格 。 53 隨機(jī)違約風(fēng)險(xiǎn)模型 隨機(jī)違約風(fēng)險(xiǎn) 假設(shè)公司的瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)滿足 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率滿足 其中 Z1和 Z2的相關(guān)系數(shù)為 ρ。 試計(jì)算該公司在一年內(nèi)發(fā)生
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