經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分不定積分的概念與性質(zhì)(存儲版)
【正文】 間的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。t a n Cx ?29d()si nxx ?? 2c s c dxx ?? 。一、原函數(shù)與不定積分的概念 四、不定積分的性質(zhì) 三、基本積分表 五、小結(jié) 思考題 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 二、不定積分的幾何意義 例 ? ? xx c oss i n ?? s i n 是 xc o s 的原函數(shù) . ? ? )0(1ln ??? xxxxln 是 x1 在區(qū)間 ),0( ?? 內(nèi)的原函數(shù) . 如果在區(qū)間 I 內(nèi)，定義： 可導(dǎo)函數(shù) )( xF 的即 Ix ?? ，都有 )()( xfxF ??或 dd ( ) ( )F x f x x?， 那么函數(shù) )( xF 就稱為 )( xf導(dǎo)函數(shù)為 )( xf ，或 ( ) df x x在區(qū)間 I 內(nèi) 原函數(shù) . 一、原函數(shù)與不定積分的概念 ( primitive function ) 定義 原函數(shù)存在定理： 如果函數(shù) )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)， 簡言之： 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) . 問題： (1) 原函數(shù)是否唯一？ 例 ? ? xx c oss i n ??? ? xCx c oss i n ???（ 為任意常數(shù)） C那么在區(qū)間 I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) )( xF ， 使 Ix ?? ，都有 )()( xfxF ?? .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？ 定理 關(guān)于原函數(shù)的說明： （ 1）若 ，則對于任意常數(shù) ， )()( xfxF ?? CCxF ?)( 都是 )( xf 的原函數(shù) .（ 2）若 和 都是 的原函數(shù)， )(xF )(xG )(xf則 CxGxF ?? )()( （ 為任意常數(shù)） C證 ? ? )()()()( xGxFxGxF ???????0)()( ??? xfxfCxGxF ??? )()( （ 為任意常數(shù)） C? ? ? ? .的全部原函數(shù)是說明 xfcxF ?任意常數(shù) 積分號 被積函數(shù) 不定積分 (indefinite integral)的定義： 在區(qū)間 I 內(nèi)，( ) d ( )f x x F x C???被積表達式 積分變量 函數(shù) )( xf 的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù) 稱為 )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)的不定積分 ，記為 ? dxxf )( .定義 原函數(shù) 例 1 求 ?解 ,656xx ????????? 656d.xx x C? ? ??解 例 2 求 211 ??? ? ,1 1ar c t an 2xx ????211 d ar c t an .x x Cx? ? ???例 3 某商品的邊際成本為 , 求總成 解 cxx ??? 21001 0 0 2( ) ( ) dC x x x???其中 為任意常數(shù) cx2100 ?本函數(shù) . )( xC二、不定積分的幾何意義 函數(shù) )( xf 的原函數(shù)的圖形稱為 )( xf 的 積分曲線 . 顯然，求不定積分得到一 積分曲線族 , 橫坐標 處 ,任一曲線的切線有 相同的斜率 . 0xx ?0 x y 0x在同一 實例 ???xx ??????????1111d.xx x C????? ? ???啟示 能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？ 結(jié)論 既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 . )1( ???三、 基本積分表 基本積分表 ? 1( ) d (k x k x C k??? 是常數(shù) )。c o s Cx ??28d()c osxx ?? 2s e c dxx ?? 。xfxF ?可知，在積分曲線族CxFy ?? )(
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