【正文】 ???????22121221112122111))( l n())( l n(lnlnlnlnlnLKbbmEKaambLmbEmabKmabAYZ X X X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5? 代入后的式中有多個二次項，應該選擇多少項？為什么？ ? 是否造成估計結果的任意性？ ⒌ 含體現型技術進步生產函數模型的估計 ? 估計的生產函數為： ? ? ? ? ?YYAA aKKLL??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( )? 直接作為線性模型估計： Z X Xt t t t? ? ? ?? ? ? ?0 1 2? 關鍵是如何得到 X1t的樣本觀測值 ⒍ 確定性統計邊界生產函數模型的修正的普通最小二乘估計（ Corrected OLS,COLS） ? 采用 CD生產函數形式 ： Y f K L e u? ?( , , )?Y AK L e u? ?? ? ( )u ? 0ln ln ln lnY A K L u? ? ? ?? ?為理論上的最大產出量。xxCaaax ????基本積分表 ? 2211( 2 0 ) d ln 。x x x x x??? 22se c d ( c os ) 。s i n 2 Cx ??122, d dt x x t??s in , d c o s dt x t x x??解 法 3 2s in dxx?2 s i n c o s dx x x? ?22 dt t t C? ? ? ? ?? ? ? .c os 2 Cx ???c o s , d s in dt x t x x? ? ?例 1 求 132 ??解 ,)23(23 12123 1 ??????? xxx132 d xx??11 322 3 2 ( ) dxxx ?? ? ???112 d uu? ? Cu ?? ln21 .)23l n(21 Cx ???xu 23 ??1 d lnx x cx ???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? .，體現湊微分的思想即直接令間變量可以不設出來，注：第一類換元法的中xdxfdxxxf ???? ????132 d xx??1 l n | 3 2 | .2 xC? ? ?( ) df a x b x?? ? ?1 ( ) df ax b ax ba? ? ??一般地 dxxx )23(23 121 ????? ?? ? dxx ?? 23? ?xdx 2323 121 ?? ?? ? ?xd 23 ?例 1 求 132 ??又解 1 d lnx x Cx ???湊 微 分 例 2 求 31 d.()x xx??解 31 d()x xx?? 3111 d()x xx?????2311 111[ ] d ( )( ) ( ) xxx? ? ????Cxx?????? 2)1(2111.)1(2 11 1 2 Cxx ??????例 3 求 112 d.( ln ) xxx??解 112 d( ln ) xxx?? 112 d ( l n )ln xx? ??11 122 1 2 d ( l n )ln xx????1 ln | 1 2 ln | .2xC? ? ?例 4 求 22111111d 。 d 。t a n tax ?22)3( ax ?可令 .s e c tax ? 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定 . 說明 (2)例 22 求 52d1x xx?? （三角代換很繁瑣） 21 xt ??令 ,122 ??? tx d d ,x x t t?52d1x xx??? ? 22 1dtttt?? ? ? ?422 1 dt t t? ? ??Cttt ???? 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx ?????解 說明 (3) 當分母的階較高時 , 可采用 倒代換 .1tx ?例 23 求 71 d( 2 ) xxx ??令 tx 1? 21d d ,xtt? ? ?71 d( 2 ) xxx ??721d12tttt??? ? ????????????? 67 d12t tt?? ??Ct ???? |21|ln141 7 .||ln21|2|ln141 7 Cxx ?????解 例 24 求 解 421 d.1xxx ??421 d1xxx ??令 tx 1? 21d d ,xtt? ? ? 24211d111xttt???? ????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??（分母的階較高） 32d1t tt????2221 d2 1t tt????2tu ?1 d2 1u uu????1 1 1 d2 1u uu?????11 1 d ( 1 )2 1 uuu??? ? ? ???????? ? Cuu ?????? 1131 3.1131 232Cxxxx ??????????? ???說明 (4) 當被積函數含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令 （其中 為各根指數的 最小公倍數 ） lk xx ,? ntx ?n例 25 求 31 d.( 1 )xxx??解 令 6tx ? 5d 6 d ,x t t??31 d( 1 )xxx??5326 d( 1 )t ttt? ??226 d1t tt? ??22116d1t tt?????216 d d1tt t?????? ?????? ?6 a r c t a nt t C? ? ?? ?666 ar c t anx x C? ? ?例 26 求積分 31 d.11xxx? ? ??解 令 16 ?? xt 56 d d ,t t x??31 d11xxx? ? ??5321 6dtttt????36d1t tt? ?? Ctttt ?????? |1|ln6632 233 6 62 1 3 1 6 1 6 l n ( 1 1 ) .x x x x C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?注意 無理函數去根號時 , 取根指數的 最小公倍數 . 例 27 求積分 11 dx xxx??解 令 1 x tx? ? 21 ,x tx???說明 (5) 當被積函數含有 t將無法處理的部分設為???, nn dcx baxbax ???21 ,1x t? ? ? ?222dd,1ttxt???11 dx xxx?? ? ?? ?22221d1tt t tt? ? ??? 22 d2 1ttt?? ??212 1 d1 tt??? ? ??? ???? 12 l n1ttCt?? ? ? ?? 2112 ln 1 .xxxCxx????????? ? ? ? ???????例 28 求 解 1 d.1 xxe??xet ?? 1令 ,12 ??? te x22d d ,1txtt? ?1 d1 xxe?? 22 d1 tt? ??11 d11 ttt???????????Ctt ???? 11ln ? ? .11ln2 Cxe x ?????? ?,1ln 2 ?? tx說明 (6) 當被積函數含有 例 29 求 21 d.1 2 2xxx? ? ??解 cbxax ??2根號內配方法?? ?222211dd1 2 2 1 1 11 t an , d se c d11se c d d1 se c c os ( 1 c os )xxxx xx t x t tt t tt t t令原 式＋?? ? ? ? ? ?? ? ????????22211dc os 1 c os11dc os2 c os2ln se c t an t an22 2 1ln 1 2 2 .1tttttttt t cxxx x x cx?????????????????????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ????說明 (7) 無理函數的積分方法要會用會選 例 2d4xxx??2 s i n , d 2 c o s dx t x t t法 一 令 ??1xt法 二 令 ?24 xt法 三 令 ??.湊微分法四( 1 4 ) t a n d l n | c o s | 。2xaxCa x axa??????三、小結 兩類積分換元法： ???（一） 湊微分 （二） 三角代換、倒代換、根式代換 基本積分表 (14)～（ 22） 思考題 求積分 ( l n ) ( l n 1 ) d .px x x x??思考題解答 d( ln ) ( 1 ln ) dx x x x??( l n ) ( l n 1 ) dpx x x x??? ( l n ) d ( l n )px x x x? ??