經濟數(shù)學微積分二重積分的概念與性質(存儲版)
【正文】 y? ??? ??d d dxy? ?故二重積分可寫為 xyOD 則 面積元素 (areal element)為 性質１ [ ( , ) ( , ) ] dDf x y g x y? ? ????( , ) d ( , ) d .DDf x y g x y? ? ? ????? ??（二重積分與定積分有類似的性質） 三、二重積分的性質 設 、 為常數(shù) ，則 ??性質 2 對積分區(qū)域具有可加性 12( , ) d ( , ) d ( , ) d .D D Df x y f x y f x y? ? ????? ?? ??性質 3 ?若 為 D的面積 ,則 1 d d .DD? ? ????? ??性質 4 若在 D上 ),(),( yxgyxf ?( , ) d ( , ) d .DDf x y g x y????? ??特殊地 ( , ) d ( , ) d .DDf x y f x y????? ??)( 21 DDD ??則有 設 M 、 m 分別是 ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值， ? 為 D 的面積，則 性質 5 設函數(shù) ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , ? 為 D 的面積，則在 D 上至少存在一點 ),( ?? 使得 性質 6 （二重積分中值定理） ( , ) dDm f x y M? ? ?????( , ) d ( , )Df x y f? ? ? ?????（二重積分估值不等式） 例 1 不作計算，估計 22()dxyDIe ??? ?? 的值， 其中 D 是橢圓閉區(qū)域： 12222??byax )0( ab ?? . 在 D 上 2220 ayx ???? ,1 2220 ayx eee ???? ?由性質 6 知2 2 2() d,x y aDee? ? ??? ? ???解 22() dxyDe ??????πab 2π .aab e區(qū)域 D 的面積 ?? ,πab例 2 估計22d2 16DIx y xy??? ? ??? 的值， 其中 D ： 20,10 ???? yx . 區(qū)域面積 2?? , ,16)(1),(2 ??? yxyxf?在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 ??? yxM),( yxf 的最小值 5143 1 22 ???m )2,1( ?? yx 故 4252 ?? I . ??? I解 例 3 判斷 221ln ( ) d dr x yx y x y? ? ???? 的符號 . 當 1??? yxr 時 , ,1)(0 222 ????? yxyx故 0)l n( 22 ?? yx 。 MP f KMP f LKL??? ?? ?//?? 邊際產量不為負。 ? 要素替代彈性不為負。即 : ? ? E EL K/ ? 如果技術進步使得 ω越來越大，即勞動的產出彈性比資本的產出彈性增長得快，則稱之為 節(jié)約勞動型技術進步 ；如果技術進步使得 ω越來越小，即勞動的產出彈性比資本的產出彈性增長得慢，則稱之為 節(jié)約資本型技術進步 ；如果技術進步前后 ω不變，即勞動的產出彈性與資本的產出彈性同步增長，則稱之為 中性技術進步 。 ? 在生產函數(shù)模型中需要特別處理廣義技術進步 。 ⑶ 要素替代彈性 ? 要素替代彈性定義為兩種要素的比例的變化率與邊際替代率的變化率之比。 E YY KK fK KYK ? ?? ? ??E YY LL fL LYL
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