【正文】 X～ N（ 3， 4）， Y～ N（ 1， 1）， Z～ N（ 0， 1）， X， Y,Z相互獨立，求 X+2Y+3Z的分布 . 【答疑編號 12030309】 二、試題選講 1.（ 405）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的分布律為 則 P{X+Y=0}=（ ）。 例題 15： P75 【例 3－ 16】設(shè)（ X,Y）的分布律為 且 X與 Y相互獨立，求常數(shù) a,b之值。 （ 1）定 義：對于連續(xù)型隨機變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的概率密度稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為 （ 2）求法：它們可由（ X,Y）的概率密度 f（ x， y）求出， 例題 10： P70 【例 3－ 10】設(shè)（ X,Y）在矩形域 D上服從均勻 分布，其中 D： 求（ X,Y）的邊緣概率密度 【答疑編號 12030202】 解： 例題 11： P70 例 3－ 11 【例 3－ 11】設(shè)二維隨機變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，且 求（ X,Y）關(guān)于 X,Y的邊緣概率密度。 【答疑編號 12030109】 解：（ 1）有放回摸球情況： 由于事件 {X=i}與事件 {Y=j}相互獨立（ i， j=0， 1），所以 P{X=0， Y=0}=P{X=0} 多維隨機變量的概念 1. 維隨機變量的概念： 個隨機變量 ， ， ? ， 構(gòu)成的整體 ＝（ ， ， ? ， ）稱為一個 維隨機變量，稱為 的第 個分量（ ） . ： 設(shè)（ ， ）為一個二維隨機變量，記 ， ， ， 稱二元函數(shù) 為二維隨機變量（ ， ）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（ ， ）的分布函數(shù) . 記函數(shù) ＝ ＝ ， 則稱函數(shù) 和 為二維隨機變量（ ， ）的兩個分量 和 的邊緣分布函數(shù) . 3. 二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)： （ 1） 是變量 （或 ）的不減函數(shù)； （ 2） 0 1，對任意給定的 ， ；對任意給定的 ， ； ， ； （ 3） 關(guān)于 和關(guān)于 均右連續(xù)，即 . （ 4）對任 意給定的 ，有 . 例題 1. P62 【例 3－ 1】判斷二元函數(shù) 是不是某二維隨機變量的分布函數(shù)。另外，正態(tài)隨機變量的線性變換 仍是正態(tài)隨機變量，即 aX+b～，這兩個結(jié)論十分有用，必須記住。 【答疑編號 12020301】 解 :因為 所以 Y只能取值－ 1， 0， 1，而取這些值的概率為 故 Y的分布律為 有時我們只求 Y=g（ X）在某一點 y處取值的概率，有 ， 即把滿足 的 所對應(yīng)的概率相加即可。σ 處曲線有拐點，曲線以 x軸為漸近線 . ③ 當(dāng) σ 給定， μ 1μ 2時，對應(yīng)的密度函數(shù)的圖象可沿 x軸互相平移得到 . ④ 當(dāng) μ 給定， σ 1σ 2時，對應(yīng)的密度函數(shù)的圖象如圖下圖所示， σ 越小，圖象越尖銳， σ 越大，圖象越平緩 . （ 3）分布函數(shù)為 . （ 4） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng) μ=0 ， σ=1 時的正態(tài)分布 N（ 0,1），稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別記做 和 Φ （ x），即 ， ， ， （ 5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的性質(zhì) ①Φ （ x） =1Φ （ x）； ② . （ 6）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 設(shè) X～ N（ μ,σ 2），分布函數(shù)為 F（ x） ，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為 Φ （ x），則 ① ； 做代換： 由于 U～ N（ 0， 1） ∴ ② ； ③ . 例題 【例 2－ 20】設(shè) X～ N（ 0， 1）證明對于任意的 h0，有 。 （ 3）所求概率為 P{Y≥1}=1 P{Y=0} 。 【答疑編號 12020205】 解：（ 1） ； （ 2） ； （ 3） 。 離散型隨機變量 X的分布函數(shù)為 . 例題 【例 2－ 11】設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 求 X的分布函數(shù)。 （ 2） P{X≤5} =。設(shè) ，試求 P{Y≥1} 。 【答疑編號 12020203】 解： X的取值為 1， 2， ? 。 （ 2）離散型隨機變量的分布律：設(shè) X為離散型隨機變量，可能取值為 x1， x2， ? ， xk， ? ，且 P{X＝ xk }＝ pk， k＝ 1， 2， ? ，則稱 { pk }為 X的分布律（或分布列，概率分布）。另一類：試驗結(jié)果不是用數(shù)量表示的，如：擲硬幣，雙方比賽的結(jié)果等，可以人為賦值，如擲硬幣，設(shè)結(jié)果為隨機變量 Y， “ 出現(xiàn)正面 ” 用 “Y ＝ 1” 表示， “ 出現(xiàn)反面 ” 用 “Y ＝ 0” 表示。 ：離散型隨機變量及其分布律，連續(xù)型隨機變量及其概率密度，二項分布與正態(tài)分布。 （ 4）解釋： ① 隨機變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個值的，即具有隨機性，因此稱為 “ 隨機變量 ” ； ② 在一次隨機試驗中，可以根據(jù)不同的需要來定義不同的隨機變量。 【答疑編號 12020201】 解：由分布律性的性質(zhì)知 1=+c+ 解得 c=。 （ 1） 0－ 1分布（兩點分布） 定義：若隨機變量 X只取兩個可 能值 0， 1，且 P{X＝ 1}＝ p， P{X＝ 0}＝ q, 其中 0p1， q＝ 1－ p, 則稱 X服從 0－ 1分布，其分布律為 舉例：擲一枚硬幣出現(xiàn)正面，向靶子射一發(fā)子彈等。 泊松定理的應(yīng)用：當(dāng) n很大， p很小時，二項分布可以用泊松逼近來近似計算。 （ 3）泊松分布 定義：設(shè)隨機變量 X的可能取值為 0， 1， 2， ? ， n， ? ，而 X的分布律為 ， k＝ 0， 1， 2， ? ， 其中 λ0 ，則稱 X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，記做 X ～ P（ λ ） . 例題 【例 2－ 9】設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 5的泊松分布，求 （ 1） P{X=10}； 【答疑編號 12020208】 （ 2） P{X≤10} 。 （ 2） F（ x）是不減函數(shù)， 即對于任意的 x1x2，有 F（ x1） ≤F （ x2）。 解釋：連續(xù)型隨機變量的 “ 連續(xù) ” 指的是其密度函數(shù)在某區(qū)間或整個實軸上是連續(xù)函數(shù)。 例題 【例 2－ 18】公共汽車站每隔 5分鐘有一輛汽車通過，乘客在 5分鐘內(nèi)任一時刻到達汽車站是等可能的，求乘客候車時間在 1～ 3分鐘內(nèi)的概率。 【答疑編號 12020209】 =。求 Y的概率密度。 例題 6. P54 例 232 【例 2－ 32】設(shè) X的概率密度為 求 的概率密度 。 【答疑編號 12030102】 解： （ 3）分布函數(shù) 由離散型二維隨機變量（ X， Y）分布律，可以求得其分布函數(shù) . 例題 3. P63 【例 3－ 3】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求：（ 1） P{X=0}； 【答疑編號 12030103】 （ 2） P{Y≤2} ； 【答疑編號 12030104】 （ 3） P{X1,Y≤2} ； 【答疑編號 12030105】 （ 4） P{X+Y=2} 【答疑編號 12030106】 （ 1） {X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3} （ 2） {Y=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=1} {Y=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=2}， （ 3） {X＜ 1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2}, 且事件 {X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以 P{X＜ 1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=+= （ 4） {X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1}, 類似可得 P{X+Y=2}=P｛ X=0,Y=2｝ +P{X=1,Y=1}=+=